1、附錄C 極坐標(biāo)和參數(shù)方程 第一節(jié) 極坐標(biāo) 第二節(jié) 參數(shù)方程第一節(jié) 極 坐 標(biāo) 我們知道可以利用直角坐標(biāo)系來(lái)表示平面上點(diǎn)的位置和一些曲線的方程,但在有些具體問(wèn)題中這并不方便.例如,雷達(dá)兵在報(bào)告雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的飛機(jī)的位置時(shí)，只需指出飛機(jī)的方向和距離.像這種利用方向和距離來(lái)確定平面上點(diǎn)的位置的坐標(biāo)系就是極坐標(biāo)系.本節(jié)介紹極坐標(biāo)系的概念和曲線的極坐標(biāo)方程.一、極坐標(biāo)的概念1.平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)10 1, 如圖所示 在平面上取一定點(diǎn) ,從 引一條射線,再取定一個(gè)單位長(zhǎng)度并規(guī)定角旋轉(zhuǎn)的正方向(通常以逆時(shí)針方向?yàn)檎?,這樣就構(gòu)成了一個(gè)標(biāo). 點(diǎn)稱為點(diǎn),射線稱為軸OOOxOOx極坐系極極.圖10-1 極坐標(biāo)系圖形示意O

2、x,M ,.,.,:,.MOMOMOxOMMMMM 設(shè) 為平面上任意一點(diǎn),連接 , 令 表示從 到 的角 稱為點(diǎn) 的極徑 稱為點(diǎn) 的極角這一對(duì)有序?qū)崝?shù) 與 稱為點(diǎn) 的極坐標(biāo)記作0,0,0,0. 當(dāng) 時(shí) 不論 取什么值 都表示極點(diǎn).當(dāng) 時(shí) 不論 取什么正值 當(dāng) 都在極軸上0,02,.MMM 當(dāng)時(shí) 對(duì)于平面上任意一點(diǎn) 除極點(diǎn)外都可以找到惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng);反過(guò)來(lái),對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù) 也總可以在平面上找到惟一的一點(diǎn) 與之對(duì)應(yīng).也就是說(shuō),當(dāng) 和 在上述范圍內(nèi)取值的 平面上的點(diǎn) 除極點(diǎn)外 與實(shí)數(shù)對(duì)之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系12340,02,3,3,4.例如,如圖10-2所示,當(dāng)時(shí) 點(diǎn)和的極坐標(biāo)11分別為

3、3,和 1,而極坐標(biāo)為和 2,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)626分別是和MMMM1234102,MMMM圖 的極坐標(biāo)1M2M3M4Mx1166234O,.0,103( );0,103( )0,;0,. 由于實(shí)際應(yīng)用的需要 極徑 和極角 也可以取負(fù)值當(dāng)時(shí) 規(guī)定在角 的終邊上取點(diǎn)使如圖a 所示 當(dāng)時(shí) 則在角 的終邊的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn),使如圖b 所示;當(dāng)時(shí) 極軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 當(dāng)時(shí) 極軸按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)MOMMOM103圖 極徑 和極角 的不同取值Ox,M 0 0O,M 0 0 x234372,1,3,4,6246104.1例如,點(diǎn)在極坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示MMMM 1234104,MMMM 圖 點(diǎn)在極坐 標(biāo)系內(nèi)的

4、位置1M2M3M4Mx6234O76y圖10-5 點(diǎn)M的極坐標(biāo)OxM344,3733, 3,3,444113,.,243,MMMk 由此可知,在這樣的規(guī)定下,對(duì)于任意一對(duì)有序?qū)崝?shù)仍然可以在平面上確定惟一的點(diǎn) , 但是反過(guò)來(lái),平面上任意一點(diǎn)卻對(duì)應(yīng)著無(wú)限多對(duì)實(shí)數(shù),它們都是這個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo).例如,圖10-5中點(diǎn) 的極坐標(biāo)可以是一般說(shuō)來(lái) 點(diǎn) 的極坐標(biāo)可以寫為 3,-4或 421,kkZ 其中這種點(diǎn)與坐標(biāo)之間的非一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是極坐標(biāo)不同于直角坐標(biāo)的地方.,.,00.由于 -可用來(lái)表示因此 可將的情形轉(zhuǎn)化為的情形來(lái)處理.除非必要, 一般不取負(fù)值 2.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系是兩種不同的坐

5、標(biāo)系，同一個(gè)點(diǎn)可以用極坐標(biāo)表示，也可以用直角坐標(biāo)表示.為了研究問(wèn)題方便，有時(shí)需要把它們進(jìn)行互化.106,.如圖所示 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn) 軸的非負(fù)半軸作為極軸 并在兩種坐標(biāo)系中取相同單位長(zhǎng)度x圖10-6 直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的關(guān)系xOy, yx,M x y,.: 設(shè)是平面上任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是 x,y極坐標(biāo)是顯然可知M cossinxy10 110 1 ,.(!) 利用公式可以把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)公式借助圖形記憶.M,.M 設(shè)點(diǎn) 的極坐標(biāo)為 5,- 求它的直角坐標(biāo)3例1,:由公式 10-1 可得 55cos,32x5 35sin.32y 解55 3,.22,10 1:于是得點(diǎn)的直

6、角坐標(biāo)為我們也可以把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)由公式變化可得MM222tan0 xyyxx1020,02 .tan,. 為了使點(diǎn)極點(diǎn)除外 的極坐標(biāo)惟一確定,一般可取在由的值確定 時(shí) 應(yīng)該根據(jù)點(diǎn)所在的象限決定恰當(dāng)?shù)腗M,.設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 1,-1 求它的極坐標(biāo)M例2 :由公式 10-2 可得22112, 1tan1.1 71, 1,472,.4 因?yàn)辄c(diǎn)在第IV象限,所以于是可得點(diǎn)的極坐標(biāo)為MM解二、曲線的極坐標(biāo)方程1.曲線的極坐標(biāo)方程的概念,.,xyxy 在平面上的一條曲線 在直角坐標(biāo)系中可以用含有 和 的方程來(lái)表示同樣,在極坐標(biāo)系中,曲線也可以用含有 和 的方程來(lái)表示而且有些曲線在直角坐標(biāo)系中不

7、容易用 和 的方程表示,但在極坐標(biāo)系中卻可簡(jiǎn)單地用 和 的方程來(lái)表示這就要求我們?cè)诮鉀Q具體的曲線方程問(wèn)題時(shí) 選擇建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)得出方程.為了區(qū)別這兩類曲線方程,我們將曲線在直角坐標(biāo)系中得出的方程稱為標(biāo)而在極坐標(biāo)系中得出的方程稱為標(biāo).直角坐方程,極坐方程利用點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的互化公式,可將曲線的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行互化.2220. 將等軸雙曲線化為極坐標(biāo)方程xyaa例3,cos ,sin,xy 由公式 10-1 將代入方程 得:22222cossin,a2222cossin.所以 a22cos2,所以a22.cos2即a.這就是所給的等軸雙曲線的極坐標(biāo)方程解22200.將圓化為

8、極坐標(biāo)方程xyaxa例4 ,:由公式 10-1 可得 2222cossin2cos0a所以22cos0,a所以02 cos0.或a0,2 cos0 . 因?yàn)楸硎军c(diǎn)圓 與已知矛盾 應(yīng)舍去 所以所求圓的極坐標(biāo)方程為a0aa解2 sin0,. 將化為直角坐標(biāo)方程 并作出它的圖像aa例52 sin,:a將方程 的兩端乘以 得22sin .a又因?yàn)?22,sin,xyy所以222.xyay即 2220 xyaaa,0,107.caa 顯然 這是一個(gè)圓心是半徑是 的圓 如圖所示圖10-7 例5題圖形xOyc 解 2.極坐標(biāo)方程的作圖 極坐標(biāo)方程的作圖與直角坐標(biāo)方程、函數(shù)的作圖一樣，都可用描點(diǎn)法.(1)0

9、;(2).2a a 作出下列極坐標(biāo)方程的圖像. 例6(1)0 ,;a aaOa 對(duì)于方程可以看出當(dāng) 取任何值時(shí)的取值都是 因此方程的圖像是以極點(diǎn) 為圓心, 為半徑的圓圖10-8 1080a a圖 例6題(1) 的圖像xOaa,0a解(2),2,2. 對(duì)于方程可以看出當(dāng) 取任何值時(shí)的取值都是因此方程的圖像是通過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線圖10-9OBA1092圖 例6題(2) 圖形xO22AB,. 在極坐標(biāo)系中 有時(shí)方程的形式簡(jiǎn)單 但所表示的曲線卻比較復(fù)雜如果只用描點(diǎn)法,則需要求出曲線上相當(dāng)多的點(diǎn),才能畫出整個(gè)曲線.為了作圖的方便,我們先來(lái)了解曲線對(duì)稱性.31411,10 10 ,;,2.12 設(shè)是

10、極坐標(biāo)系中任意一點(diǎn) 圖是關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn);是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)MMMMMMM 圖10-10 極坐標(biāo)系中的對(duì)稱關(guān)系xO21,M 2,M3,M 4,M ,由以上點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系 可得到曲線的對(duì)稱關(guān)系見表10-1.f = f線對(duì)稱關(guān)表10 -1 曲的系以代替 ,方程不變以代替 ,方程不變曲線關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱曲線關(guān)于極軸對(duì)稱 以- 代替 ,同時(shí)以-代替 ,方程不變曲線關(guān)于 =對(duì)稱21 cos0.作出方程的圖像aa例7 coscos ,. 因?yàn)?所以用- 代替方程不變 因此這方程表示的曲線是關(guān)于極軸對(duì)稱的 0.將與 的對(duì)應(yīng)值列表如下 表10-20對(duì)應(yīng)表10 - 2 與 的值0060.13a40.

11、29a30.5a2a231.5a341.71a561.87a2a解 依照上表作出各點(diǎn)并連成光滑的曲線,再根據(jù)對(duì)稱性就可作出所給方程的全部圖像(圖10-11),這曲線稱為心形線.圖10-11 心形線xO23462334562a3.極坐標(biāo)方程的建立 ,. 我們知道曲線可以看成是適合某種條件的點(diǎn)的軌跡.如果在極坐標(biāo)系內(nèi)用流動(dòng)坐標(biāo)將滿足的條件表示成一個(gè)關(guān)系式則這個(gè)關(guān)系式就是曲線的極坐標(biāo)方程f 0,.A aa 求經(jīng)過(guò)點(diǎn),0 且而和極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程例8 10-12,.,2MOMOMAOMaOAM 如圖所示,設(shè)是直線上任意一點(diǎn).連接,則=又因?yàn)樗杂衏os 即 cos a.這就是所求直線的極坐標(biāo)方

12、程圖10-12 例8圖形xO,0A a,M 解 設(shè)有一圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn) ,圓心 在極軸上,半徑為 ,求它的極坐標(biāo)方程.OCa例9,10 13 ,2 ,2cos,2MOMMAOMAOMOMAOAaa 設(shè) 是圓上任意一點(diǎn) 圖連接 及 則 因?yàn)?所以 即 2 cosa, 這就是所求圓的極坐標(biāo)方程 它與例4所化成的極坐標(biāo)方程一致.圖10-13 例9圖形xO,M AC解第二節(jié) 參 數(shù) 方 程,.,0.,前面我們介紹了如何在直角坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系內(nèi)用流動(dòng)坐標(biāo)或來(lái)表示平面內(nèi)一些曲線的方程但在實(shí)際問(wèn)題中,有些曲線用以上的方法來(lái)表示比較困難,也就是說(shuō)很難找到曲線所滿足的0或的式子為此 我們將引入一個(gè)新變量來(lái)表示曲線方程

13、,即:參數(shù)方程.x,yf x,yg 一、參數(shù)方程的概念先來(lái)看下面的一個(gè)例子.,.0 以初速度并與水平面成 角發(fā)射炮彈 若不計(jì)空氣的阻力求炮彈運(yùn)動(dòng)的軌跡方程10 17,0.,.,0 如圖所示 建立直角坐標(biāo)系 設(shè)點(diǎn)為炮彈在運(yùn)動(dòng)中的任意一位置,可以看出,要用 和 之間的直接關(guān)系來(lái)表示炮彈運(yùn)動(dòng)的軌跡方程是比較困難的但是我們知道 炮彈運(yùn)動(dòng)的軌跡是由炮彈在各個(gè)時(shí)刻的位置所決定的.下面就來(lái)分析炮彈在任意位置的坐標(biāo) 和 分別與時(shí)刻 之間的關(guān)系.如果不考慮地心引力,則經(jīng)過(guò)時(shí)刻 ,炮彈運(yùn)動(dòng)到 ,于是=但事實(shí)上炮彈受地心引力的影響 不在點(diǎn) 而在點(diǎn)M x yxyf x,yxyttTOTtTM2.1cos ,sin,:

14、200由于點(diǎn)的橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為因此我們就以方程組Mttgt12cos01sin2xtttytgt 00 ，2111,.0,.0,.gtttM x yttM x y來(lái)表示炮彈運(yùn)動(dòng)的軌跡方程 其中 是重力加速度 g=9.8m/s是炮彈落地的時(shí)刻對(duì)應(yīng)于 的每一個(gè)值 就確定了炮彈相應(yīng)的每一個(gè)位置因此 在上連續(xù)變化時(shí)就描出了炮彈運(yùn)動(dòng)的軌跡圖10-17 炮彈運(yùn)動(dòng)規(guī)律的軌跡OxyTQ0cosv t0sinv t0v t,M x y12cos01sin2xtttytgt 00 ，,:從這個(gè)例子可以看出曲線上動(dòng)點(diǎn)的軌跡可以用流動(dòng)坐標(biāo) 和 分別與另一個(gè)變量 的一組方程M x yxyt 103xx tatbyy t

15、 ， . !.來(lái)表示參數(shù)方程一般形式, 同樣 在極坐標(biāo)系中曲線上的動(dòng)點(diǎn)的軌跡可以用流動(dòng)坐標(biāo) 和 分別與另一個(gè)變量 的一組方程Mt 10-4ttt ， .來(lái)表示 方程組（10-3）和方程組（10-4）叫做曲線的參數(shù)方程.變量t叫做參數(shù). 在用參數(shù)方程表示曲線時(shí)，方程中的參數(shù)不一定是時(shí)間，也可以是其他的量，應(yīng)當(dāng)根據(jù)問(wèn)題的具體條件適當(dāng)?shù)剡x定. 為了與曲線的參數(shù)方程有所區(qū)別，我們把表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的直接關(guān)系的方程叫做曲線的普通方程.二、參數(shù)方程的作圖在所給曲線的參數(shù)方程 x= x tatby= y t ，,中 先給參數(shù)t以某些可能取的值,求出x和y的對(duì)應(yīng)值,這樣就確定了曲線上的點(diǎn),將這些點(diǎn)連成光

16、滑的曲線,就是參數(shù)方程的圖像.作出參數(shù)方程例1 x=tt y= t2，-+2.的圖像.tt,xy 這里 可以取一切實(shí)數(shù).將 和 的對(duì)應(yīng)值列表如下 表10-4 解t,x, y對(duì)應(yīng)表表10- 4 的10- 4 的值值txy 描點(diǎn)作圖時(shí),可以不管表里第一行 的數(shù)值,只需根據(jù) 和的值,就可以確定點(diǎn)的位置,圖10-18就是所給參數(shù)方程的圖像.210182x tyt=圖 參數(shù)方程的圖像Oxy24yxtxy396244112000112443962三、化曲線的參數(shù)方程為普通方程曲線的參數(shù)方程： x= x tatby= y t ，.是通過(guò)參數(shù) 來(lái)間接表示 與 之間的關(guān)系如果從這兩個(gè)方程能消去參數(shù) ,那么就得到

17、表示 與 間的直接關(guān)系的普通方程.例如,上面所述的炮彈運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程可以化為普通方程.txytxy已知炮彈運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程為:12cos01sin2x=tttytgt 00，105106105,:從式解出 得tcos0 xt106 ,:代入式得21sincos2cos000 xxyg化簡(jiǎn)得222tan2cosgyxx0.這就是炮彈運(yùn)動(dòng)軌跡的普通方程這個(gè)方程的右邊是x的二次式,軌跡是拋物線,拋物線的名稱就是由此而來(lái)的.把參數(shù)方程例2 2sin,cosxttyt=為參數(shù)=107108,.化為普通方程 并說(shuō)明它表示什么曲線將式 10-7 兩邊平方,得: 22sin10-9xt 109:再將式與式 10

18、-8 兩邊相加得222sincos1.xytt:得普通方程21xy即2 1-y=x2,0,1 ,.cos,顯然 它的圖像是拋物線 頂點(diǎn)在對(duì)稱軸為 軸 開口向下由于恒為正值或零 故參數(shù)方程的圖像僅為 軸上方的部分,如圖10-19所示.yytx解2222,0,1,sec,sectanF x yx yxyxat tabxaty=bt 與曲線的參數(shù)方和化為普通方程的情況相反 若已知曲線的普通方程并給出某指定參變量分別與的函數(shù)關(guān)系 則曲線的普通方程也可化為參數(shù)方程.例如,已知雙曲線設(shè)是參數(shù)將代入雙曲線的普通方程,可得,因此:sectanx= aty=bt 就是所給雙曲線的參數(shù)方程.2sin1019cosx =ty =t圖 參數(shù)方程的圖像11Oxy10,1四、曲線參數(shù)方程的建立,txyt 建立曲線的參數(shù)方程 除去由曲線的普通方程化為參數(shù)方程以外,通常是把曲線看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡,選取適當(dāng)?shù)膮?shù) ,使曲線上點(diǎn)的流動(dòng)坐標(biāo) 與 或 與分別用與參數(shù) 的關(guān)系式來(lái)表示,下面我們來(lái)介紹一些常見曲線的參數(shù)方程.1.橢圓的參數(shù)方程22221.,.,:xyM x,yababa, bMMAxAAOAAOxt 設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn).以原點(diǎn)為圓心,分別以 為半徑作兩個(gè)輔助圓 圖10-20過(guò) 作直線 垂直于 軸 垂足為 交大輔助圓于