1、塑性理論：研究金屬在塑性狀態(tài)的力學(xué)行為稱為塑性理論或塑性力學(xué)，是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)分支。塑性理論假設(shè)：（1）變形體是連續(xù)的；（2）變形體是均質(zhì)和各向同性的；（3）在變形的任一瞬間，力的作用是平衡的；（4）在一般情況下，忽略體積力的影響；在塑性理論中，分析問題的方法： 靜力學(xué)：根據(jù)靜力學(xué)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量之間的關(guān)系式平衡微分方程 幾何學(xué)：根據(jù)變形體的連續(xù)性和均勻性，導(dǎo)出應(yīng)變與位移分量之間的關(guān)系式幾何方程。 物理學(xué)：根據(jù)實(shí)驗(yàn)與假設(shè)導(dǎo)出應(yīng)變與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式物理方程或本構(gòu)方程。 此外，建立變形體在塑性狀態(tài)下應(yīng)力分量與材料性能之間的關(guān)系屈服準(zhǔn)則或塑性條件。第十四章 應(yīng)力分析分析變形分析變形體內(nèi)的

2、應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)14.1張量的基本知識(shí)一、角標(biāo)符號(hào)和求和約定 角標(biāo)符號(hào):成組的符號(hào)和數(shù)組可以用一個(gè)帶下角標(biāo)的符號(hào)表示，這種符號(hào)叫角標(biāo)符號(hào)。 如可用xi即（x1，x2，x3）表示一點(diǎn)的坐標(biāo)；如應(yīng)力分量xx，xy，xz，可簡(jiǎn)記為ij（i,j=x,y,z）等。 一般地，如果一個(gè)坐標(biāo)系有m個(gè)角標(biāo)，每個(gè)角標(biāo)取n個(gè)值，則該角標(biāo)符號(hào)代表著nm個(gè)元素，例如ij（i,j=x,y,z） （ m=2，n=3）就包含有9個(gè)元素。 克氏符號(hào)：ij稱為克羅內(nèi)克（Kronecker）符號(hào)，ij定義為 jijixuu,jijiij01 導(dǎo)數(shù)記號(hào)：導(dǎo)數(shù)記為f,j，表示f(xi)對(duì)xj的導(dǎo)數(shù)，逗號(hào)后邊的下標(biāo)表示對(duì)相應(yīng)坐標(biāo)的求導(dǎo)zy

3、xii332211 nmlllllsiziyixiiijiji332211 332211,xxxxiiii 0332211,xxxxiiijijjij 求和約定： 在一項(xiàng)中，沒有重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)叫自由標(biāo)，表示該項(xiàng)的個(gè)數(shù)。 在一項(xiàng)中，同一角標(biāo)出現(xiàn)二次，則對(duì)該角標(biāo)自1到n的所有元素求和，這種角標(biāo)在求和之后不再出現(xiàn)，稱之為啞標(biāo)，這一運(yùn)算稱之為求和約定。二、張量的基本概念張量：由若干個(gè)當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量組成的集合，稱為張量，需要用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)矢量，即9個(gè)分量才能完整地表示。它的重要特征是在不同的坐標(biāo)系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系來換算。描述張量分量的個(gè)數(shù)用階表示。在三維空間中，其張

4、量分量的個(gè)數(shù)為3n ，如應(yīng)力、應(yīng)變是二階張量，有32 =9個(gè)分量。圖 14-1 空間坐標(biāo)系 xi與 xk ljkiijklll()3 ,2 ,1,; 3 , 2 , 1,lkji 其中，lki，llj為新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸關(guān)于原坐標(biāo)系的方向余弦。表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量構(gòu)成二階張量，稱為應(yīng)力張量。不同坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系三、張量的基本性質(zhì) 張量不變量： 二階張量存在三個(gè)獨(dú)立的不變量。 張量可以疊加和分解： 幾個(gè)同階張量各對(duì)應(yīng)的分量之和或差定義為另一個(gè)同階張量。 張量可分為對(duì)稱張量、非對(duì)稱張量、反對(duì)稱張量 任意非對(duì)稱張量可以分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量。 二階對(duì)稱張量存在三個(gè)主

5、軸和三個(gè)主值 以主軸為坐標(biāo)軸，兩個(gè)下角標(biāo)不同的分量均為零，只留下兩個(gè)下角標(biāo)相同的三個(gè)分量，叫作主值。14.2外力、應(yīng)力和點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)F F F 一、外力和應(yīng)力外力：塑性加工時(shí)，由外部施加于物體的作用力叫外力?？梢苑譃閮深悾好媪蚪佑|力和體積力 面力：作用于物體表面的力，也叫接觸力，如作用于物體表面的分布載荷，正壓力和摩擦力都是面力。 體積力：作用在物體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，如重力、磁力和慣性力等。注：對(duì)于一般的塑性成形過程，體積力可以忽略不計(jì)。但在高速成形時(shí)，慣性力不能忽略。 應(yīng)力：在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就會(huì)產(chǎn)生相互作用的力，稱為內(nèi)力。單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力，可采用截面法進(jìn)行分析。 設(shè)Q點(diǎn)

6、處一無限小的面積F上內(nèi)力的合力為P ，則定義S FPFPddlim0F 為截面F上Q點(diǎn)的全應(yīng)力，可以分解成兩個(gè)分量：垂直于截面的正應(yīng)力和平行于截面的切應(yīng)力，有222S注：過Q點(diǎn)可以作無限多的切面，在不同方向的切面上，Q點(diǎn)的應(yīng)力不同。二、直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 坐標(biāo)面上的應(yīng)力： 在三個(gè)互相垂直的微分面上有三個(gè)正應(yīng)力分量和六個(gè)切應(yīng)力分量； 一般情況下，共有9個(gè)應(yīng)力分量完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。圖 14-3 直角坐標(biāo)系中單元體的應(yīng)力分量 zzyzxyzyyxxzxyx 作用在x面上 作用在y面上 作用在z面上 作用方向?yàn)?z 作用方向?yàn)?y 作用方向?yàn)?x 1）應(yīng)力分量的符號(hào)帶有兩個(gè)下角標(biāo)： 前

7、一個(gè)角標(biāo)表示該應(yīng)力分量所在的坐標(biāo)面（用該面的法線命名）； 第二個(gè)角標(biāo)表示應(yīng)力所指的坐標(biāo)方向； 正應(yīng)力分量的兩個(gè)下角標(biāo)相同，兩個(gè)下角標(biāo)不同的是切應(yīng)力分量。 切應(yīng)力互等定理 9個(gè)應(yīng)力分量中只有6個(gè)是互相獨(dú)立的，它們組成對(duì)稱的應(yīng)力張量。xzzxzyyzyxxy；2）應(yīng)力分量有正、負(fù)之分： 外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，反之為負(fù)面； 在正面上指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號(hào)，指向相反方向的取負(fù)號(hào)； 負(fù)面上的應(yīng)力分量則相反。按此規(guī)定，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。 任意斜面上的力：已知變形體中一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量，由靜力平衡條件，可求得過該點(diǎn)的任意斜面上的應(yīng)力。圖 14-4 任意斜切微分面上的應(yīng)力 已知Q

8、點(diǎn)三個(gè)互相垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量ij，過Q點(diǎn)任一斜面ABC（面積為dF）的法線N與三個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦為l，m，n， l=cos(N,x) m=cos(N,y) n=cos(N,z)分析：1）斜面在三個(gè)坐標(biāo)面的投影面積分別為 dFx=ldF；dFy=mdF； dFz=ndF2）設(shè)斜面上的全應(yīng)力為S，它在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分量為Sx、Sy、Sz，由靜力平衡條件， 得：整理得 （14-6） (應(yīng)力邊界條件) 用角標(biāo)符號(hào)簡(jiǎn)記為0ddddzxyxxFzFFFSyxx 0 xPnmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxxzyxjilSiijij， 全應(yīng)力 2222zyxSSSS3）斜面上

9、的正應(yīng)力 斜面上的切應(yīng)力為 222 S （14-8） nSmSlSzyx)(2222nlmnlmnmlzxyzxyzyx注：已知過一點(diǎn)9個(gè)應(yīng)力分量，可以求出過該點(diǎn)任意方向微分面上的應(yīng)力，即這9個(gè)應(yīng)力分量可以確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。14.3主應(yīng)力和主切應(yīng)力一、主應(yīng)力主平面：切應(yīng)力為零的平面稱為主平面；主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力叫做主應(yīng)力；主方向：主平面的法線方向，亦即主應(yīng)力的方向稱為主方向或應(yīng)力主軸。圖 14-5 主平面上的應(yīng)力 主平面上全應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為nSmSlSzyx與式（14-6）合并整理得0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx （14-10） 其中，l，

10、m，n為未知數(shù)，其解為應(yīng)力主軸方向由幾何關(guān)系則 1222nml （14-11） 0)()()(zyzxzzyyxyzxyxx展開行列式，整理得應(yīng)力狀態(tài)特征方程032213JJJ （14-13） 其中 )(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxJJJ （14-12） 它有一組唯一的實(shí)根，即三個(gè)主應(yīng)力二、應(yīng)力張量不變量盡管應(yīng)力張量的各分量隨坐標(biāo)而變，但按式（14-12）組成的函數(shù)值是不變的，所以J1、J2、J3稱為應(yīng)力張量第一、第二、第三不變量。應(yīng)力張量的三個(gè)不變量表示了一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)其應(yīng)力分量之間的確定關(guān)系。在主軸坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只

11、有三個(gè)主應(yīng)力，應(yīng)力張量為321ij000000 （14-14） 主軸坐標(biāo)系中斜面上的應(yīng)力：應(yīng)力張量的三個(gè)不變量為321313322123211)(JJJnSmSlS3322112232222212nmlS232221nml（14-15） 2232221223222221222)(nmlnmlS（14-16）（14-17） 主切應(yīng)力平面：使切應(yīng)力達(dá)到極大值的平面稱為主切應(yīng)力平面； 主切應(yīng)力：主切應(yīng)力平面上所作用的切應(yīng)力稱為主切應(yīng)力。 在主軸空間中，垂直于一個(gè)主平面而與另兩個(gè)主平面交角為45的平面就是主切應(yīng)力平面。三、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力圖 14-6 主切應(yīng)力平面圖 a ） 21, 0nml21,

12、 0nlm21, 0mln a ） 1, 022nml b ）21, 0nml c ）222133132232112（14-18）主切應(yīng)力平面上的主切應(yīng)力為 21, 0nml c ）21, 0nlm d ）21, 0mln 主切應(yīng)力角標(biāo)表示與主切應(yīng)力平面呈45相交的兩主平面的編號(hào)。三個(gè)主切應(yīng)力平面也是互相正交。最大切應(yīng)力： 主切應(yīng)力中絕對(duì)值最大的一個(gè)稱為最大切應(yīng)力，用max表示。 設(shè)三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系為 ，則222222133132232112133132232112；231max321主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值和主切應(yīng)力值（14-19）（14-20）主切應(yīng)力的性質(zhì)： 若1=2=3=，即變形體處于

13、三向等拉或三向等壓的應(yīng)力狀態(tài)（即球應(yīng)力狀態(tài)）時(shí)，主切應(yīng)力為零：12=23=31=0 若三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)增加或減少一個(gè)相同的值時(shí)，主切應(yīng)力值將保持不變。 四、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量應(yīng)力張量分解為應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量mmmzzyzxyzyyxxzxyxmzzyzxyzmyyxxzxymxzzyzxyzyyxxzxyxij000000mijijijmmmmmmij000000000000000000000000321321321或（14-21）若取主坐標(biāo)系，則其中，m為三個(gè)正應(yīng)力分量的平均值，稱平均應(yīng)力（或靜水壓力），即 應(yīng)力球張量： 表示球應(yīng)力狀態(tài)，也稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力球張量，其任何方向都是

14、主方向，且主應(yīng)力相同，均為平均應(yīng)力。特點(diǎn)：在任何切平面上都沒有切應(yīng)力，所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化，而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。132131)(31)(31Jzyxmmij應(yīng)力偏張量： 稱為應(yīng)力偏張量，是由原應(yīng)力張量分解出應(yīng)力球張量后得到的。應(yīng)力偏張量的切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、最大切應(yīng)力及應(yīng)力主軸等都與原應(yīng)力張量相同。特點(diǎn)：應(yīng)力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。材料的塑性變形是由應(yīng)力偏張量引起的。ij應(yīng)力偏張量不變量321321323222121)()()(610JJJ對(duì)于主軸坐標(biāo)系 )(2)(6)()()(61)(0)()()(222322222222221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxmzmymxzyxJJJ 應(yīng)力偏張量用來表示不同的變形類型。如J1=0，J2與屈服準(zhǔn)則有關(guān)，J3決定了應(yīng)變的類型：J30屬伸長(zhǎng)應(yīng)變，J3=0屬平面應(yīng)變，J323，三向應(yīng)力莫爾圓為: 圖 14-10 三向應(yīng)力莫爾圓 圓心的坐標(biāo)和半徑分別為 O3)0,2(21 O1)0,2(32 O2)0,2(