1、探求動點軌跡破解最值問題最值問題是近幾年中考的熱點與難點之一，尤其是一類線段的最值問題備受命題人青睞這類線段有以下特點：線段的一個端點為定點，另一個端點為動點.解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)建動點白軌跡（直線型、曲線型）.下面，筆者略舉數(shù)例加以說明.一、直線型軌跡當(dāng)動點在線段、射線、直線上運動時，則稱動點軌跡為直線型，這樣的動點主要有三類定線定距離、定線定夾角、定點等距離。此時可將“點點距離”轉(zhuǎn)化為“點線距離”，利用“垂線段最短”求解最值.1.定線定距離例1（2019年泰安中考題）如圖1,矩形ABCD中，AB4,AD2,E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連結(jié)PB,則PB的最小值是（）(A

2、)2(B)4(C)、.2(D)2.2圖I圖2分析如圖1,過點P作PQCE交CE于點Q,可證PQF:DEF,于是1 _一一一PQ-DEJ2,可知點P到CE的距離始終是J2,即點P在平彳T于CE且距離為亞2的直線l上運動.故線段PB的最小值轉(zhuǎn)化為點B到直線l的垂線段BM的長（如圖2）,BM22.評注若動點P到定直線l的距離為定值，則動點P的軌跡是平行于l的直線.2 .定線定夾角例2如圖3,在矩形ABCD中，AB3,DCA30，點F是對角線AC上的一個動點，連結(jié)DF,以DF為斜邊作DFE30的直角三角形DEF,使點E和點A位于DF兩側(cè)，點F從點A到點C的運動過程中，則CE的最小值是分析如圖4,以AD

3、為斜邊作DAG30的RtDAG,連接EG.因為DEDG1DFAD2EDGFDA,所以EDG:FDA,故DGEDAF60.可知動點E在與DG成60線段CH的長(如圖5)。夾角的射線GE上運動，CE的最小值轉(zhuǎn)化為點C到該射線的垂評注若動點P與定線段AB形成的PAB為定值，則動點P的軌跡是一條射線.3 .定點等距離例3如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(2,4),P(1,0),B為y軸上的動點，以AB為邊構(gòu)造ABC，使點C在x軸上,為BAC90.M為BC的中點，則PM的最小值分析如圖7,連結(jié)八1八OMBC.同理AM2AM,OM.在RtOBC中，BOC1-BC,所以O(shè)MAM.可知動點290,M為BC的

4、中點，則M的運動軌跡是線段AO的垂直平分線l,故PM的最小值是點P至UI的垂線段PN的長(如圖8).ffl8554易知D(0j),E(5,0),所以DE5府.在DEP中，由等積法，可得PN之展.225評注若動點P到兩定點AB的距離相等，則動點P的軌跡是線段AB的垂直平分線.二、曲線型軌跡當(dāng)動點在圓或圓弧上運動時，則稱動點軌跡為曲線型，這樣的動點主要有兩類：定點定距離、定線定張角.此時可將“點點距離”轉(zhuǎn)化為“點圓距離”，求解時常用到以下模型：如圖9, P是。O外一點，直線PO分別交。O于點AB,則點P到。O上各點距離最大值為線段PA的長，最小值為線段PB的長.1 .定點定距離例4如圖10,在矩形

5、ABCD中，AB3,BC2,M是AD邊的中點，N是AB邊上的動點，將AMN沿MN所在直線折疊，得到A'MN,連結(jié)A'C,則A'C的最小值是.圖10圖“分析由翻折，得MA'MA1,所以點A'在以M為圓心，半徑為1的圓上運動(如圖11).由模型，可知A'C的最小值為CG的長，CGCMMGJ而1.評注若動點P到定點A的距離為定長，則動點P的軌跡是以A為圓心，PA長為半徑的圓或圓弧.2 .定線定張角(1)張角為直角例5如圖12,點D在半圓O上，半徑OB病,AD10,點C在弧BD上移動，連結(jié)AC,H是AC上一點，DHC90.連結(jié)BH,點C在移動的過程中BH

6、的最小值是()(A)5(B)6(C)7(D)8分析因為AD10是定值，AHD90,根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”，可知點H在以AD為直徑的。G的圓弧Dpe上運動(如圖13).求BH的最小值可應(yīng)用模型,連結(jié)BG交。G于點P,PB所求的最小值.因為AB是直徑，所以ADB90,則AB2AD2BG2GD2,可得BG13,所以BPBGPG8.圖1213評注如果AB為定線段，P是動點,APB90,那么動點P的軌跡是以AB為直徑的圓或圓弧(2)張角為銳角例6如圖14,在直角坐標(biāo)系xOy中，已知正ABC的邊長為2.點A從點O開始沿著軸的正方向移動，點B在xOy的平分線上移動，則點C到原點的最大距離是()(A)

7、1.2,3(B),2.6(C)2.3(D)122九7+"-圖14圖15分析如圖15,作ABO的外接圓。D,CD交AB于點F。若將ABC看成靜止的，則O點是動點，于是AB是定線段，AOB45是定角，則動點O的軌跡是優(yōu)弧AOB.由模型，可知CO的最大值為CE的長.易得DEJ2,CFV3,DF1,所以CE1,23.評注若AB為定線段，P是動點，APB為定角且為銳角，作ABP的外接圓。O,則動點p的軌跡是。o上的優(yōu)弧Apb.(3)張角為鈍角2例7(2019年淄博中考題)如圖16,頂點為M的拋物線yaxbx3與x軸交于A(3,0),B(1,0)兩點，與y軸交于點C.(i)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)

8、表達(dá)式.(ii)問在y軸上是否存在一點P,使得PAM為直角三角形？若存在，求出點標(biāo);若不存在，說明理由二(iii)若在第一象限的拋物線下方有一動點D,滿足DAOA,過D作DGP的坐x軸于點G,設(shè)ADG的內(nèi)心為I,試求CI的最小值.圖16圖17圖g分析2一一(i)這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為yx2x3.P坐標(biāo)為(0,p).(ii)在y軸上存在點P,使得PAM為直角三角形，設(shè)點2_,.、2-yx2x3(x1)4,.頂點M(1,4).2AM220,22AP29p2,_2-2MP178pp.若PAM90,則2_22AM2AP2MP2,一一2,_2209p178pp,.一3解得p3,2_3P(0,3).

9、(2)若APM90,則AP2MP2AM2,229p2178pp220,解得p11,p23,P(0,1)或P(0,3)(3)若AMP90,則22-2AM2MP2AP2,一，_2_220178pp9p,解得p7,2P7).37綜上所述，點P坐標(biāo)為P(0,萬)或P(0,1)或P(0,3)或P(0，5)時使得PAM為直角三角形.(iii)如圖17,連結(jié)AI,DI,OI,由DGA90,I是ADG內(nèi)心，易得AID135.由AOAD,IAOIAD,AIAI,得AIOAID,于是AIOAID135，又AO是定線段，所以點I在劣弧Ao上運動(如圖18).連結(jié)CE交。E于點F.由AIO135,可得OEA90,則E(-),OE-72,222333-CE-J