1、.第五章 相關(guān)與回歸地理模型地理系統(tǒng)是由多要素組成的系統(tǒng)。各要素之間存在著相互聯(lián)系、相互影響和相互制約。 為了定量地研究它們之間的數(shù)量關(guān)系，常用相關(guān)分析和回歸分析法來確定它們之間的關(guān)系和性質(zhì)，并概括成數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而作出地理預(yù)測。第一節(jié) 地理模型要素間的相關(guān)分析一、地理相關(guān)的意義和類型1、相關(guān)的意義 所謂相關(guān)，是指兩個或兩個以上的變數(shù)間相互關(guān)系是否密切。 在研究這種關(guān)系時并不專指哪一個是自變量，哪一個是應(yīng)變量，可視實際情況確定。 相關(guān)分析僅限于測定兩個或兩個以上變數(shù)具有相關(guān)關(guān)系者，其目的是計算出表示兩個或兩個以上變數(shù)間相關(guān)程度和性質(zhì)。 地理系統(tǒng)各要素(或變量)間的關(guān)系2、相關(guān)的類型 根據(jù)地理系統(tǒng)

2、要素（或變數(shù)）的多少及其性質(zhì)的不同，地理相關(guān)類型可表示為：二、相關(guān)程度的度量方法 由于地理相關(guān)基本類型的不同，因而度量地理相關(guān)程度的指標(biāo)也各異：（一）簡單直線相關(guān)程度的度量 在一般情況下，當(dāng)探討兩個地理要素間為直線相關(guān)時，就要研究它們之間的相關(guān)程度和相關(guān)方向。相 關(guān) 系 數(shù) (r)常用的相關(guān)系數(shù)(r)順序（等級）相關(guān)系數(shù)（rs)（二）簡單非線性相關(guān)程度的度量 由于曲線方向不固定,因此只研究相關(guān)程度而不研究相關(guān)方向。 表示簡單非線性相關(guān)程度的統(tǒng)計量，通常用相關(guān)指數(shù)來度量，相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)，隨相關(guān)曲線形狀的不同而不同。相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)小測驗（三）多要素相關(guān)與相關(guān)陣多要素相關(guān)矩陣(R).偏 相 關(guān) 由于

3、地理系統(tǒng)是一種多要素系統(tǒng),所以一個要素的變化就要影響到其它要素的變化,因此它們之間存在著不同程度的相關(guān)關(guān)系。 當(dāng)我們專研究某一個要素對另一個要素的影響或相關(guān)程度，而把其它要素的影響視為常數(shù)（或保持不變），即除去其它要素的影響，而單獨(dú)研究那兩個要素之間的相關(guān)關(guān)系不時，則你為偏相關(guān)。 偏相關(guān)系數(shù)可以由相關(guān)系數(shù)法來計算。 一級偏相關(guān)系數(shù)： 三個變量間的偏相關(guān)系數(shù) （共三個）.復(fù) 相 關(guān) 實際上,一個要素的變化往往受多種要素的綜合影響,而用單相關(guān)或偏相關(guān)分析的方法則不能反映各要素的綜合影響,因此就需要用復(fù)相關(guān)分析加以解決。 所謂復(fù)相關(guān)就是研究幾個要素同時與某一個要素之間的相關(guān)關(guān)系。 而度量復(fù)相關(guān)程度的

4、指標(biāo)，可用復(fù)相關(guān)系數(shù)來達(dá)到。 復(fù)相關(guān)系數(shù)又可利用單相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)求得。 其計算公式：復(fù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(Ry.123k)三、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗對簡單線性相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗對偏相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗 求出t值后，再查t分布表，可得出不同的顯著水平的臨界值t。對復(fù)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗 對復(fù)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗，可用F檢驗： Ry.12k n-k-1 F = ( ) 1- Ry.12k k式中，n為樣本容量，k為自變量個數(shù)。 當(dāng)我們研究地理相關(guān)時，計算出相關(guān)系數(shù)后，經(jīng)顯著性檢驗證明其相關(guān)程度是顯著的，就可以對要素間數(shù)量關(guān)系進(jìn)一步作回歸分析。第二節(jié) 地理回歸數(shù)學(xué)模型一.地理回歸分析的意義和作用

5、 地理系統(tǒng)各要素間的相互關(guān)系,可通過大量的觀測、試驗或?qū)嶒炄〉靡欢ǖ牡乩頂?shù)據(jù)，然后用數(shù)理統(tǒng)計的方法，尋找出隱藏在隨機(jī)性后面的統(tǒng)計規(guī)律，而用回歸方程來表示。函數(shù)關(guān)系相關(guān)分析回歸分析的主要內(nèi)容 回歸分析所研究的地理數(shù)學(xué)模型，依要素（變量）的多少可分為一元地理回歸模型和多元地理回歸模型兩種。二.地理系統(tǒng)兩要素間的回歸分析與預(yù)測 地理系統(tǒng)兩要素間的回歸所處理的問題，是要解決兩個要素（變量）間的定量關(guān)系。 兩個要素之間的數(shù)量關(guān)系，有的是非線性關(guān)系。 如何正確地分析與判斷要素之間的關(guān)系是線性回歸模型還是非線性回歸模型，在非線性回歸模型中曲線又屬于哪種類型？ 因此，只有首先判定了回歸方程的類型，然后才能正確

6、地求出回歸模型的參數(shù)。(一)一元地理回歸模型類型的判斷方法 圖 解 法 若將地理要素(x,y)的數(shù)據(jù)點(diǎn)繪在普通方格紙上呈直線，則一元地理回歸模型為直線型。 若將地理要素(x,y)的數(shù)據(jù)點(diǎn)繪在雙對數(shù)格紙上呈直線，則一元地理回歸模型為冪函數(shù)型。 若將地理要素(x,y)的數(shù)據(jù)點(diǎn)繪在單對數(shù)格紙上，其橫坐標(biāo)取對數(shù)分格，其縱坐標(biāo)為普通分格時呈直線，則一元地理回歸模型為對數(shù)型。 若將地理要素(x,y)的數(shù)據(jù)點(diǎn)繪在單對數(shù)格紙上，而其橫坐標(biāo)為普通分格，其縱坐標(biāo)取對數(shù)分格時呈直線，則一元地理回歸模型為指數(shù)型。(二)線性關(guān)系的分析與預(yù)測 依上述方法已判定一元地理回歸模型為直線型后,下一步就是要確定線性回歸方程： y

7、 = a + bx中的兩個參數(shù)a和b。 上式代表x和y之間的最佳擬合直線，通常稱為回歸直線。 a為常數(shù)，即y的截距； b為回歸系數(shù)，也就是直線的斜率，它表示在x變更一個單位則在y中變更b個單位。回歸系數(shù)b1.參數(shù)a和b的最小二乘估計2.模型建立方法與步驟3.回歸模型的效果檢驗4.利用回歸模型進(jìn)行地理預(yù)測(三)非線性關(guān)系的分析與預(yù)測1.選配曲線的基本方法2.常見地理模型建立方法3.回歸模型的效果檢驗三.一元回歸的SPSS軟件應(yīng)用第三節(jié) 多元回歸地理模型的建立 一個地理系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)具有多要素性，而且各要素間相互聯(lián)系、相互影響和相互制約。 研究某一要素(y)與其它要素x1, x2,xn之間的定量

8、關(guān)系，就需要用地理分析中常用的分析方法，即多元回歸分析方法加以解決。 多元回歸分析(多輸入多輸出）可用數(shù)學(xué)模型表示： y1,y2,ym =f(x1,x2,xn) 一般情況下，分別考察幾個輸入和一個輸出之間的關(guān)系，即把上述模型分解成: y1=f1(x1,x2,xn) y2=f(x1,x2,xn) . . . . . . . . . . ym =fm(x1,x2,xn) 運(yùn)用多元統(tǒng)計分析方法，建立地理要素間的數(shù)學(xué)模型，并檢驗數(shù)學(xué)模型的效果，應(yīng)用模型進(jìn)行地理分析與預(yù)測，這就是與地理系統(tǒng)多要素（多元）特性相對應(yīng)的一種計量地理方法，即多元回歸分析方法。一、多要素地理系統(tǒng) 分析與預(yù)測的線性模型1.模型的建

9、立 假設(shè)地理系統(tǒng)要素y和地理系統(tǒng)要素x1,x2,xn 的內(nèi)在聯(lián)系是線性的，或經(jīng)過變量轉(zhuǎn)換后的關(guān)系是線性的，則對于同一系統(tǒng)狀態(tài)中的不同區(qū)域或時間的要素間關(guān)系，可以寫成下面的數(shù)據(jù)形式： (xi1,xi2,yi) i= 1,2,m i區(qū)域或時間順序號。 把它推廣到有p個地理系統(tǒng)要素的情形，則為 (xi1,xi2,xip，yi) i= 1,2,m 這一組地理數(shù)據(jù)的形式是 0 + 1x11 + 2x12+px1p+1=y1 0 + 1x21 + 2x22+px2p+2=y2 . . . . . . 0 + 1xm1 + 2xm2+pxmp+m=ym 這就是多要素地理系統(tǒng)分析與預(yù)測線性回歸數(shù)學(xué)模型。 矩陣

10、是多元的算術(shù)，是處理上述問題的有效工具,若用其表示,則地理系統(tǒng)要素間的線性模型為: X= Y= = = 則上述地理系統(tǒng)要素間關(guān)系的線性模型可以表示為： X+=Y2.模型的顯著性檢驗 在多元線性回歸問題中,同一元回歸一樣也需要對回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗。如果經(jīng)過檢驗是顯著的，則說明建立的回歸模型是有用的，否則就沒有實際意義。觀測值Y的波動和差異 為了從Y的總的變差中把它們區(qū)分開來，就需要對回歸模型進(jìn)行方差分析，也就是將Y的總的離差平方和(Lyy)分解成兩個部分，即回歸平方和(U)和剩余平方和(Q) Lyy = U + Q 在多元回歸分析中, 回歸平方和(U)表示的是所有K個自變量對Y的變差的總影響

11、,因此,它可按以下公式計算: U=(Y預(yù)測值-Y平均值)2=biLi 而剩余平方和(Q)則等于Q = (Y實際值-Y預(yù)測值)2=Lyy-U 由此可知,它與一個自變量的情況完全相似,即回歸平方和越大,則剩余平方和越小,線性關(guān)系越密切，回歸的效果就越好,方程的預(yù)測精度越高。多元回歸各平方和的自由度的確定原則 剩余平方和(Q)除以它的自由度，稱為方差(均方)，即： Q S2 = n-k-1其剩余標(biāo)準(zhǔn)差則為S。 在多元線性回歸問題上，對整個回歸進(jìn)行顯著性檢驗時，通常用F檢驗法。 U/k U F = = Q/(n-k-1) k*S2F分布表的兩個自由度 分別求出 F分布表中三種不同顯著性水平的值和與其對

12、應(yīng)的自由度數(shù)。F檢驗的結(jié)果二、非線性回歸模型的建立方法 在地理系統(tǒng)中,除部分問題是屬線性關(guān)系外，還有大部分屬于非線性關(guān)系。 因此，需要進(jìn)一步研究多元非線性地理回歸模型建立方法。 主要介紹兩種多元非線性回歸模型的建立方法。兩種多元非線性地理回歸模型的建立方法 在地理系統(tǒng)中,由于各要素間的關(guān)系十分復(fù)雜,有些回歸曲線經(jīng)過變量變換后可化為直線處理，但也有些曲線不能化為直線處理。 如二次多項式就不能通過變量變換直線化，但它可視為二元線性模型，然后按多元線性回歸分析方法處理。 由此可以推廣到包括多個要素（自變量）的任意多項式 y = b0+ b1x+ b2x2+ +bkxk也可以通過變量變換化為多元線性回

13、歸模型。 若令：x1=x,x2=x2,xk=xk 則y = b0+ b1x+ b2x2+ +bkxk可化成 y = b0+ b1 x1 + b2x2+ +bkxk 這種方法可處理相當(dāng)一類非線性問題。 它在回歸分析中占有重要地位。 主要是因為：任何函數(shù)都可以在較小的區(qū)間內(nèi)用多項式來逐步逼近。 在分析某一要素與其它要素的定量關(guān)系時，可不問y與x的確切關(guān)系，而直接用多項式回歸進(jìn)行分析計算，效果往往較好。當(dāng)多項式回歸的自變量取兩次冪時，便是二次多項式，即成拋物線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式： y = b0+ b1x+ b2x2若令：x1=x,x2=x2則可化成 y = b0+ b1 x1 + b2x2這可通過二元正

14、規(guī)方程組的方法求出。 當(dāng)多項式回歸的自變量取三次冪時，便是三次多項式曲線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式： y = b0+ b1x+ b2x2 + bx 若令：x1=x,x2=x2，x=x則可化成 y = b0+ b1 x1 + b2x2 + bx 2.冪函數(shù)乘積模型的建立方法 這種方法的基本思路是：把某一要素y與其它要素xi之間的函數(shù)關(guān)系寫成 y =f(x1,x2 ,xn)并把它們之間的函數(shù)關(guān)系看成是冪函數(shù)的連乘積形式，即： y = kx1ax2b xnm 式中，k,a,b,m是待定地理參數(shù)。建立冪乘積模型的過程，也就是確定參數(shù)的過程。 如建立四個要素x1,x2,x3,x4影響一個地理要素y的冪函數(shù)乘積模型時

15、，可用相關(guān)分析法分別找出各要素間的相關(guān)程度，然后按相關(guān)系數(shù)的大小，依次求出參數(shù)d,c,b,a,最后確定常數(shù)k。四個要素冪函數(shù)乘積模型的建立步驟四個要素冪函數(shù)乘積模型的建立步驟(續(xù)) 按上述方法所建立的模型有一缺點(diǎn)，即k值含有不同的因次，為了解決這一問題,常常用無因次定律將以上公式改變成無因次的因素集合體。三、地理分析與預(yù)測中的多元回歸模型例一：利用歷史資料，選擇與之關(guān)系密切的四個要素預(yù)測某氣象臺的平均氣溫。例二：水文年徑流與流域面積及年雨量之間的關(guān)系。例三：馬鞍山市鋼鐵生產(chǎn)運(yùn)輸系統(tǒng)的要素間關(guān)系。四、預(yù)測模型的顯著性檢驗 地理系統(tǒng)多要素關(guān)系分析與預(yù)測數(shù)學(xué)模型的有效程度，可以直接用擬合誤差與誤差百

16、分比進(jìn)行分析；也可以用統(tǒng)計方法對模型進(jìn)行顯著性檢驗。 所謂方程的顯著性是指方程能否達(dá)到一定的精度要求，系統(tǒng)的輸入與輸出之間是否存在顯著性的關(guān)系。1、復(fù)相關(guān)系數(shù)的計算 復(fù)相關(guān)系數(shù)R判斷模型顯著性的定性指標(biāo)，和單相關(guān)系數(shù)r不同，它只取值于0與1之間。 復(fù)相關(guān)系數(shù)是由回歸平方和與總離差平方和的比決定的。 一般統(tǒng)計表上沒有列出復(fù)相關(guān)系數(shù)R檢驗值，但可以由F分布表推求。2、方差分析與F比的計算多元回歸方差分析表3、預(yù)測精度的估計 在多因素影響下的一個地理系統(tǒng)要素的預(yù)測時，還必須事先估計其誤差的大小，以確定預(yù)測的精確程度。五、預(yù)測模型系數(shù)的顯著性檢驗 在多輸入與一個輸出的地理系統(tǒng)中，如果通過方差分析表明預(yù)測模型是顯著的，卻并不表示每一個輸入對輸出的影響都是顯著的。 在可能在幾個影響因素中