1、會計學1測量誤差基本知識測測量誤差基本知識測第一頁，共123頁。 測量誤差主要來源(liyun)： (1) 外界環(huán)境 主要指觀測環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風力以及大氣折光等因素的不斷變化。 (2) 儀器誤差 儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器結(jié)構(gòu)能夠滿足各種幾何關(guān)系。 (3)觀測誤差 觀測者的自身條件，觀測者的感官鑒別能力，技術(shù)熟練程度，會在儀器對中、整平和瞄準等方面產(chǎn)生誤差。由于以上原因，使得觀測值偏離觀測量的真值或理論值而產(chǎn)生真誤差或閉合差，統(tǒng)稱測量誤差，簡稱誤差。 第1頁/共122頁第二頁，共123頁。真誤差：設(shè)某一觀測量的真值或理論值為X，在等精度觀測條件(tioji

2、n)下對該量進行了n次觀測，其觀測值為li（i= 1,2,3,n),則相應(yīng)的誤差i 定義為 i=li X 稱為真誤差。閉合差：例如閉合水準測量的閉合差：全線高差觀測值之和與其理論值（0）之差不為0；三角形閉合差，三內(nèi)角觀測值之和與理論值（1800）之差不為0；往返距離丈量的閉合差：同一距離往返觀測值之差與理論值（0）之差不為0。等均說明觀測中存在誤差。第2頁/共122頁第三頁，共123頁。粗差 ：粗差是測量中的疏忽大意而造成的錯誤或電子測量儀器產(chǎn)生的偽觀測值。例如，觀測者由于判斷錯誤而瞄錯目標；量距時不細心，將鋼尺上的6字看成9；觀測者吐字不清或記錄者思想不集中，導(dǎo)致聽錯或記錯數(shù)據(jù)等。粗差非常

3、有害，它不僅影響測量成果的可靠性，造成返工浪費，嚴重的甚至會對工程造成難以估量的損失，所以，應(yīng)盡量將粗差剔除。 粗差剔除：有些粗差可以通過分析(fnx)觀測值中的異常值加以發(fā)現(xiàn)；有些粗差可以通過檢核(如進行多余觀測)計算加以發(fā)現(xiàn)；而有些小粗差很難發(fā)現(xiàn)，對測量成果的精度影響極大，已引起人們的高度重視，形成了現(xiàn)代誤差理論中一個重要內(nèi)容，叫做“粗差探測”。第3頁/共122頁第四頁，共123頁。在進行測量工作時，測量人員只要有高度的責任感和認真負責的態(tài)度，較完善地組織好觀測方法(fngf)和記錄工作，加強檢核，嚴格執(zhí)行“規(guī)范”等，粗差還是可以被及時發(fā)現(xiàn)和避免的。 第4頁/共122頁第五頁，共123頁。

4、 測量誤差按性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差(又稱隨機誤差)兩類。二、系統(tǒng)誤差（又稱累積誤差） 在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差一般具有累積性。例如，用一把名義長度為50m的鋼尺去量距，經(jīng)檢定鋼尺的實際長度為50.005 m，則每量一尺，就帶有+0.005 m的誤差，丈量的尺段越多，所產(chǎn)生的誤差越大。所以這種誤差與所丈量的距離成正比。 在水準測量時，當視準軸與水準管軸不平行而產(chǎn)生夾角時，對水準尺的讀數(shù)(dsh)所產(chǎn)生的誤差為D*i/（=206265是一弧度對應(yīng)的秒值)，它與水準儀至水準尺之間的距離D成正比，所

5、以這種誤差按某種規(guī)律變化。第5頁/共122頁第六頁，共123頁。這些誤差都屬于系統(tǒng)誤差，在測量成果中具有累積性，對測量成果的影響較為顯著，但由于這些誤差具有一定的規(guī)律性，所以，我們可以(ky)采取措施來消除或盡量減少其對測量成果的影響。通常有以下三種處理方法：（1）檢校儀器：把儀器的系統(tǒng)誤差降低到最小程度。例如，在測量工作開始前，對儀器進行檢驗和校正，可以(ky)使系統(tǒng)誤差減少。（2）求改正數(shù)：對觀測成果進行必要的改正，如鋼尺經(jīng)過檢定，求出尺長改正數(shù)。（3）對稱觀測：使系統(tǒng)誤差對觀測成果的影響互為相反數(shù)，例如：水準測量采用中間法，水平角測量采用盤左盤右觀測等，都是為了達到削弱系統(tǒng)誤差的目的。第

6、6頁/共122頁第七頁，共123頁。 系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性，其誤差的大小和符號有一定的規(guī)律，所以可以采取適當措施加以消除或削弱。 當觀測值中剔除了粗差，排除了系統(tǒng)誤差的影響，或者與偶然誤差相比系統(tǒng)誤差處于次要地位后，占主導(dǎo)地位誤差就是偶然誤差。 在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是相伴而生。當系統(tǒng)誤差占主導(dǎo)地位時，觀測誤差就呈現(xiàn)一定的系統(tǒng)性；反之(fnzh)，當偶然誤差占主導(dǎo)地位時，觀測誤差就呈現(xiàn)偶然性。 如前所述，系統(tǒng)誤差有明顯的規(guī)律性，容易發(fā)現(xiàn)，也較易控制，所以在測量過程中總可以采取各種辦法消除其影響，使其處于次要地位。而偶然誤差則不然，不能完全消除，故本章中所討論的測量誤差，

7、均系指偶然誤差而言的。 第7頁/共122頁第八頁，共123頁。三、 偶然誤差 在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號均不一定，則這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。例如，用經(jīng)緯儀測角時的照準(zho zhn)誤差，鋼尺量距時的讀數(shù)誤差等，都屬于偶然誤差。 偶然誤差，就其個別值而言，在觀測前我們確實不能預(yù)知其出現(xiàn)的大小和符號。但若在一定的觀測條件下，對某量進行多次觀測，誤差列卻呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律。而且，隨著觀測次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現(xiàn)得更加明顯。 第8頁/共122頁第九頁，共123頁。例如，在相同的觀測條件下，對358個三角形的內(nèi)角進行了觀測。

8、由于觀測值含有(hn yu)偶然誤差，致使每個三角形的內(nèi)角和不等于180。設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測值為L，其觀測值與真值之差為真誤差。用下式表示為： i=Li-X（i=1,2,358） （6-1） 由（6-1）式計算出358個三角形內(nèi)角和的真誤差，并取誤差區(qū)間為d= 3，以誤差的大小和正負號，分別統(tǒng)計出它們在各誤差區(qū)間內(nèi)的個數(shù)k和頻率k/n，結(jié)果列于表中。第9頁/共122頁第十頁，共123頁。第10頁/共122頁第十一頁，共123頁。 四、偶然誤差的特性： 為了更直觀地表示偶然誤差的分布情況，以為橫坐標軸，以 （即真誤差在各區(qū)間(q jin)的分布密度）為縱坐標作直方圖， 為圖中任一長條

9、矩形的面積稱為頻率。此圖稱為偶然誤差分布直方圖（在統(tǒng)計學上稱為頻率直方圖）：偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律的四個特性： 在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；（有界性） 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多(密集性)；dNky/Nkyd第11頁/共122頁第十二頁，共123頁。 絕對值相等的正、負誤差(wch)出現(xiàn)的機會相等；（對稱性） 在相同觀測條件下，當觀測次數(shù)n無限增大，即時，偶然誤差(wch)的算術(shù)平均值趨于零，即 在數(shù)理統(tǒng)計中，稱為偶然誤差(wch)的數(shù)學期望等于零。即（抵償性）n 0limnn n 210)(E第12頁/共122頁第十三頁，共123頁。在上表(shn b

10、io)和上圖中所反映的誤差分布，是觀測次數(shù)有限時的分布，稱為經(jīng)驗分布。當觀測次數(shù)n、誤差區(qū)間間隔d0（即無限縮?。r，落在各區(qū)間的誤差頻率k/N將趨近于其概率P(i)，這時直方圖中長方形頂邊所形成的折線將變成一條光滑曲線。稱為誤差(wch)的理論分布(或誤差(wch)分布曲線)，這就是概率論中著名的高斯正態(tài)分布。第13頁/共122頁第十四頁，共123頁。高斯正態(tài)分布曲線(qxin)的縱坐標表示誤差分布的概率密度，它是偶然誤差的函數(shù)，簡稱概率函數(shù)， 表示為f()，橫坐標表示誤差的大小，曲線(qxin)下的面積表示誤差出現(xiàn)的概率，即： 高斯根據(jù)偶然誤差的統(tǒng)計特性，推導(dǎo)出了概率密度函數(shù)的數(shù)學模型為：

11、稱為高斯正態(tài)分布概率密度函數(shù)。它是德國科學家高斯（Causs）于1974年17歲時研究誤差的規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的。 dfpi 22221efy第14頁/共122頁第十五頁，共123頁。圖中每個小長方形的面積就形象地表達了該區(qū)間真誤差分布的頻率。例如圖中帶有斜線(xi xin)的長方形的面積為0.069，即表示真誤差出現(xiàn)在+6 +9區(qū)間的頻率為0.069。 第15頁/共122頁第十六頁，共123頁。在概率統(tǒng)計(tngj)中，稱為隨機變量。當為連續(xù)型隨機變量時，可以證明： 021E222de 222222221deEEED )(D即方差的平方根為標準差為方差的數(shù)學期望。為隨機變量E第16頁/共122頁第十

12、七頁，共123頁。五、精度與觀測質(zhì)量： 當偶然誤差=0時，密度函數(shù)有最大值 ；若對密度函數(shù)關(guān)于取二階導(dǎo)數(shù)并令其等于0，可求得曲線兩個拐點的橫坐標值為 ，所包圍的曲邊梯形面積時誤差落在區(qū)間（+，- ）的概率，為一定值。 見下圖，可見誤差頂點的位置由決定，愈小y值愈大，函數(shù)頂峰高而陡峭(duqio)，表示誤差小，密度大，觀測精度高；反之低而平緩，精度低。例如，y=2比y=1的誤差曲線要陡峭(duqio)的多，這是因為21，第二組的觀測精度高于第一組的結(jié)果。21拐第17頁/共122頁第十八頁，共123頁。綜合上述，得到偶然誤差所表現(xiàn)出的兩大數(shù)學特征：（1） 的數(shù)學期望為0，表明誤差列的分布，是以它的

13、數(shù)學期望0為中心和終點，逐步(zhb)密集。該中心稱為離散（取值為有限個或可列無限個）中心，是誤差真值所在位置。誤差在0的左右對稱取值，其范圍、大小、符號、誤差的補償性，均如上述偶然誤差的特性所述。（2）2的數(shù)學期望為方差2，它說明了誤差在離散中心周圍所聚集的緊密度，也就是觀測值之間的離散程度。 愈小誤差愈小，觀測值愈密集地接第18頁/共122頁第十九頁，共123頁。近其真值或它的數(shù)學期望（觀測值的均值）。 測量工作總是希望盡可能地獲得小的值。它是衡量觀測值精度(jn d)高低的理論尺度。第19頁/共122頁第二十頁，共123頁。第三節(jié) 衡量精度的指標一、方差及其中誤差 高斯分布密度函數(shù)中的參

14、數(shù)，在幾何上是曲線拐點的橫坐標，概率論中稱為隨機變量的標準差(方差的平方根)。當觀測條件一定時，誤差分布狀態(tài)唯一被確定，誤差分布曲線的兩個拐點也唯一被確定。這就是說參數(shù)與觀測條件、誤差分布的密集程度及觀測質(zhì)量一一對應(yīng)，即將誤差分布的密集或離散程度定義為“精度”。用作為精度指標，可以定量地衡量觀測質(zhì)量。所以在衡量觀測精度時，只要設(shè)法計算出該組誤差所對應(yīng)的標準差值即可。方差2在概率論中有嚴格的定義：方差2是隨機變量x與其數(shù)學期望(qwng)E(x)之差的平方的數(shù)學期望(qwng)，用數(shù)學公式表達為：2=Ex-E(x)2第20頁/共122頁第二十一頁，共123頁。nEDnlim)()(22nEDnl

15、im)()(2nm真誤差真誤差甲組甲組+5+2-2-10-3乙組乙組+6-7-1-4+5+213456276 . 486 . 2 mm乙甲第21頁/共122頁第二十二頁，共123頁。 故得由010) 1(21)(2222222ef第22頁/共122頁第二十三頁，共123頁。 若用測量專業(yè)的術(shù)語來敘述標準差，就是在一定觀測條件下，當觀測次數(shù)n無限增加時，測量真誤差的均方根用下式表示：因為觀測次數(shù)n不可能無限增加，故標準差難以求得。在測量工作中，觀測次數(shù)n總是有限的，只能(zh nn)求得標準差的“估值”，記作m，稱為“中誤差”。其值可用下式計算： 式中=2+ 2+ 2+為真誤差的平方和，n為觀測

16、次數(shù)。通常把m稱為觀測值中誤差或一次觀測值中誤差。nEDnlim)()(2作為精度指標，中誤差最為常用，這是因為中誤差對大誤差的出現(xiàn)(chxin)特別敏感，只要在誤差列中有大誤差存在，中誤差迅速增大，說明觀測質(zhì)量不好。第23頁/共122頁第二十四頁，共123頁?！纠?設(shè)有兩組等精度觀測列，其真誤差(wch)分別為第一組 -3、+3、-1、-3、+4、+2、-1、-4；第二組 +1、-5、-1、+6、-4、0、+3、-1。試求這兩組觀測值的中誤差(wch)。解：比較m1和m2可知，第一組觀測值的精度要比第二組高。3 . 38190163612519 . 28161416919921 mm第24

17、頁/共122頁第二十五頁，共123頁。第25頁/共122頁第二十六頁，共123頁。上式的絕對誤差是采用往返丈量之差，即真誤差來計算相對誤差(xin du w ch)，稱為相對真誤差；采用中誤差計算的相對誤差(xin du w ch)，稱為相對中誤差。第26頁/共122頁第二十七頁，共123頁。3 極限(jxin)誤差限差的理論依據(jù)就是偶然誤差的特性(1)：誤差不會超過一定的限值。理論研究表明，誤差落在區(qū)間(-k，+k)的概率為：k=1時，P(|)68.3%；k=2時， P(| 2)95.5%；k=3時， P(| 3)99.7%；k=4時， P(| 4)1。在測量工作中，常取兩倍中誤差作為誤差的

18、限值，作為測量成果取舍的極限(jxin)誤差，極=3 第27頁/共122頁第二十八頁，共123頁。簡稱限差，也稱容許誤差。要求較嚴的取2m,要求較寬的取3m.觀測值中，凡是誤差超過容許誤差的，一律舍棄重測。 在實際工作中，為了確保觀測成果(chnggu)質(zhì)量，根據(jù)測量對精度的不同要求，參考極限誤差，將觀測值預(yù)期中誤差的23倍，定為檢核觀測質(zhì)量，決定觀測值取舍所能容許的最大限值標準，稱為容許誤差。容=（23）m第28頁/共122頁第二十九頁，共123頁。 5-4 誤差傳播定律 對于能直接觀測的量(如角度、距離、高差等)，經(jīng)過多次觀測后，便可通過真誤差或改正數(shù)計算出觀測值的中誤差，作為評定觀測值精

19、度的標準。但在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進行觀測，而需要由另一些(yxi)直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計算出來，這些未知量即為觀測值的函數(shù)。例如，在水準測量中，兩點間的高差h=a-b，則h是直接觀測值a和b的函數(shù)；在三角高程測量的計算公式中，如果覘標高v等于儀器高i，則h=Dtan，這時，高差h就是觀測值D和的函數(shù)，等等。 第29頁/共122頁第三十頁，共123頁。 本節(jié)所要討論的就是在觀測(gunc)值中誤差為已知的情況下，如何求觀測(gunc)值函數(shù)中誤差的問題。 闡述觀測(gunc)值中誤差與函數(shù)中誤差之間函數(shù)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。第30頁/共122頁第三十一頁，共

20、123頁。一、 線性函數(shù) 1 、倍數(shù)函數(shù) 設(shè)有函數(shù)Z=KX 式中X為直接觀測值，其中誤差為mx；為常數(shù)；Z為觀測值X的函數(shù)。 若對X作n次同精度觀測，則有： m22mx2 或 mmx 上式表明：對于(duy)倍數(shù)函數(shù)，函數(shù)的中誤差等于觀測值中誤差的K倍。還可以證明如下：第31頁/共122頁第三十二頁，共123頁。設(shè)有函數(shù) z=kx 式中k為常數(shù)，x為直接觀測值，其中誤差為mx，現(xiàn)在求觀測值函數(shù)Z的中誤差mZ。設(shè)x和Z的真誤差分別為x和Z，由式知它們之間的關(guān)系為Z=kx若對x共觀測了n次，則Zi=kXi （i=1,2,n）將上式兩端(lin dun)平方后相加，并除以n，得 nknXZ222第3

21、2頁/共122頁第三十三頁，共123頁。 按中誤差定義可知 或即觀測(gunc)值倍數(shù)函數(shù)的中誤差，等于觀測(gunc)值中誤差乘倍數(shù)。 例 用水平視距公式D=kl求平距，已知觀測(gunc)視距間隔的中誤差ml=1cm，k=100，則平距的中誤差mD=100ml=1 m。nmxx22xzmkm222xzkmm 第33頁/共122頁第三十四頁，共123頁。2 和、差函數(shù) 設(shè)有函數(shù)Z=xy 式中，x、y為兩個相互獨立的觀測(gunc)值，均作了n次觀測(gunc)，其中誤差分別為mx和my。設(shè)真誤差分別為x和y，由（6-10）式可得第34頁/共122頁第三十五頁，共123頁。第35頁/共122頁

22、第三十六頁，共123頁。 當z是一組獨立觀測值x1、x2、xn的和或差函數(shù)時，即：z=x1x2xn根據(jù)上述推導(dǎo)方法，可得函數(shù)z的中誤差平方(pngfng)為：m2z=m2x1+m2x2+m2xn式中：mxi為觀測值xi的中誤差。于是，上式可表述為：n個獨立觀測值代數(shù)和或差的中誤差平方(pngfng)，等于n個觀測值中誤差平方(pngfng)之和。特別是，當xi為同精度觀測值時，有mx1=mx2=mxn=m則 m2z=nm2 , n個同精度觀測值代數(shù)和的中誤差等于觀測值中誤差的根n倍。mnmz第36頁/共122頁第三十七頁，共123頁。3 一般線性函數(shù)(hnsh) 設(shè)有函數(shù)(hnsh)Z=KxK

23、2xKnxn 式中，K、KKn為常數(shù);x、xxn為獨立觀測值，其相應(yīng)的中誤差分別為m、mmn。根據(jù)倍數(shù)函數(shù)(hnsh)與和差函數(shù)(hnsh)的中誤差公式，可列出求一般線性函數(shù)(hnsh)中誤差的公式為： m 2（m）（m）（nmn）第37頁/共122頁第三十八頁，共123頁。二、 非線性函數(shù) 設(shè)有非線性函數(shù)Z=f(x，xxn） 式中，x，xxn為獨立(dl)觀測值，其相應(yīng)的中誤差分別為m、mmn。 則有 第38頁/共122頁第三十九頁，共123頁。上式是誤差傳播定律(dngl)的一般形式，其他形式的函數(shù)都是它的特例。第39頁/共122頁第四十頁，共123頁。第40頁/共122頁第四十一頁，共1

24、23頁。nxnxxznxnnxxZnnxxZxZmxfmxfmxfmxxxfZmmmkmxkxkxkZmmmxxZkmmkxZkk2222222122122222221212211222121.,.,. 4. 3. 2. 121非線性函數(shù)線性函數(shù)和差函數(shù)倍數(shù)函數(shù)第41頁/共122頁第四十二頁，共123頁。)(03. 038.10803. 0)01. 0(1416. 338.10850.341416. 3mPmmmDPDP結(jié)果可寫成中誤差mmD01. 0差及其中誤差。兩點間的高求中誤差得高差到從中誤差得高差進行到水準測量從例CAmmmCBmmmhhBCBChABABh,009. 0,747. 5

25、,012. 0,476.15 B,A 2.)(015. 0223.21015. 0223.21747. 5476.15009. 0012. 02222mmmhmmmhhhAChBChABhACBCABAC解：第42頁/共122頁第四十三頁，共123頁。)(016.030016105.30010301021mDmmnmmDmDlDlll但解：全長第43頁/共122頁第四十四頁，共123頁。mmDmsDmsDsDsDDmmmsssDsm048.020626503)9410.12(05.09659.09410.1215sin50sin9659.015coscoscos,0300001505.0,00

26、.50.422222222 解：及其中誤差。求相應(yīng)水平距離，其中誤差并測得傾斜角其中誤差丈量傾斜距離例第44頁/共122頁第四十五頁，共123頁。第45頁/共122頁第四十六頁，共123頁。例5設(shè)以同精度測得三角形三內(nèi)角為、 、 ，其中誤差為m。由于三內(nèi)角和不為而產(chǎn)生閉合差， 為了(wi le)消除閉合差，對每個角值分配三分之一的閉合差，得各角的最后結(jié)果，即 試求 及的中誤差m 及m第46頁/共122頁第四十七頁，共123頁。解：由式 得m2 = m2 + m2 + m2 =3m2m = m由 代入 得 2/3 -1/3 -1/3 -60即 m=3m32第47頁/共122頁第四十八頁，共123

27、頁。 一、算術(shù)(sunsh)平均值 在相同的觀測條件下對某未知量進行了一組等精度觀測，其觀測值分別為l、l、ln，觀測值的真值為X，則觀測值的真誤差為： XxXxnnXnLxXnLnXXXnnLLL即算術(shù)平均值lim0lim111111第48頁/共122頁第四十九頁，共123頁。 上式表明，當觀測次數(shù)無限增多時，各個(gg)觀測值的算術(shù)平均值趨近于未知量的真值。當n為有限值時，通常取算術(shù)平均值作為未知量的最或然值（最可靠值）(最或是值)，并以它作為測量的最后成果。 算術(shù)平均值的一般表達式為：x=（llln）/nl/n 5-5 算術(shù)(sunsh)平均值及其中誤差第49頁/共122頁第五十頁，共1

28、23頁。nmMnmnmnMnnnnlxllln故222211.1121觀測次數(shù)觀測次數(shù)算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差20.7140.5060.41100.32200.22500.14第50頁/共122頁第五十一頁，共123頁。一、 改正數(shù) 由于觀測值li的真誤差i一般是不知道的，所以實際工作中常采用(ciyng)觀測值的改正數(shù)vi來計算中誤差。 所謂改正數(shù)，就是最或是值與觀測值之差，用v表示，即： v=x-l 式中v為觀測值的改正數(shù)；l為觀測值；x為觀測值的最或是值。各觀測值的改正數(shù)： vxl vxl2 vnxln將上式兩邊求和: v=nx-l 將x=l/n代入，得v=0。此式可作為改正

29、數(shù)計算正確性的檢查。 5-5 用改正數(shù)計算等精度(jn d)觀測值的中誤差第51頁/共122頁第五十二頁，共123頁。二、用改正數(shù)計算中誤差設(shè)對某個量進行n次觀測，觀測值為li（i=1,2n)，則它的最或是值就是(jish)n個觀測值的算術(shù)平均值x， 5-5 用改正數(shù)計算等精度(jn d)觀測值的中誤差 vvnlnlnlxnvvvvnnvXxXxvXllxvxxxixixiiiiii2202,: )2() 1 ()2(1得而和得個如上式子兩邊平方求則令改正數(shù)（i，n）第52頁/共122頁第五十三頁，共123頁。)1(1)2.2(2)2.22.(1)(.)()(22222213121213121

30、222212221nnvvnmMnvvmvvmmnvvmnmnnnnnnXlXlXlXnlXxnnnnnxnx算術(shù)平均值的中誤差為（白賽爾公式）故第53頁/共122頁第五十四頁，共123頁。次序次序觀測值觀測值(m)Li（mm）vi=x- Li(mm)v(mm)vv(mm2)1346.53515+4+4162346.54828-9-8643346.5200+19+193614346.54626-7-7495346.55030-11-101006346.53717+2+24取取L0=346.520L=116mmv=-2v=0vv=594第54頁/共122頁第五十五頁，共123頁。LixLixii

31、xLxLLLiiLLLxvLxnnLnLnLxLL)()(L0000000又則令則從觀測列中找一最小值例6（續(xù)）測量(cling)中常用下法解：第55頁/共122頁第五十六頁，共123頁。mxmmnmMmLxnvvmnxLx0044. 0539.3464 . 4690.10539.346019. 0520.3461659411961160第56頁/共122頁第五十七頁，共123頁。例7 （課本例5-9）設(shè)用經(jīng)緯儀對某角等精度觀測(gunc)了6個測回，其觀測(gunc)值列于表中，試求該角的最或然值、觀測(gunc)值中誤差和最或然值中誤差。測回觀測值/( )改正數(shù)v/（） vv計算136 5

32、0 30-416236 50 2600336 50 28-24436 50 24+24536 50 25+11636 50 23+3922102 36 034 1 . 1620536. 41 . 130341. 36 . 25341. 262053663602221. 1000 nnvvMnvvmn第57頁/共122頁第五十八頁，共123頁。從上例計算可以看出，m=2.6,M=1.1算術(shù)平均值的精度顯然提高。從公式(gngsh) 可以看出，增加觀測次數(shù)可以提高算術(shù)平均值的精度。例如，設(shè)觀測值的中誤差m=1,算術(shù)平均值的中誤差M與觀測次數(shù)n的關(guān)系如圖，由該圖可以看出，當n增加時，M減小。但當觀測

33、次數(shù)達到一定數(shù)值后（例如n=10），再增加觀測次數(shù)，工作量增加，但提高精度的效果就不太明顯了。故不能單純以增加觀測次數(shù)來提高測量成果的精度，還應(yīng)設(shè)法提高觀測值本身的精度。例如，采用精度較高的儀器，提高觀測技能，在良好的外界條件下進行觀測等。nmM 第58頁/共122頁第五十九頁，共123頁。5-6 由真誤差(wch)計算中誤差(wch)一、由三角形閉合差求測角中誤差 三角形三個內(nèi)角和的真值為180，現(xiàn)設(shè)以等精度觀測(gunc)了三角網(wǎng)中每個三角形的各個內(nèi)角i 、i 、i，求每個三角形的閉合差 i , i = i +i +i-180 i=1,2,3,n可見， i 是三角形內(nèi)角和的真誤差，于是，由

34、中誤差定義公式得三角形內(nèi)角和的中誤差為：為三角形個數(shù)。其中nnnm第59頁/共122頁第六十頁，共123頁。式。差計算的測角中誤差公此式就是由三角形閉合菲列羅公式）為故每個角的測角中誤差則設(shè)測角中誤差為(33:3322222nmmmmmmmmmmmmm第60頁/共122頁第六十一頁，共123頁。由德國測量學家菲列羅所創(chuàng)，在三角測量中，常用它來初步評定測量的精度，該公式于1887年被國際(guj)地球測量委員會認定，沿用至今。例8 見課本例5-10第61頁/共122頁第六十二頁，共123頁。第62頁/共122頁第六十三頁，共123頁。nddmmmmlldmnnddmddiiid222, 為：由此

35、可得觀測值中誤差可得，則由設(shè)單次觀測中誤差為差值的中誤差公式。此式即為計算雙次觀測為雙次觀測的個數(shù)。第63頁/共122頁第六十四頁，共123頁。觀測(gunc)量的最或然值是兩次觀測(gunc)結(jié)果的算術(shù)平均值，即：nddmmllxixiii2122 均值的中誤差應(yīng)為：則每對觀測值的算術(shù)平第64頁/共122頁第六十五頁，共123頁。測段高差觀測值(m)dd12-0.185+0.188+3923+1.626-1.629-3934+1.435-1.430+52545+0.505-0.509-41656-0.007+0.005-24mmmmmmnddm8 . 125 . 225 . 252632中的

36、中誤差為每公里往返測平均高差hhd h往測h 返測第65頁/共122頁第六十六頁，共123頁。三、誤差(wch)傳播定律在測量上的應(yīng)用舉例（一）距離測量的誤差傳遞鋼尺量距：設(shè)用長度為L的鋼尺丈量A、B之間的距離S，共量了n個尺段。若每尺段丈量中誤差均為 mL,求S的中誤差。（1）列出線性函數(shù)：則S的中誤差為：表明(biomng)：距離丈量的中誤差與所測尺段數(shù)n的平方根成正比。由于丈量是采用同一根鋼尺和相同的方法進行的，式中的L與mL可視為定值，令LSmnmmLSLnLLLS 21LmmL第66頁/共122頁第六十七頁，共123頁。當L=1時，m=mL,即m為單位長度(chngd)的丈量中誤差，

37、故有即距離S的中誤差，與距離的平方根成正比，或者說等于單位長度(chngd)的丈量中誤差的 倍。SmmsS第67頁/共122頁第六十八頁，共123頁。（2）光電測距：光電測距，通常將已知每千米(qin m)距離測量中誤差（比例誤差）作為單位權(quán)中誤差，設(shè)為mkm,則對Dkm的距離，其中誤差為：表明：光電測距的中誤差與所測距離的平方根成正比。DmmkmD例1、用50m的鋼尺分四段丈量長為200m的距離(jl)，已知每尺段量距中誤差為10mm，試求全長的中誤差和相對中誤差。解：S=200m，n=4，mL= 10mm,則mmmmLs204100001100020020SmKs第68頁/共122頁第六十

38、九頁，共123頁。二、水準測量的誤差傳遞設(shè)在A、B兩點之間進行水準測量，中間共設(shè)n站，則A、B兩點之間的高差應(yīng)等于n站所測高差之和，即： hAB =h1+h2+hn 式中hi為各站的觀測(gunc)高差。設(shè)每站的高差觀測(gunc)中誤差均為m站，則A、B兩點之間的高差中誤差為：表明：水準測量高差的中誤差等于各站高差觀測(gunc)中誤差的 倍，即與測站數(shù)的平方根成正比。nmmABh站n第69頁/共122頁第七十頁，共123頁。 當水準路線通過(tnggu)平坦地區(qū)時，各站的視線長度大致相等，每千米的測站數(shù)也大致相同。故可認為每千米水準測量高差的中誤差相同，設(shè)為mkm。 當A、B兩點之間的水準

39、路線長為Skm時，A、B兩點間高差的中誤差為： 表明：在平坦地區(qū)進行水準測量時，水準測量高差的中誤差與距離S的平方根成正比。 可見，水準路線越長，高差中誤差就越大。所以，為保證測量精度，規(guī)范對不同等級的水準測量的路線長度作了限制。SmmkmhAB第70頁/共122頁第七十一頁，共123頁。例2、在長為R公理的水準路線上，進行往、返觀測，已知往返(wngfn)測高差中數(shù)的每公里中誤差為m，問往返(wngfn)測高差較差的中誤差是多少？在四等水準測量中，已知m=5mm，問往返(wngfn)測高差較差的極限值應(yīng)為多少？解（1）高差中數(shù)是往返(wngfn)測高差的平均數(shù)。若已知每公里高差中數(shù)的中誤差為

40、m，則單程觀測每公里的高差中誤差為： 。返往單mmmmmhhhhhh2,4,2222Rmmh2當路線長為R公里(n l)時，單程觀測高差的中誤差為：第71頁/共122頁第七十二頁，共123頁。（2）取兩倍中誤差為極限誤差，并以m=5mm代入，則四等水準往返(wngfn)測高差較差的極限值為：mmRRmfhh204M2限限往返測高差(o ch)較差及其中誤差為：RmRmmMmmmmmhhhhhh2222M222h返往返往返往差因往返測同精度，即：，R是水準路線(lxin)長，單位km。第72頁/共122頁第七十三頁，共123頁。三 、角度測量的誤差傳遞（一）水平角觀測的精度與前面所述各種誤差的綜

41、合影響有關(guān)，如儀器誤差、對中誤差、目標偏心(pinxn)、外界條件影響、觀測誤差、人員條件等。在這些誤差中大都包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差，系統(tǒng)誤差可以采取相應(yīng)措施使其消除或減小。剩下的真誤差將是各個獨立偶然誤差的代數(shù)和。這里就只包括照準誤差和讀數(shù)誤差在內(nèi)的觀測誤差進行分析。用m照表示望遠鏡照準誤差，通常用 來估計照準誤差，V為望遠鏡放大率。對DJ6型經(jīng)緯儀，V=26，則又設(shè)DJ6型經(jīng)緯儀的讀數(shù)誤差m讀=6V06 照m3 . 22606 照m第73頁/共122頁第七十四頁，共123頁。一測回的方向值是上、下兩個半測回方向值的平均值，即：而方向值的每次觀測都是一次瞄準和一次讀數(shù)(dsh)的結(jié)果。即:b

42、左=b右=a左=a右=L瞄準+L讀數(shù)(dsh)，所以m2每次=m2照+m2讀而一測回的方向值是：2222右左右左右下上右左左aabbabab22右左右左方aabbl第74頁/共122頁第七十五頁，共123頁。由誤差(wch)傳播定律可知，一測回的方向中誤差(wch)m方為：5 . 4263 . 222222 讀照方mmm224222222讀照每次每次每次方mmmmmm第75頁/共122頁第七十六頁，共123頁。實際上因為儀器使用時軸系間的磨損及其它不利因素的影響，設(shè)計精度一般要更高一點，新出廠的儀器在精度上有所富裕。DJ6型經(jīng)緯儀設(shè)計時考慮了各種誤差的綜合影響，保證(bozhng)野外一測回的

43、方向中誤差為6“?，F(xiàn)以m方= 6為依據(jù)，按誤差傳播定律來分析水平角觀測精度。第76頁/共122頁第七十七頁，共123頁。設(shè)野外一測回的方向中誤差(wch) m方=6，則各測回同一方向的較差為：L方d=L方1-L方2則各測回同一方向的較差中誤差(wch)m方d為：262 方方mmd由于(yuy)一測回的方向值是兩個半測回方向值的平均值，即：262 方半方mm24222222半方半方半方方右左右左方mmmmaabbl則半測回方向(fngxing)值的中誤差為：第77頁/共122頁第七十八頁，共123頁。從而得到上、下兩個(lin )半測回同一方向的較差為：L半方d=b左-（b右180）=a左-（a

44、右180）212262 半方半方mmd由于(yuy)角值是兩個方向值之差，故得野外一測回角值的中誤差m為：5 . 8262 方mm由誤差(wch)傳播定律得：上、下兩個半測回同一方向的較差中誤差(wch)m半方d為：m2半方d=m2半方+m2半方=2m2半方，即:第78頁/共122頁第七十九頁，共123頁。5-7 加權(quán)平均值及其中誤差(wch)（一）權(quán) 在對某一未知量進行非等精度觀測時，各觀測結(jié)果的中誤差也各不相同，各觀測值便具有不同(b tn)程度的可靠性。在求未知量的最可靠值時，就不能象等精度觀測那樣簡單地取算術(shù)平均值。 各非等精度觀測值的可靠程度，稱為各觀測值的權(quán)?！皺?quán)”是權(quán)衡輕重的意思

45、。觀測值的精度愈高，其權(quán)愈大。 例如，設(shè)對某一未知量進行了兩組非等精度觀測，但每組內(nèi)各觀測值是等精度的。設(shè)第一組觀測了四次，其觀測值為l1、 12 、l3、l4 ;第二組觀測了三次，觀測值為l1、 12 、l3 。第79頁/共122頁第八十頁，共123頁。這些觀測值的可靠程度都相同，則每組分別取算術(shù)(sunsh)平均值作為最后觀測值，即 。3;4321243211lllLllllL對觀測值L1 、L2來說，彼此是非等精度的觀測，故觀測值的最后(zuhu)結(jié)果應(yīng)為73214321lllllllL上式計算(j sun)實際是：212173743434LLLLL從非等精度的觀點來看，觀測值L1是四次

46、觀測值的平均值，L2是三次觀測值的平均值。兩者的可靠性是不一樣的，故可取4和3為其相應(yīng)的權(quán)，以表示兩者可靠程度的差別。權(quán)通常以字母P表示，且為正值。第80頁/共122頁第八十一頁，共123頁。第81頁/共122頁第八十二頁，共123頁。（二）權(quán)與中誤差的關(guān)系一定的中誤差，對應(yīng)著一個確定的誤差分布，即對應(yīng)著一定的觀測條件。觀測結(jié)果的中誤差愈小，其結(jié)果愈可靠，權(quán)就愈大。因此可以根據(jù)中誤差來定義觀測結(jié)果的權(quán)。設(shè)非等精度(jn d)觀測值的中誤差分別為m1、m2 、mn,則權(quán)可定義為： 權(quán)與中誤差的平方成反比。 nimpii, 1,2其中為任意大于零的常數(shù)。據(jù)上例， l1、 12 、l3、l4 、l1

47、、 12 、l3 是等精度觀測(gunc)列，設(shè)其觀測(gunc)值的中誤差皆為m，則第一組算術(shù)平均值L1的中誤差m1可求：同理設(shè)第二組平均值L2的中誤差為m2，有22141mm22231mm第82頁/共122頁第八十三頁，共123頁。根據(jù)權(quán)的定義(dngy)，分別得L1和L2的權(quán)：2222221131,41mmpmmp式中為任意(rny)正常數(shù)。設(shè)=m2，則L1、L2的權(quán)為：p1=4 , p2=3例 設(shè)以非等精度觀測(gunc)某角度，各觀測(gunc)結(jié)果的中誤差分別為m1=2.0、 m2=3.0 、 m3=6.0 ，則其權(quán)各為36,9,4321ppp設(shè)=4，則91,94, 1321ppp

48、第83頁/共122頁第八十四頁，共123頁。設(shè)=36，則p1=9，p2=4，p3=1,任意選擇值，可以使權(quán)變?yōu)楸阌谟嬎?j sun)的數(shù)值。例 設(shè)對某一未知量進行了n次觀測，求算術(shù)平均值的權(quán)。設(shè)一測回角度觀測值的中誤差為m,則算術(shù)平均值的中誤差由權(quán)的定義并設(shè)=m2，則一測回觀測值的權(quán)為nmM 1222mmmp算術(shù)(sunsh)平均值的權(quán)為nnmmnmpL222第84頁/共122頁第八十五頁，共123頁。由上知，取一測回角度觀測值之權(quán)為1，則n個測回觀測值的算術(shù)平均值的權(quán)為n。故角度觀測的權(quán)與其測回數(shù)成正比。在非等精度觀測中引入“權(quán)”的概念，可以建立(jinl)各觀測值之間的精度比值，以便更合理

49、地處理觀測數(shù)據(jù)。第85頁/共122頁第八十六頁，共123頁。（三）單位(dnwi)權(quán)和單位(dnwi)權(quán)中誤差例如，設(shè)每一測回的觀測(gunc)值的中誤差為m2，其權(quán)為p0，并設(shè)=m2,則1220mmp權(quán)等于1的權(quán)稱為(chn wi)單位權(quán)p0，而權(quán)等于1的中誤差稱為(chn wi)單位權(quán)中誤差，一般用m0或表示。對于中誤差為mi的觀測值，其權(quán)pi為220iimmp 則相應(yīng)的中誤差的另一表達式可寫為:iipmm10第86頁/共122頁第八十七頁，共123頁。 (四)加權(quán)算術(shù)(sunsh)平均值及其中誤差1、加權(quán)算術(shù)平均值設(shè)對同一未知量進行了n次非等精度觀測，觀測值為l1、L2、ln,其相應(yīng)(x

50、ingyng)的權(quán)為p1、p2、pn,則加權(quán)算術(shù)平均值L0為非等精度觀測值的最可靠值，其計算公式可寫為nnnppplplplpL.2122110或 pplL 02、加權(quán)算術(shù)(sunsh)平均值的中誤差M0 nnlpplpplpppplL.22110第87頁/共122頁第八十八頁，共123頁。 222121220.1nnmpmppM式中m1、m2、mn相應(yīng)(xingyng)為l1、l2、ln的中誤差。由定義得：p1m12=p2m22=pnmn2=m02(m0為單位權(quán)中誤差)，故有 pmM2020由nm02=p1m12+pnmn2可知，當n足夠大時，mi可用相應(yīng)(xingyng)觀測值li的真誤差

51、i來代替，故ppmnm220即可得單位(dnwi)權(quán)中誤差m0為：npm0第88頁/共122頁第八十九頁，共123頁。于是可得，此式即為用真誤差計算加權(quán)算術(shù)平均值的中誤差的公式。實用(shyng)中常用觀測值的改正數(shù)vi=L0-li來計算中誤差M0，其中L0是加權(quán)算術(shù)平均值，li為觀測值。于是有： pnpM0 1100nppvvMnpvvm第89頁/共122頁第九十頁，共123頁。iiiiiinpmnnmmpnmnmnmmmmm則令相應(yīng)的權(quán)為：,2222321321解：設(shè)各觀測值算術(shù)(sunsh)平均值L1、L2、L3的中誤差分別為m1、m2、m3。若觀測一次的中誤差為m，則由算術(shù)(sunsh

52、)平均值的中誤差公式得:第90頁/共122頁第九十一頁，共123頁。高差的權(quán)為單位權(quán)。即則取高差的權(quán)為單位權(quán)即則取則令權(quán)為：由權(quán)的定義得各高差的解：kmLpckmLpcLcpmcLmmpLmmLmmLmmiiiiiikmikmiikmkmkm2,2, 21,1, 1,222332211第91頁/共122頁第九十二頁，共123頁。 稱為加權(quán)平均值）有度觀測推廣：對于多個不等精。的權(quán)分別是、而最或然值(,2122112122112211212122112221111212121121ppLpppLpLpLpxppLpLpxnpnpLLnnLnLnxLnLLLLnLLLnnxnnnnnLLLLLLn

53、n 第92頁/共122頁第九十三頁，共123頁。22222222212221222222222222122122211pMppppppppppMpmmppmppmppMLppLppLppppLxnniinnnn得根據(jù)加權(quán)平均值的中誤差(wch)第93頁/共122頁第九十四頁，共123頁。npnpphpnmpmmpppLLnniLiiLiiiiiiii)()()(11222221122222222其真誤差為：的等權(quán)虛擬觀測值構(gòu)建如下一組權(quán)為第94頁/共122頁第九十五頁，共123頁。022)(22pvppLxpLxppvLpxpvpppvpvvppvpvvppvxXvLXLxviiiiixxxi

54、xiiiiiiiixiiiiiii第95頁/共122頁第九十六頁，共123頁。) 1(1222222nppvvpMnpvvpvvnnppvvppppvvMppvvp故故第96頁/共122頁第九十七頁，共123頁。ABDCE1243第97頁/共122頁第九十八頁，共123頁。水水準準路路線線E點的點的觀測高觀測高程程路線路線長長(km)Pi=1/LiL L(mm)piLiLiv(mm)pvpvv123456789158.7591.520.66+1+0.66+8+5.342.4258.7841.430.70+26+18.20-17-11.9202.3358.7581.510.6600+9+5.95

55、3.1458.7671.620.62+9+5.58000 p=2.64 pL L = 24.44 pv=-0.7 pvv=297.8第98頁/共122頁第九十九頁，共123頁。 ppLppLppLpppLxLLLLLLpcLcpLxxLLiLiLiiiiii其中故即引入近似值則取解：權(quán)000000,1, 1ABDCE1243第99頁/共122頁第一百頁，共123頁。mxmmpMmLxnpvvmmppxLx0062. 0767.582 . 664. 210767.58009. 0758.5838 .2971964. 244.240故令第100頁/共122頁第一百零一頁，共123頁。第101頁/共

56、122頁第一百零二頁，共123頁。第102頁/共122頁第一百零三頁，共123頁。例17（L） 如圖，經(jīng)A、B、C水準點三條水準路線L1、 L2 、L3測定結(jié)點Q的高程，其觀測值Hi和路線長Li見表，試求Q點最或然值及其中誤差(wch)，各觀測值中誤差(wch)，每公里線路觀測值中誤差(wch)。列表計算如下：路路線線高程觀高程觀測值測值H/m路線長路線長L/km權(quán)權(quán)P=100/L改正數(shù)改正數(shù)（Vi=H0-Hi）v/mmPv/mmPvv/mmL148.75945.62.2+13+28.6372L2 48.78432.83.0-12-36.0432L348.76840.32.5+4+10.040

57、 7.7+2.6844第103頁/共122頁第一百零四頁，共123頁。(1)加權(quán)平均值的計算觀測值的權(quán)按式 計算，其中(qzhng)取C=100km，表示100km的水準測量觀測值的權(quán)P=1。048.759 2.248.784 348.768 2.548.772 7.7PlHmP 21008442113 1Pvvummn (2)單位權(quán)中誤差(wch)的計算由于單位權(quán)觀測值是以100km計的，因此計算的單位權(quán)中誤差(wch)也是以100km為單位的，即iiLcp 第104頁/共122頁第一百零五頁，共123頁。(3)加權(quán)平均值中誤差(wch)的計算：1000218 7.7uMmmP 注：從上表得

58、：pv=+2.6mm,不為0，表明有湊整誤差，如果pv的絕對值未超過0.5p,（本例為0.57.7mm=3.9mm）,可忽略不計。否則應(yīng)檢查其原因，直至(zhzh)達到要求為止。第105頁/共122頁第一百零六頁，共123頁。1001121142.2ummmP 1002221123ummmP 1003321132.5ummmP (4)各觀測(gunc)值中誤差的計算(5)每公里觀測值中誤差(wch)的計算1001001001kmPL100212.1100kmummmP 計算每公里觀測值中誤差，是為了查看(chkn)測量精度是否符合規(guī)范要求。每公里觀測值的權(quán)Pkm應(yīng)為：第106頁/共122頁第一

59、百零七頁，共123頁。例18 設(shè)對N個多邊形內(nèi)角進行觀測(gunc)，其內(nèi)角閉合差為1、 2、 n，相應(yīng)多邊形內(nèi)角數(shù)為n1 、n2 、nN，試求測角中誤差m。解：觀測(gunc)值閉合差即為真誤差，觀測(gunc)值的權(quán)即為內(nèi)角代數(shù)和的權(quán)。權(quán)與內(nèi)角數(shù)ni成反比，pi=c/ni 。取c=1，即一個內(nèi)角為單位權(quán)觀測(gunc)值，而單位權(quán)中誤差，即為測角中誤差m。根據(jù)式 可得npNnnnmNN22222111.11即nNm1第107頁/共122頁第一百零八頁，共123頁。上式用于計算導(dǎo)線(doxin)測量中的測角中誤差。當式中n1 =n2=nN=3時，上式變?yōu)榉屏辛_公式。第108頁/共122頁第一百零九頁，共123頁。思考題：1、名詞解釋：系統(tǒng)誤差、偶然誤差、絕對誤差、相對誤差、最或然值、精密度、準確度、權(quán)、單位權(quán)觀測值。2