1、第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3.1 平 面 立 體 3.2 回 轉(zhuǎn) 體 3.3 截 交 線 3.4 相 貫 線第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3.1 平 面 立 體 3.1.1 棱柱 1. 棱柱的投影 如圖3-1(a)所示的正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，它們的水平投影反映實形，正面和側(cè)面投影積聚為一直線。棱柱有六個側(cè)面，前后為正平面，其正面投影反映實形，水平投影及側(cè)面投影積聚為一直線。棱柱的其他四個側(cè)面均為鉛垂面，水平投影積聚為直線，正面投影和側(cè)面投影為類似形。第第3章章 立體及

2、其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-1 正六棱柱 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-1 正六棱柱 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 直棱柱的投影特點：一個投影為多邊形，反映棱柱的形狀特征，另外兩個投影是由矩形實線和虛線組成的矩形線框。 作圖時，先畫反映棱柱形狀特征的投影多邊形，再根據(jù)棱柱的高作出其他兩個投影。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 2. 棱柱表面上的點 在平面立體表面上的點，實質(zhì)上就是平面上的點。正六棱柱的各個表面都處于特殊位置，因此在表面上的點可利用平面投影的積聚性來作圖。 如已知棱柱表面上M

3、點的正面投影m，求水平、側(cè)面投影m、m。由于正面投影m是可見的，因此M點必定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD為鉛垂面，水平投影abcd具有積聚性，因此m必在abcd上。根據(jù)m和m，由點的投影規(guī)律可求出m，如圖3-1(b)所示。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3.1.2 棱錐 1. 棱錐的投影 如圖3-2(a)所示的正三棱錐，錐頂為S，其底面ABC為水平面，水平投影abc反映實形。棱面SAB、SBC是一般位置平面，它們的各個投影均為類似形，棱面SAC為側(cè)垂面，其側(cè)面投影sa（c）積聚為一直線。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3

4、-2 正三棱錐 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-2 正三棱錐 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 棱錐的投影特點：一個投影為由三角形組成的多邊形線框，外形輪廓反映底面實形，另外兩個投影為由三角形實線和虛線組成的三角形線框。 作圖時，先畫出棱錐底面的各個投影，再作出錐頂?shù)母鱾€投影，然后連接各棱線，并判別可見性。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 2. 棱錐表面上的點棱錐表面上的點 如果點在棱線上，則可利用點在直線上，其投影如果點在棱線上，則可利用點在直線上，其投影必定在該直線的同面投影上求得。如果點所在的平面必定在該直線

5、的同面投影上求得。如果點所在的平面具有積聚性，則可利用積聚性直接求得。如果點所在具有積聚性，則可利用積聚性直接求得。如果點所在的平面為一般位置平面，可通過在該平面上作輔助線的平面為一般位置平面，可通過在該平面上作輔助線的方法求得。的方法求得。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 例如，已知棱錐表面上M點的正面投影m，求水平、側(cè)面投影m、m。由于m是可見的，因此該點在一般位置平面棱面SAB上，可過錐頂S和M點作一輔助線S，然后，在s2上求出M點的水平投影m，再根據(jù)m、m求出m。又例如，已知N點的水平投影n，由于n是可見的，因而，N點在側(cè)垂面SAC上，n必定在sa（c）上，由n

6、、n可求出n），如圖3-2(b)所示。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3.2 回 轉(zhuǎn) 體 由一母線繞軸線回轉(zhuǎn)而形成的曲面稱為回轉(zhuǎn)面，由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面所圍成的立體稱為回轉(zhuǎn)體。母線在回轉(zhuǎn)面上的任一位置稱為素線。常見的回轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐和圓球等。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3.2.1 圓柱 1. 圓柱面的形成 圓柱面是由一條直母線繞與它平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成的。圓柱體由圓柱面和頂面、底面組成。 2. 圓柱的投影 圓柱的頂面、底面是水平面，正面和側(cè)面投影積聚為一直線，由于圓柱的軸線垂直于水平面，圓柱面的所有素線都垂直于水平面，故其水平投影積聚

7、為圓，如圖3-3所示。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-3 圓柱 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-3 圓柱 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 在圓柱的正面投影中，矩形的兩條豎線分別是圓柱的最左、最右素線的投影，即圓柱面前后分界線轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。它們把圓柱面分為前后兩半，圓柱面投影前半部可見，后半部不可見，這兩條素線是可見與不可見的分界線。在圓柱的側(cè)面投影中，矩形的兩條豎線分別是圓柱的最前、最后素線的投影，即圓柱面左右分界線轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。矩形的兩條水平線，分別是圓柱頂面和底面的積聚性投影。 第第3章章

8、立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3. 圓柱表面上的點 在圖3-3(b)中，圓柱面上有兩點M和N，已知其正投影m和n，求另外兩投影。由于點N在圓柱的轉(zhuǎn)向輪廓線上，其另外兩投影可直接求出；而點M可利用圓柱面有積聚性的投影，先求出點M的水平投影m，再由m和m求出m。點M在圓柱面的右半部分，故其側(cè)面投影m不可見。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3.2.2 圓錐 1. 圓錐面的形成 圓錐面是由一條直母線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成的。圓錐體由圓錐面和底面組成。 2. 圓錐的投影 圖3-4表示一直立圓錐，它的正面投影和側(cè)面投影為同樣大小的等腰三角形。正面投影sa和sb

9、是圓錐面的最左和最右素線的投影，它們把圓錐面分為前、后兩半；側(cè)面投影sc和sd是圓錐面最前和最后素線的投影，它們把圓錐面分為左、右兩半。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-4 圓錐 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-4 圓錐 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3. 圓錐表面上的點 轉(zhuǎn)向輪廓線上的點由于位置特殊，作圖較為簡單。如圖3-4(b)所示，在最左素線SA上的一點M，只要已知其一個投影如已知m），其他兩個投影m、m）即可直接求出。但是在圓錐面上的點K，只能用間接的方法作輔助線，才能由一已知投影求出另外兩個投

10、影。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-4(b)中，已知K點的正面投影k，求點K的其他兩個投影?？捎幂o助圓法作圖，即過點K在錐面上作一水平輔助緯圓，該圓與圓錐的軸線垂直，點K的投影必在緯圓的同面投影上。作圖時，先過k作平行于X軸的直線，它是緯圓的正面投影，再作出緯圓的水平投影。由k向下作垂線與緯圓交于點k，再由k及k求出k。因點K在錐面的右半部，所以k不可見。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3.2.3 圓球 1. 圓球面的形成 圓球面是由一圓母線以它的直徑為回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的。 2. 圓球的投影 圓球面的三個投影是圓球上平行于相應(yīng)投影面的三個

11、不同位置的最大輪廓圓。正面投影的輪廓圓是前、后兩半球面的可見與不可見的分界線；水平投影的輪廓圓是上、下兩半球面的可見與不可見的分界線；側(cè)面投影的輪廓圓是左、右兩半球面的可見與不可見的分界線。如圖3-5所示。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影圖3-5 圓球 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影圖3-5 圓球 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3. 圓球表面上的點 已知圓球面上點A、B、C的正面投影a、b、c，求各點的其他投影，如圖3-5(b)所示。因a為可見，且在平行于正面的最大圓上，故其水平投影a在水平對稱中心線上，側(cè)面投影a在

12、垂直對稱中心線上；b為不可見，且在垂直對稱中心線上，故點B在平行于側(cè)面的最大圓的后半部，可由b先求出b，最后求出b。以上兩點均為特殊位置點，可直接作圖求出其另外兩投影。由于點c在球面上不處于特殊位置，故需作輔助緯圓求解。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3.3 截 交 線 在物體上常有平面與立體相交或立體與立體相交而形成的交線。平面與立體表面的交線稱為截交線，立體與立體表面的交線稱為相貫線。畫圖時，為了清楚地表達(dá)物體的形狀，必須正確地畫出其交線的投影。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3.3.1 平面立體的截交線 平面立體被截平面截切后所得的

13、交線截交線，是由直線組成的平面多邊形。多邊形的邊是立體表面與截平面的交線，而多邊形的頂點則是立體棱線與截平面的交點。截交線既在立體表面上，又在截平面上，所以它是立體表面和截平面的共有線，截交線上的每一點都是它們的共有點。因而，求截交線實際上是求截平面與平面立體棱線的交點，或求截平面與平面立體表面的交線。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 例例1 求作被正垂面截切后的四棱錐的三視圖圖求作被正垂面截切后的四棱錐的三視圖圖3-6）。）。圖3-6 四棱錐的截交線第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影圖3-6 四棱錐的截交線第第3章章 立體及其表面交線的投影立體

14、及其表面交線的投影 分析： 如圖3-6所示，截交線為四邊形，四邊形的四個頂點、分別是四條棱SA、SB、SC、SD與截平面P的交點。只要求出截交線四個頂點的投影，然后依次連接各點的同面投影，即得截交線的投影。因而，問題歸結(jié)為求一般位置直線與特殊位置平面的交點。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 作圖： (1) 因截平面的正面投影具有積聚性，可直接求出截交線四邊形各頂點的正面投影1、2、3、4（圖3-6(b)）。 (2) 根據(jù)直線上點的投影，求出四邊形各頂點的其余投影。 (3) 依次連接各頂點的同面投影，完成全圖圖3-6(c)）。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面

15、交線的投影 3.3.2 回轉(zhuǎn)體的截交線 回轉(zhuǎn)體的截交線通常是一條封閉的平面曲線。截交線的形狀與回轉(zhuǎn)體的幾何性質(zhì)及其與截平面的相對位置有關(guān)。當(dāng)截平面與回轉(zhuǎn)體的軸線垂直時，任何回轉(zhuǎn)體的截交線都是圓，這個圓就是緯圓。 截交線是截平面和回轉(zhuǎn)體表面的共有線，截交線上的點也都是它們的共有點。當(dāng)截平面為特殊位置平面時，截交線的投影就積聚在截平面具有積聚性的同面投影上，可利用回轉(zhuǎn)體表面上取點的方法求作截交線。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 截交線上有一些能確定其形狀和范圍的特殊點，包括輪廓線上的點可見與不可見的分界點和極限位置點最高、最低、最左、最右、最前、最后點等，其他的點為一般點

16、。求截交線時，通常先作出這些特殊點，然后按需要再求作若干一般點，最后依次光滑連接各點的同面投影，并判別可見性。 1. 圓柱的截交線 根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對位置不同，截交線有三種形狀，見表3-1。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 例例2 求作斜切圓柱的截交線圖求作斜切圓柱的截交線圖3-7）。）。 圖3-7 圓柱的截交線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接各點，完成全圖第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-7 圓柱的截交線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接各點，完成全圖c第第3章章

17、 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-7 圓柱的截交線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接各點，完成全圖第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-7 圓柱的截交線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接各點，完成全圖第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 分析： 截平面傾斜于圓柱軸線，截交線為橢圓。 由于截平面P為正垂面，截交線的正面投影積聚在截平面的積聚性投影p上，水平投影與圓柱面的積聚性投影圓周重合圖3-7(a)）。利用點的投影規(guī)律，即可求出截交線的側(cè)面投影。第第3章章 立體及其

18、表面交線的投影立體及其表面交線的投影 作圖： (1) 求特殊點：特殊點指轉(zhuǎn)向輪廓線上的點、極限位置點及橢圓長、短軸的端點。根據(jù)它們的正面投影a、b、c、d，可求得側(cè)面投影a、b、c、d（圖3-7(b)）。其中，a、b分別為橢圓的最低點最左點和最高點最右點）；c、d分別為橢圓的最前點和最后點，c、d和a、b分別是橢圓的長、短軸的端點。特殊點對確定截交線的范圍、趨勢和判別可見性以及準(zhǔn)確地求作截交線有著重要的作用，作圖時必須首先求出。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 (2) 求一般點：為使作圖更為準(zhǔn)確，還需作出一定數(shù)量的一般點，如圖3-7(c)中的E、F點。 (3) 依次光

19、滑連接各點的側(cè)面投影，完成全圖圖3-7(d)）。 例3 畫出如圖3-8(a)所示的上部開槽、下部切口圓柱體的三視圖。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影圖3-8 圓柱切口開槽的畫法 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影圖3-8 圓柱切口開槽的畫法 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 分析： 圖3-8(a)所示立體是一個圓柱體被四個側(cè)平面和三個水平面切割而成的。四個側(cè)平面與圓柱面的交線為八條鉛垂線，其正面投影和側(cè)面投影反映實長；三個水平面與圓柱面的交線為四段圓弧，其水平投影積聚在圓柱面的水平投影上。 第第3章章 立體及其表面交線的投影

20、立體及其表面交線的投影 作圖： 先畫出完整圓柱體的三視圖，再按凹槽和切口的寬度左右方向和深度依次畫出正面投影和水平投影，最后求出側(cè)面投影。由于圓柱最前、最后素線的上端被切去一段，使側(cè)面投影的輪廓線向中心“退縮”，呈“凸字形。圓柱底部被切去的部分是左右兩邊，最前、最后素線完整圖3-8(b)）。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 2. 圓錐的截交線 根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀，見表3-2。 例4 求作正平面P與圓錐的截交線圖3-9）。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-9 圓錐的截交線 (a) 分析；(b) 作特殊點；

21、(c) 作一般點； (d) 光滑連接各點，完成全圖 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-9 圓錐的截交線 (a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點； (d) 光滑連接各點，完成全圖 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-9 圓錐的截交線 (a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點； (d) 光滑連接各點，完成全圖 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-9 圓錐的截交線 (a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點； (d) 光滑連接各點，完成全圖 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線

22、的投影 分析： 由于截平面P與圓錐的兩條素線最左素線和最右素線平行，所以截交線為雙曲線。截交線的水平投影和側(cè)面投影分別和截交線的積聚性投影重合，只需作出正面投影。 作圖： (1) 求特殊點：根據(jù)側(cè)面投影3，可求出最高點的正面投影3。根據(jù)水平投影1、5可求出最低點、的正面投影1、5。、兩點也是最左點和最右點，可認(rèn)為是底圓圓周與截平面P的交點圖3-9(b)）。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 (2) 求一般點：作輔助水平面Q與圓錐相交，交線是圓，該圓的水平投影與截平面的水平投影相交于2、4，再由2、4求出正面投影2、4。其實，如果將輔助平面Q截切后的立體和原來的立體進(jìn)行比較

23、就可以發(fā)現(xiàn)，、和、正面投影的求法是相同的圖3-9(c)）。 (3) 依次光滑連接各點，完成全圖圖3-9(d)）。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3. 圓球的截交線 用任何位置的平面截切圓球，其截交線都是圓。 例5 已知開槽半圓球的正面投影，求作其余兩投影圖3-10）。 圖3-10 開槽半圓球(a) 開槽半圓球；(b) 畫槽的底面投影；(c) 畫槽的側(cè)面投影第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-10 開槽半圓球(a) 開槽半圓球；(b) 畫槽的底面投影；(c) 畫槽的側(cè)面投影第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-10

24、開槽半圓球(a) 開槽半圓球；(b) 畫槽的底面投影；(c) 畫槽的側(cè)面投影第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 分析： 矩形槽的兩側(cè)面是側(cè)平面，它們與半圓球的截交線為兩段圓弧，側(cè)面投影反映實形；槽底是水平面，與半圓球的截交線也是兩段圓弧，水平投影反映實形。 作圖： 先畫出半圓球的三視圖，再作矩形槽的水平投影和側(cè)面投影。R1由主視圖所示槽深決定，R2由主視圖所示槽寬決定。在側(cè)面投影中，圓球的輪廓線被切去的部分不應(yīng)畫出。槽底的側(cè)面投影的中間部分不可見，應(yīng)畫成虛線。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影3.4 相相 貫貫 線線 兩立體表面相交稱為相貫，其表面

25、的交線稱為相貫線。相貫線是相交兩立體表面的共有線，可看做是兩立體表面上一系列共有點的集合，因此求相貫線實質(zhì)上就是求兩立體表面共有點的投影。相貫線一般為封閉的空間曲線。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 3.4.1 利用積聚性求作相貫線 兩回轉(zhuǎn)體相交，如果其中有一個是軸線垂直于投影面的圓柱，由于圓柱在該投影面上的投影圓，具有積聚性，因而相貫線的這一投影是已知的，利用這個已知投影，就可在另一回轉(zhuǎn)體上用立體表面上取點的方法作出相貫線的其他投影。 例6 求作軸線正交的兩圓柱的相貫線圖3-11）。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-11 利用積聚性求作相

26、貫線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-11 利用積聚性求作相貫線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-11 利用積聚性求作相貫線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 圖3-11 利用積聚性求作相貫線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 分析

27、： 從圖3-11(a)中可看出，直立大圓柱水平投影具有積聚性，水平小圓柱側(cè)面投影具有積聚性，小圓柱完全貫入大圓柱，所以相貫線的水平投影積聚在大圓柱的水平投影上，為一段圓弧；相貫線的側(cè)面投影則積聚在小圓柱的側(cè)面投影上，為一個圓。根據(jù)點的投影規(guī)律，即可求出相貫線的正面投影。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 作圖： (1) 求特殊點：大圓柱左邊的輪廓線與小圓柱交于、兩點，小圓柱的上、下、前、后四條輪廓線與大圓柱交于、四點，這四點也是極限位置點，它們的正面投影可直接求得圖3-11(b)）。 (2) 求一般點：先在相貫線的已知投影如水平投影中取點5、（6），根據(jù)寬相等作出側(cè)面投

28、影5、6，然后由點的投影規(guī)律求出正面投影5、6（圖3-11(c)）。 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影 (3) 依次光滑連接各點的正面投影，完成全圖圖3-11(d)）。 相貫線只有同時位于兩個立體的可見表面時，這段相貫線的投影才是可見的；否則就不可見。 由于該相貫體前后對稱，因而相貫線的正面投影實線和虛線重合。 兩正交圓柱的相貫線，當(dāng)其相對大小直徑發(fā)生變化時，相貫線的形狀、彎曲趨向?qū)㈦S著變化，如圖3-12所示。第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影圖3-12 不同直徑圓柱的相貫線 第第3章章 立體及其表面交線的投影立體及其表面交線的投影圖3-12 不同直徑圓柱的相貫線 第第3章章