1、方陣問題知識(shí)概要方陣可以分為實(shí)心方陣和空心方陣。計(jì)算組成實(shí)心方陣、空心方陣的物體的個(gè)數(shù)是主要的方陣問題。方陣的基本特點(diǎn)是：方陣中，里一層總比外一層的一邊少2個(gè)物體，里一層物體的個(gè)數(shù)一定比個(gè)一層物體總個(gè)數(shù)少 8個(gè)。 一實(shí)心方陣中物體個(gè)數(shù)二最外層的一邊個(gè)數(shù)義最外層一邊的個(gè)數(shù)；（每邊數(shù)一1） X 4二每層數(shù)；每層數(shù)+ 4+1=每邊數(shù)空心方陣中物體的個(gè)數(shù)i二（最外層一邊的個(gè)數(shù) 一層數(shù)）x層數(shù)X41、有一個(gè)正方形的稻田，四個(gè)角上都放1個(gè)稻草人，如果每邊放 5個(gè)， Y I四邊共放多少個(gè)稻草人？2、有圍棋子若干，恰好可以排成每邊10個(gè)的正方形，棋子總數(shù)多少個(gè)？3、有一個(gè)正方形池塘，四個(gè)角上都栽1棵樹，一共栽

2、了 28棵樹，那么每邊栽多少棵？4、同學(xué)們排成一個(gè)兩層空心方陣，外層每邊8人，這個(gè)方陣一共有多少人？5、把若干個(gè)棋子擺成一個(gè)三層的空心方陣，最外層每邊12個(gè)棋子，求這個(gè)方陣共有多少個(gè)棋子？6、同學(xué)們?cè)谲娪?xùn)時(shí)排成了一個(gè)由204人組成的三層空心方陣，求最外面一層每邊有多少人？7、某小學(xué)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，同學(xué)們排成正方形隊(duì)列參加團(tuán)體操表演。如果在這個(gè)正方形隊(duì)列中減少一行一列，則要減少15人，問參加團(tuán)體操表演的有多少同學(xué)？8、小剛在用棋子擺好的實(shí)心陣上又填了17枚棋子，使它的橫豎各增加一I I排，成了大一點(diǎn)的實(shí)心方陣，求原來實(shí)心方陣有多少枚棋子？9、同學(xué)們?cè)谲娪?xùn)時(shí)，進(jìn)行隊(duì)列表演，由于場(chǎng)地有限，在原來的正方形

3、隊(duì)列中，橫豎各減少一排，一共去掉了21名同學(xué)原來參加隊(duì)列表演的有多少人？10、運(yùn)動(dòng)會(huì)上，在正方形操場(chǎng)的四周都插上彩旗，四個(gè)角上都插一個(gè)，每/ I 產(chǎn)產(chǎn)邊插12個(gè)，那么一共插多少個(gè)？11、四年級(jí)同學(xué)排成了一個(gè)每邊10人的中空方陣，共 2層，求這個(gè)方陣總?cè)藬?shù)？. . . I |12、在兒童公園的一次菊花展上，用120盆菊花擺成一個(gè)三層空心方陣，這個(gè)方陣最外層每邊有多少盆花？13、一個(gè)中空方陣的隊(duì)列，最外層每邊18人，最內(nèi)層每邊10人。這個(gè)隊(duì)列共有多少人？14、用64枚棋子擺成一個(gè)兩層中空方陣，如果想在外面再增加一層，問需要增加多少枚棋子？15、學(xué)校組織一次團(tuán)體操表演，把男生排列成一個(gè)實(shí)心方陣，又在

4、這個(gè)實(shí)心方陣四周站一排女生。女生有72人參加表演，男生有多少人？作業(yè)：1、在正方形的廣場(chǎng)四周裝彩燈，四個(gè)角上都裝一盞，每邊裝 25盞，問這 個(gè)廣場(chǎng)一共需裝彩燈多少盞？2、運(yùn)動(dòng)會(huì)上，在正方形操場(chǎng)四周站著執(zhí)旗的同學(xué)28人，如四個(gè)角上都站一名同學(xué)，求這個(gè)操場(chǎng)每邊站臺(tái)多少個(gè)學(xué)生？3、64人排成一個(gè)實(shí)心方陣，這個(gè)方陣每邊多少人？4、小強(qiáng)用棋子排成了一個(gè)每邊11枚的中空方陣，共2層，求這個(gè)方陣共I I用多少枚棋子？r 八''1 .學(xué)校為慶?！笆弧?，用盆花擺了一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有36盆花。求這個(gè)方陣共有花多少盆？2 .解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演，組成一個(gè)外層有48人，內(nèi)層有16人的多層中空方陣

5、，這個(gè)方陣有幾層？ 一共有多少人？3 .有一個(gè)用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個(gè)圓片，如果把內(nèi)層的圓片取由來，在外層再擺一層，變成一個(gè)新的中空方陣，應(yīng)再增 加多少圓片？4 .有一中空方陣，小明計(jì)算總?cè)藬?shù)為146人，問小明算的對(duì)嗎？為什么？5 .有學(xué)生若干名，排成中實(shí)的方陣則多2人，若在這正方陣縱橫兩個(gè)方向個(gè)增加一行還缺五人，問有學(xué)生多少人？6 .最外層每邊16人的中空方陣，共5層，求總?cè)藬?shù)及最內(nèi)層的人數(shù)。7 .一張桌子四周可以坐 4人，兩張桌子并排起來可以坐 6人，三張桌 子可以坐8人，問20張桌子并起來可以坐多少人？如果有 78人要 坐下，須多少?gòu)堊雷硬⑵饋恚? .用若干棋子擺成中實(shí)

6、方陣，再把這個(gè)中實(shí)方陣拆開，用這些棋子擺 成一個(gè)只有一層的中空方陣，求棋子有多少個(gè)？9 .儀仗隊(duì)員組成兩個(gè)實(shí)心方陣，甲方陣每邊12人，后來兩隊(duì)合在一起排成一個(gè)中空方陣的丙方陣，丙方陣最外層一邊人數(shù)比乙方陣最外層一邊人數(shù)多4人，又原來甲方陣的人正好填滿丙方陣空心。求原乙方陣每邊 的人數(shù)（指最外層一邊人數(shù)）。10 .原排成方陣的若干同學(xué)，改排成每邊4行的中空方陣，改編后最外面一行的人數(shù)比原來方陣每邊人數(shù)多16人，求學(xué)生人數(shù)。11 .運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)式要求排成一個(gè)9行9列的正方形方陣，如果去掉 2行2歹U,要減少多少運(yùn)動(dòng)員？12 .學(xué)校為慶?！笆弧?，用盆花擺了一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有36盆花。求這個(gè)方陣

7、共有花多少盆？13 .一個(gè)由圓片擺成的中實(shí)方陣，最外一層有12個(gè)圓片，把4個(gè)這樣的中實(shí)方陣拼成一個(gè)大的中實(shí)方陣，那么最外層應(yīng)該有多少個(gè)圓片？14 .有一個(gè)用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個(gè)圓片，如果把內(nèi)層的圓片取由來，在外層再擺一層，變成一個(gè)新的中空方陣，應(yīng)再增 加多少圓片？15 .解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演，組成一個(gè)外層有48人，內(nèi)層有16人的多層中空方陣，這個(gè)方陣有幾層？ 一共有多少人？? 16.一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng)是150米，每隔3米栽種一棵樹.問：共需樹苗多少株？小學(xué)奧數(shù)專題練習(xí)一一方陣問題例1.三年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，排成一個(gè)方陣，最外層一周的人數(shù)為20人，問方陣最外層每邊的人

8、數(shù)是多少？這個(gè)方陣共有多少人？分析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)+ 4+1,可以求生這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù)，那么這個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解：(1)方陣最外層每邊的人數(shù)：20+4+1=5+1=6(人)(2)整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：6 X 6=36(人)答：方陣最外層每邊的人數(shù)是 6人，這個(gè)方陣共有36人。例2.明明用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣 ，如果最外層每邊有圍棋子 15個(gè)，明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少棋子 ？擺這個(gè)三層空心方陣共 用了多少個(gè)棋子？分析：(1)方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè)，知道最外面一層 每邊放15個(gè)，可以求生最里層每邊的個(gè)數(shù) ，就

9、可以求生最里層一周放棋子 的總數(shù)。(2)根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)空心方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再乘以4,計(jì)算由這個(gè)空心方陣共用棋子多少個(gè)。解：(1)最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是：(15-2-2- 1)X4=40(個(gè))(2)這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是：(15- 3)X3X4=144 0")答：這個(gè)方陣最里層一周有40個(gè)棋子；擺這個(gè)空心方陣共用144個(gè)棋子。例3.玲玲家的花園中，有一個(gè)如下圖那樣，由四個(gè)大小相同的小等邊 三角形組成的一個(gè)大三角形花壇，玲玲在這個(gè)花壇上種了若干棵雞冠花，已知每個(gè)小三角形每邊上種雞冠花5棵，問大三角形的一周有雞冠花多少棵？玲玲一共種雞冠花多少棵？分析：(1)

10、由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的，而在大三角形一條邊的中間那棵花，是兩條小三角形的邊所共用的，所以如果小三角形每邊種花5棵，那么大三角形每邊上種花的棵數(shù)就是5X2-1=9棵了，又由于大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的3棵花，都是大三角形的兩條邊所共用的，所以大三角形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù)的和 減去三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)計(jì)算的3棵花，即:9 X 3 -3=24,就是大三角形一周種花的棵數(shù)。(2)三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和，等于里邊小三角形一周上種花的棵數(shù)，加上大三角形一周種花的棵數(shù)，再減去重復(fù)計(jì)算的3棵花(因?yàn)槔镞呅∪切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)上的三棵花，也分別是外邊大三角形每條邊上的一

11、棵花)。解:（1）大三角形一周上種花的棵數(shù)是：（5 X2 -1） X3-3=24（棵）（2）小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是:（5- 1）X3=12（棵）（3）玲玲一共種雞冠花的棵數(shù)是：24+12-3=33（棵）答:大三角形一周種雞冠花 24棵；玲玲一共種雞冠花 33棵。例4.五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽，他們排成甲乙兩個(gè)方陣，其中甲方陣每邊的人數(shù)等于8,如果兩隊(duì)合并，可以另排成一個(gè)空心的丙方陣，丙方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多4人，甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多少人？分析：若只排列一個(gè)乙方陣，則多余的人數(shù)為（即甲方陣的人數(shù)）8X8= 64（人），排列一

12、個(gè)實(shí)心的丙方陣，不足的人數(shù)是:8 X 8=64（人）假設(shè)丙方陣 為實(shí)心方陣，則乙多的人數(shù)是:8 X8+8X 8=128（人）,又根據(jù)方陣擴(kuò)展一層， 每邊增加2人，丙方陣比乙方陣的外邊多4人，丙方陣多于乙方陣的層數(shù)是4+2=2（層），方陣擴(kuò)展2層，需要增加128人，則方陣最外層的人數(shù)是（128 +2X4）-2=68（A ）,丙方陣的總?cè)藬?shù) 18X18-8X8=260（人）解：（1）假設(shè)丙方陣為實(shí)心方陣，則方陣最外層的人數(shù)是：（8 X8+8X8+ 2X4）+2=68（人）（2）丙方陣最外層每邊的人數(shù)是：68+4+1 =18（人）（3）空心丙方陣的總?cè)藬?shù):18 X18 -8X8=324-64=260

13、（人）答：五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有260人。例5.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問這個(gè)方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵？方陣中共有楊樹，柳樹各多少棵？分析：根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種，假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹，白點(diǎn)表示柳樹觀察圖（1）（2）不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊 樹種在方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是 相同的。因而楊樹和柳樹的棵數(shù)相等，即最外層楊，柳樹分別為（7- 1）X4 + 2=12（棵）o當(dāng)柳樹種在方陣最外層的角上時(shí) ，最內(nèi)層的一棵是柳樹；當(dāng)楊樹種在 方陣最外層的角上時(shí)，最內(nèi)層的一棵是楊樹，即在方陣中,楊樹和柳樹總數(shù) 相

14、差1棵。解:（1）最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為：（7- 1）X4+2=12（棵）（2）當(dāng)楊樹種在最外層角上時(shí)，楊樹比柳樹多1棵：楊樹:（7 X 7+1）+2=25（棵）柳樹:7 X7 -25=24（棵）（3）當(dāng)柳樹種在最外層角上時(shí)，柳樹比楊樹多1樹柳樹（7 X 7+1）+2=25（棵）楊樹 7X7-25=24（棵）答：在圖(1)(2)兩種方法中，方陣最外層都有楊樹12棵，柳樹12棵，方陣中總共有楊樹 25棵，柳樹12棵，方陣中總共有楊樹 25棵，柳樹24棵, 或者有楊樹24棵，柳樹25棵。練一練1 .某校少先隊(duì)員可以排成一個(gè)四層空心方陣如果最外層每邊有20個(gè)學(xué)生，問這個(gè)空心方陣最里邊一周有多少個(gè)學(xué)

15、生？這個(gè)四層空心方陣共有多少個(gè)學(xué)生？2 .六一兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周圍，用204盆鮮花圍成了一個(gè)每邊 三層的方陣求最外面一層每邊有鮮花多少盆？3 .三年級(jí)(1)班的學(xué)生參加體操表演，排成隊(duì)形正好是由每 7個(gè)人為一 邊的6個(gè)三角形組成的一個(gè)正六邊形 ，求正六邊形一周共有多少名學(xué)生 ？三 (1)班參加體操表演的共有多少人 ？4 .現(xiàn)有松樹和柏樹以隔株相間的種法，種成9行9列的方陣，問這個(gè)方陣最外層有松樹和柏樹各多少棵？方陣中共有松樹柏樹各多少棵？練一練答案(1)(20- 2X3- 1) X4=42(個(gè))(20- 40X4X4=256(個(gè))(2)最外層每邊人數(shù)=總數(shù)+4+層數(shù)+層數(shù)204+4+3

16、+3=20(盆)(3)7 X 6 -6=36(人)7X12-6X2-5=67(人)(4)最外層松柏各是：(9- 1)X4+2=16(棵)共有松柏樹是：(9 X 9+1)+2=41(棵)81-41=40(棵)答：柏樹41棵，松樹40棵，或松樹41棵，柏樹40棵。奧數(shù)專題之方陣問題 11 .某班抽由一些學(xué)生參加節(jié)日活動(dòng)表演，想排成一個(gè)正方形方陣，結(jié) 果多由7人；如果每行每列增加一個(gè)再排，卻少了 4人，問共抽由學(xué)生多 少人？a 4 / / |' | '|J ，'工、；/ / |2 .將棋子排成正方形，甲、乙兩人自其外周起，輪流取一周，結(jié)果甲 比乙多得24粒，問棋子總數(shù)有多少粒

17、？/ I 產(chǎn)產(chǎn)3 .某班抽由一些學(xué)生參加節(jié)日活動(dòng)表演，想排成一個(gè)正方形方陣，結(jié) 果多由7人；如果每行每列增加一個(gè)再排，卻少了 4人，問共抽由學(xué)生多1 I少人？4 .棋子若干粒，恰好可排成每邊8粒的正方形，棋子的總數(shù)是多少？棋子最外層有多少粒？5 .有學(xué)生若干人，排成 5層的中空方陣，最外層每邊人數(shù)是12人,問有多少學(xué)生？6 .設(shè)計(jì)一個(gè)團(tuán)體操表演隊(duì)，想排成6層的中空方陣，已知參加表演的有360人，問最外層每邊應(yīng)安排多少人?7 .在第五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)上，紅星小學(xué)組成了一個(gè)大型方塊隊(duì)，方塊隊(duì)最外 層每邊30人，共有10層，中間5層的位置由20個(gè)同學(xué)抬著這次運(yùn)動(dòng)會(huì) 的會(huì)徽，問這個(gè)方塊隊(duì)共有多少同學(xué)組成？8

18、.有一隊(duì)學(xué)生，排成中空方陣，最外層的人數(shù)共56人，最內(nèi)層的人數(shù)共32人，這一隊(duì)學(xué)生共有多少人？I I9 .團(tuán)體操表演，少先隊(duì)員排成4層的中空方陣，最外層每邊人數(shù)是10 人，問參加團(tuán)體操表演的少先隊(duì)員共有多少人？I .;口 二一10 .用棋子擺成方陣，恰好每邊 24粒的實(shí)心方陣，若改為 3層的空心 方陣，它的最外層每邊應(yīng)改放多少粒11將棋子排成正方形，甲、乙兩人自其外周起，輪流取一周，結(jié)果甲比乙多得24粒，問棋子總數(shù)有多少粒？巧解方陣問題I 1 : *,1I ,*,I4I 1I j?日常生活中，往往需要把人或物擺成正方形的形式，如正方形的體操-J隊(duì)列，正方形花壇周圍擺花盆， 插旗子，還有正方形棋

19、盤上擺棋子等問題。 在數(shù)學(xué)上，人們通常稱這類問題為方陣問題。解方陣問題時(shí)，應(yīng)注意觀察 方陣中行列的排列規(guī)律，找由巧妙的解法。?如果一個(gè)方陣是“實(shí)心”的叫中實(shí)方陣，如果一個(gè)方陣是“空心”的， 叫做中空方陣。?學(xué)習(xí)過程 ? 一.典型例題:?例1.軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)7行7列的正方形隊(duì)列,如果去掉一行一列，要去掉多少人？還剩下多少人？?分析與解：如下圖：?方法一：去掉的一行一列的人數(shù)為：7x2-1=13 （人）?剩下的人數(shù)為：7x7-13=36 （人）/ I 產(chǎn)產(chǎn)?方法二：去掉后剩下的是 6行6列的正方形隊(duì)列，即6x6 = 36 （人）?去掉的人數(shù)為：7x7-6x6=43;（人）?例2

20、.光明小學(xué)四年級(jí)原準(zhǔn)備排成一個(gè)正方形隊(duì)列參加廣播操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉27人，問四年級(jí)原來準(zhǔn)備多少人參加表演？?分析與解：此題剛好是例1的逆向題，根據(jù)正方形隊(duì)列的特點(diǎn)可知：?原每行人數(shù)=（去掉一行一列的人數(shù) +1）+2?即：原來每行人數(shù)是（27 + 1卜2二14 （人）?原來準(zhǔn)備參加表演的人數(shù)：14x14 = 196 （人）?答：四年級(jí)原準(zhǔn)備196人參加表演。?例3.正方形舞廳四周均勻地裝彩燈，如果四個(gè)角都裝一盞，且每邊12盞，那么這個(gè)舞廳四周共裝彩燈多少盞？?分析與解：如下圖：?方法一：從圖（1）可以看由，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應(yīng)為：?12x4-

21、4 = 44 （盞） j r ”“工?方法二：按圖（2）把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為： A . ' J 'i » Y I? （12-1）x4 = 44 （盞）?答：這個(gè)舞廳四周共裝彩燈 44盞。?例4.游行隊(duì)伍中，手持鮮花的少先隊(duì)員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣。最外層每邊 12人，問彩車周圍的少先隊(duì)員共有多少人？?分析與解：?方法一：這是一個(gè)只有3層的中空方陣，最外層每邊有12人，最外層一共有（12-1）x4 = 44 （人），第二層每邊少 2人，即第二層每邊10人，第 二層共有。0-1）乂4二36 （人），比第一層總數(shù)少 8人，同理，第三層總數(shù)是 3

22、6-8= 28 （人）?三層共有隊(duì)員的總數(shù)：44 + （44-3）+（44-8x2）=44 + 36 + 28= 108 （人） I I?方法二：如下圖，可把隊(duì)員分成人數(shù)相等的四部分，每一部分的人數(shù)：?（12-辦3=9x3=27 （人）?三層共有隊(duì)員數(shù)：27x4 = 108 （人）?方法三：從12行12列的中實(shí)方陣中減去中間的空心方陣，就是隊(duì)員人數(shù)：?12xl2-6x6 = 144-36 = 108 （人）?例5.小明用圍棋子擺了一個(gè)五層的空心方陣，共用了 200個(gè)棋子，問最外邊一層每邊有多少個(gè)棋子？?分析與解：?方法一：利用相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差8的特點(diǎn)?？芍钔鈱庸灿衅遄訑?shù)：?（20

23、0+8+3x2+3x3+3x4）-5 = 56 （個(gè)）?最外層每邊的棋子數(shù)：56-4 + 1 = 15 （個(gè)）?方法二：如下圖，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子數(shù)為: 200-4 = 50 （個(gè)），每一部分每排的棋子數(shù)為： 50-5-10 （個(gè)）?最外層每邊的棋子數(shù)為：10 + 5=15 （個(gè)）一?列綜合算式：?200-4-5+5 = 15 （個(gè)）d ! 19 口?答：最外層每邊有棋子15個(gè)。?二.模擬試題：?1.運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)式要求排成一個(gè)9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2列，要減少多少運(yùn)動(dòng)員？?2.學(xué)校為慶?！笆弧保门杌〝[了一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有 36盆 花。求這個(gè)方陣共有花多少

24、盆？?3.一個(gè)由圓片擺成的中實(shí)方陣，最外一層有12個(gè)圓片，把4個(gè)這樣的中實(shí)方陣拼成一個(gè)大的中實(shí)方陣，那么最外層應(yīng)該有多少個(gè)圓片?4.有一個(gè)用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個(gè)圓片，如果把內(nèi)層的圓片取由來，在外層再擺一層，變成一個(gè)新的中空方陣，應(yīng)再增加多少圓片？?5.解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演，組成一個(gè)外層有48人，內(nèi)層有16人的多層中空方陣，這個(gè)方陣有幾層？ 一共有多少人？ I I?【試題答案】.1?1.運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)式要求排成一個(gè)9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2口 二一列，要減少多少運(yùn)動(dòng)員？?9x9=31 （人）? （9-2）x（9-2） = 49 （人）?81-49 = 32 （人）；11

25、, ij?答：要減少32名運(yùn)動(dòng)員。 'm號(hào)./ 'i ff Y I?2.學(xué)校為慶?！笆弧保门杌〝[了一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有36盆花。求這個(gè)方陣共有花多少盆？?%+4+1=10 （盆）? 10x10 =100 （盆）?答：這個(gè)方陣共有花 100盆?3.一個(gè)由圓片擺成的中實(shí)方陣，最外一層有12個(gè)圓片，把4個(gè)這樣的中實(shí)方陣拼成一個(gè)大的中實(shí)方陣，那么最外層應(yīng)該有多少個(gè)圓片？?12 - ： 4?1.7? _I,.?（8-1）乂4 = 28 （個(gè)）I / ;2; 1?答：最外層應(yīng)該有 28個(gè)圓片。 ' . 1 1 ,'I J T ,1!?4.有一個(gè)用圓片擺成的兩層中空方

26、陣，外層每邊有16個(gè)圓片，如果把內(nèi)層的圓片取由來，在外層再擺一層，變成一個(gè)新的中空方陣，應(yīng)再增加 多少圓片？?（16 + 2-1）乂4 = 68 （個(gè)） '|?（16-2-1）x4 = 52 （個(gè)） Y I? 63-52 = 16 （個(gè)）?答：應(yīng)再增加16個(gè)圓片。?5.解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演，組成一個(gè)外層有48人，內(nèi)層有16人的多層中空方陣，這個(gè)方陣有幾層？ 一共有多少人？?（48-1力8+1 = 5 （層）?(48+16)x5+ 2= 160 (人)?答：這個(gè)方陣有5層，一共有160人。公務(wù)員考試行測(cè)輔導(dǎo)數(shù)學(xué)運(yùn)算“方陣”問題學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列 數(shù)

27、都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣 （亦 叫乘方問題）。1 1核心公式：口 二一1 .方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）2 .方陣最外層每邊人數(shù)二（方陣最外層總?cè)藬?shù)+ 4）+1/ I 產(chǎn)產(chǎn)3 .方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多24 .去掉一行、一列的總?cè)藬?shù) =去掉的每邊人數(shù)X2 -1例1學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人？A.256 人 B.250 人 C.225 人 D.196 人（2002 年 A 類真題）解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)+ 4+1,可以求

28、生方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了方陣最外層每邊人數(shù)：60+ 4+1=16（人）整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16X 16=256（人）。所以，正確答案為 A。例2參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人 ？I/ V/ j 分析如下圖表示的是一個(gè)五行五列的正方形隊(duì)列。從圖中可以看由正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5,去一行、一列則一共要 去9人，因而我們可以得到如下公式：/ I 產(chǎn)產(chǎn)去掉一行、一列的總?cè)藬?shù) =去掉的每邊人數(shù)X2 -1解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人

29、數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33,則去掉的一行（或一列）人數(shù)方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為17X 17=289（人）下面幾道習(xí)題供大家練習(xí)：1 .小紅把平時(shí)節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成個(gè)正三角形，正好用完，后來又改圍成一個(gè)正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角I I形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是：A.1元B.2元C.3元D.4元（2005年中央真題）%/廣1 1 I- i.八、1 , ； （ I浦產(chǎn) :s / !2 .某儀仗隊(duì)排成方陣，第一次排列若干人，結(jié)果多余 100人；第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。儀仗隊(duì)總?cè)藬?shù)為多少 ？/

30、 I 產(chǎn)產(chǎn)答案：1.C2.500人I 1 尸行測(cè)方陣問題解題有規(guī)律 ？?方陣問題總結(jié)?。?）方陣總?cè)耍ㄎ铮?shù)=最外層每邊人（物）數(shù)的平方； Y I（2）方陣最外一層總?cè)耍ㄎ铮?shù)比內(nèi)一層總?cè)耍ㄎ铮?shù)多8（行數(shù)和列數(shù)分別大于2）;（3）方陣最外層每邊人（物）數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)+ 4）+1; 方陣最外層總?cè)藬?shù)=最外層每邊人（物）數(shù)1X4;（5）去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)X 2- 1【例1】（國(guó)家2002A類-9、國(guó)家2002B類-18）某學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣,最外層的人數(shù)是60人，問這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人？（）A.256 人？B.250 人？C.225 人？D.196 人答案A解析根

31、據(jù)公式：方陣人數(shù)=（最外層人數(shù)+ 4+ 1） A2 = （60+ 4+ 1） A2=256 （人）?！纠?1 （浙江2003-18 ）某校的學(xué)生剛好排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是96人，則這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生（）o匚公）/ / y ）A.600 人？B.615 人？C.625 人？D.640 人答案C解一根據(jù)公式：方陣人數(shù)=（最外層人數(shù)+ 4+ 1）A2 = （96+ 4+ 1）八2=625 （人）。 X« 'i 解二數(shù)字特性法：方陣的人數(shù)應(yīng)該是一個(gè)完全平方數(shù)，所以結(jié)合選項(xiàng)，選擇Co【例31 （廣西2008-11 ）參加閱兵式的官兵排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是80人，問這個(gè)方陣共有

32、官兵多少人？（）A. 441B.400 C.361D.386答案A解析根據(jù)公式：方陣人數(shù)=2=441 (人)。(最外層人數(shù)+ 4+ 1)A2 = (80+ 4+ 1) A【例41 (國(guó)家2005 一類-44、國(guó)家2005二類-44)小紅把平時(shí)節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成一個(gè)正三角形，正好用完，后來又改圍成一個(gè)正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用；5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是多少？() I，) 'A.1 元？B.2 元？C.3 元？D.4 元答案C/ I 產(chǎn)產(chǎn)解一設(shè)正方形每邊x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有N枚硬幣, 根據(jù)公式可得方程組：4I ),I

33、, y jN=4x 4 ,-JN=3y-3 N=60 Y Iy-x=5 ,因?yàn)槊棵队矌?分，所以總價(jià)值3元。注釋這里圍成的三角形和正方形都指的是空心的。解二根據(jù)數(shù)字特性法：硬幣能圍成正三角形-硬幣的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)一硬幣的價(jià)值可以三等分一根據(jù)選項(xiàng)選擇Co【例61參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員排成一個(gè)正方形隊(duì)列，若減少一行一列，則要減少 49人，則參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員共（）人。A.576 ?B.625 ?C.676?D.2401答案B解析重疊點(diǎn)思維：假設(shè)每邊有 x人，則一行一列共有（2x-1 ）人（注 意該行與列的交叉點(diǎn)上的人被重復(fù)計(jì)算了兩遍），有方程：2x-1=49 ,解得x=25o 共有

34、 25A2=625 人。1/*' y產(chǎn)廠二一 一/'. pi I- i產(chǎn)%、4 /I 4；I1II* ”,7; / ; I I【例71 （廣東2005下-11 ）要在一塊邊長(zhǎng)為 48米的正方形地里種樹苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角各種一棵樹，問一共可種多/ I 產(chǎn)產(chǎn)少棵樹苗？（）A.128 棵？B.132 棵？C.153 棵？D.157 棵 卜：i.,答案C解析根據(jù)公式：棵數(shù)=總長(zhǎng)+間隔+1。邊長(zhǎng)為48米，每橫行相距3米， 共有48+3+1=17行；邊長(zhǎng)為48米，每橫行相距 6米，共有48+6+1=9歹U; 可得：17X 9= 153 （棵），一共可種樹苗153棵

35、?！纠?1 一些解放軍戰(zhàn)士組成一個(gè)長(zhǎng)方陣，經(jīng)一次隊(duì)列變換后，增加了 6 行，減少了 10歹U,恰組成一個(gè)方陣，一個(gè)人也不多，一個(gè)人也不少。則 原長(zhǎng)方形陣共有（）人。A.196 ?B.225 ?C.256?D.289答案B解析設(shè)該正方形陣每邊 x人，則原長(zhǎng)方形陣為（x-6）行，（x+10）歹限 xA2= （x-6） （x+10）x=15,因此共有 152=225 人，選擇 B。I II/ :【例9】奧運(yùn)會(huì)前夕，在廣場(chǎng)中心周圍用 2008盆花圍成了一個(gè)兩層的空心 方陣。則外層有（）盆花。A.251 ?B.253 ?C.1000?D.1008答案D解一設(shè)外層有 m盆，內(nèi)層有In盆，根據(jù)公式：m-n=

36、8。則：m-n=8 % m*/ 'i ffm+n=2008 m=1008n=1000解二設(shè)該方陣外層每邊 x盆，根據(jù)“逆向法思維” ：xA2- （x-4） A2= 2008 X=253,外層每邊有253盆，根據(jù)公式：外層共有 253X4-4=1008。外層共有6【例10（江蘇2009-74 ）有一列士兵排成若干層的中空方陣,8人，中間一層共有 44人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是（）A.296 人？B.308 人？C.324 人？D.348 人答案B解一最外層68人，中間一層 44人，則最內(nèi)層為 44X2 68=20人（成等差數(shù)列）。因此一共有：68-208 +1 = 7 （層），總?cè)藬?shù)為4

37、4X 7= 308。I I解二中間一層共 44人，總?cè)藬?shù)是=44X層數(shù)，是 44的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)直接鎖定Bo'4 / / '* I I I5 !1! |, : " ,二"J J ! .-匚公？ / / y ）/ I 產(chǎn)產(chǎn)【例11】有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層的人數(shù)共48人，最內(nèi)層人數(shù)為24人，則該方陣共有。；人。A.120 ?B.144 ?C.176?D.194 'l ff答案B解一設(shè)最外層每邊 x人，最內(nèi)層每邊y人，根據(jù)公式：4x-4=484y- 4=24 x=13y=7因此外層每邊13人，內(nèi)部空心部分每邊 7-2 =5人，根據(jù)“逆向法思維

38、”： 共有 132-52=144 人。解二總?cè)藬?shù)=(48+24) X層數(shù)+ 2=36X層數(shù)，是 36的倍數(shù)，直接 鎖定Bo解三根據(jù)公式：相鄰兩圈相差8,因此很容易得到這幾圈分別為48、40、32、24,直接加起來即可。 I I”i .1Ii r*.I'口 二一 , l 4 / / «' I l* ; / ； 【例12】有若干人，排成一個(gè)空心的四層方陣?，F(xiàn)在調(diào)整陣形，把最外邊一層每邊人數(shù)減少16人，層數(shù)由原來的四層變成八層，則共有()人。 / I 產(chǎn)產(chǎn)A.160 ?B.1296 ?C.640?D.1936答案C| | , IJ解析設(shè)調(diào)整前最外層每邊 x人，調(diào)整后每邊y人

39、，根據(jù)“逆向法思維”、 W .二1,'i ff Y Ix-y=16xA2- (x-8) A2=yA2- (y-16)-2 X=44y=28因此：44A2-（448） A2=640 （人）公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)量關(guān)系方陣問題解題技巧及演練來源：華圖？?？2010/1/21 ?【考試大：中國(guó)教育考試第一門戶】？?模擬考場(chǎng)？?？視頻課程？?字號(hào)：T?T“方陣”問題是公務(wù)員考試等公職考試行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)科目數(shù)量關(guān)系模塊考查的知識(shí)點(diǎn)之一，下文中公務(wù)員考試研究中心歸納了方陣問題的六大基本技巧。一、方陣問題六大基本解題技巧提示：假設(shè)方陣最外層一邊人數(shù)為N,則：1、實(shí)心方陣人數(shù)=N22、方陣最外層人數(shù) =4

40、(N-1)3、方陣外每少一層，次外層每邊就少2人4、方陣最外M層人數(shù)=N2-(N-2M)25、其它多邊形的“陣”最外層人數(shù)可以類比推理得到：(每邊人數(shù)-1) x邊數(shù)=最外層人數(shù)6、多留意“不規(guī)則陣形”的割和補(bǔ)：外部人數(shù)=整個(gè)大陣人數(shù)-內(nèi)部小陣人數(shù)二、真題演練【例1】某儀仗隊(duì)排成方陣，第一次排列若干人，結(jié)果多余100人；第二次比第一次每排增加3人，結(jié)果缺少29人，儀仗隊(duì)總?cè)藬?shù)是多少?()【2007年河南省公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)真題-44題;2007年四川省法檢系統(tǒng)公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)真題-13題】A.600B.500C.450D.400答案：B【例21某學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人

41、數(shù)是60人，問這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人？（）【2002年公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)真題（A）-9題;2002年公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)真題（B）-18題】A.256 人B.250 人C.225 人D.196 人答案：A來源：考試大公務(wù)員公務(wù)員行測(cè)方陣數(shù)字排列題精選講解在方陣數(shù)字排列題中又分為圖形數(shù)字方陣排列和數(shù)字排序推理 題。國(guó)家公務(wù)員網(wǎng)專家就這兩種題型分別用歷年真題為考生講 解。?在方陣數(shù)字排列題中又分為圖形數(shù)字方陣排列和數(shù)字排序推理題。國(guó)家公務(wù)員網(wǎng)專家就這兩種題型分別用歷年真題為考生講解。一、圖形數(shù)字方陣排列例題1 2008年北京市（應(yīng)屆生）第6題A.4B.8C.16D.24【解析】本題規(guī)

42、律為：左下角x右上角x 3=左上角x右下角，1X2X3=1X6, 2X6X3=2X 18,貝U 4X8X3=?X4,未知數(shù)為 24。故選 D。例題2 2007年福建省第29題A.34B.42C.48D.58【解析】該方框內(nèi)數(shù)字規(guī)律為：方框內(nèi)上、下、左、右四個(gè)數(shù)的和都是122。20+55+34+13=34+13+?+27=?+27+6+41=6+41+20+55=122,得？=48。故選 C。例題3 2008年上海市第3題A.18B.20 C.24D.40【解析】本題規(guī)律為：每個(gè)豎框內(nèi)數(shù)字（左下角-右上角）+（右下角-左上角），所得數(shù)字呈等差數(shù)列1、2、3。依此規(guī)律，（所求項(xiàng)-4）+（13-1）

43、=3 ,因此，所求項(xiàng)為40。故選D。解題之道圖形數(shù)字方陣排列題中，每題圖形的數(shù)字都包含一定的規(guī)律，要結(jié)合圖形中的數(shù)字對(duì)規(guī)律進(jìn)行總結(jié)。一般有圓形、三角形、方框三種，將圖形周圍的數(shù) 字和其中部的數(shù)字進(jìn)行分析，就能找由規(guī)律，如（左下角-右上角）+（右下角-左上角尸中部。這類型試題較為簡(jiǎn)單，考生只需考前進(jìn)行簡(jiǎn)單的練習(xí)，對(duì)命題規(guī)律進(jìn)行大致的摸索，一般都是不會(huì)丟分的。（二）數(shù)字排序推理題型實(shí)例例題1 2007年福建省第28題12, 1112, 3112, 211213,（）A.312213B.132231 C.112233D.332211【解析】該數(shù)列規(guī)律為：下一數(shù)字是對(duì)前一數(shù)字的組成的描述。如 12,

44、是1個(gè)1, 1個(gè)2,則下一數(shù)字為1112,對(duì)1112的描述為3個(gè)1, 1個(gè)2,則 接下來一數(shù)字為 3112，故所求項(xiàng)是對(duì)211213的描述：3個(gè)1, 2個(gè)2, 1個(gè)3,故該所求項(xiàng)為 312213。故選Ao例題2 2005年北京市（應(yīng)屆生）第3題請(qǐng)求由第 40 項(xiàng)的值:39-1, 38+2, 37-3, 36+1, 35-2, 34+3,（）A.1-1B.-1-1 C.0-1D.0+1【解析】這是道含有“ +” “ -”號(hào)的數(shù)字排序題，可將該算式分為兩部分， 第一部分為 39, 38, 37, 36, 35, 34,，第二部分為-1 , +2, -3, +1, -2, +3,前一部分第40項(xiàng)為0,后一部分每6項(xiàng)一個(gè)循環(huán)，可知其第 40項(xiàng)與第 4項(xiàng)相同，為