1、1一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積 二、由平行截面面積求體積二、由平行截面面積求體積 第十章第十章 定定積積分的分的應(yīng)應(yīng)用（一）用（一）由平行截面面積求體積直接應(yīng)用求旋轉(zhuǎn)體的體積面積公式（直角坐標，極坐標）2一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積 如果函數(shù)y=f(x)( f(x)0)在區(qū)間a, b上連續(xù)，則由曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積為 復(fù)習(xí)：Ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 baf(x)dx。 3 由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積 S 如何求？考慮

2、如下問題：Ox y 1、若圖形在x軸上方，ab y=f (x) y=g(x) y=g(x)注意圖形的形成S =baf(x)dx =baf(x)g(x)dx。 f(x)dxbag(x)dx =4ab y=f(x) y=g(x)Ox y 2、若圖形不在x軸上方， y=f(x)m y=g(x)mm將圖形平移到x軸的上方S =baf(x)mdxg(x)mdx =baf(x)g(x)dx。 由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積 S 如何求？考慮如下問題： 1、若圖形在x軸上方，S =baf(x)dx =baf(x)g(x)dx。 f(x)dxbag(

3、x)dx =f(x)mdxbag(x)mdx 5 結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注： (1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。Ox yab y=f(x)g(x)=0Ox yab y=g(x)f(x)=06Ox yab y=f(x)g(x)=0ab y=f(x)g(x)=0Ox yab y=f(x)g(x)=0 (2)當左右兩邊縮為一點時，上述公式也成立。 (3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上的投影區(qū)間。 結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 =baf(x

4、)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注： (1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。7 (4)如果 y=f(x)有分段點 c，則需把圖形分割后計算。Ox yab y=f(x)g(x)=0 y=f1(x) y=f2(x)cS=baf (x)g(x)dx =f1(x)g(x)dxf2(x)g(x)dx。 f (x)g(x)dx =f1(x)g(x)dxf2(x)g(x)dx。 結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注： (1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也

5、成立。 (2)當左右兩邊縮為一點時，上述公式也成立。 (3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上的投影區(qū)間。8討論： 由左右兩條連續(xù)曲線x=y(y)、x=j(y)與上下兩條直線y=c、 y=d所圍成的圖形的面積 S 如何求？Ox ycdx=y(y)x=j(y)dyyySdc)()(yj=。 答案： 結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為9abxyOS1結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為 例1. 求橢圓 所圍成的圖形面

6、積。 解：設(shè)橢圓在第一象限的面積為S1，則橢圓的面積為22221xyab=22022000241, let sin , we get 4cos(1 cos2 ) .4 aaxSydxbdxxataSabtdtabt dtab= =221xyba=10 解： 由對稱性，圖形面積是第一 象限部分的兩倍。 S =2 dxxxdxxx)112()211(23121022dxxxdxxx)112()211(23121022x3=所圍成的圖形的面積。 例 2求曲線 y=21x2、y211x=與直線 x3=、xO-1 1 y y211x= 3=3 y=21x2 11 解： 由對稱性，圖形面積是第一 象限部分

7、的兩倍。 S =2 dxxxdxxx)112()211(23121022103)6 arctg(xx =2 x3=所圍成的圖形的面積。 dxxxdxxx)112()211(23121022103)6 arctg(xx 303) arctg6(xx )233(31=.11例 2求曲線 y=21x2、y211x=與直線 x3=、12 例3 計算拋物線y2=2x 與直線xy=4所圍成的圖形的面積。8 y-2 2 x2O444(8, 4)(2, 2) 解：求兩曲線的交點得：(2，2)，(8，4)。將圖形向y軸投影得區(qū)間2，4。 1861421)214(4232242=yyydyyy=18。思考：為什么

8、不向x軸投影？S=1861421)214(4232242=yyydyyy13oyxababoyx一般地 , 當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 =)()(tytxyj給出時, 按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積=2121d)()()()( ttttbattttdtydxAjyjy)(1axt=對應(yīng))(1bxt=對應(yīng)14極坐標情形極坐標情形,0)(, ,)(jjC設(shè)求由曲線)(j=r及=,射線圍成的曲邊扇形的面積 .在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為jd)(21d2=S所求曲邊扇形的面積為jd)(21212=dAA)(j=r x d 15對應(yīng) 從 0 變例

9、例5. 計算阿基米德螺線解解:)0( =aarxa 2o dd)(212a=20A22a=331022334a=到 2 所圍圖形面積 . 16ttadcos82042=例例6. 計算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (=aarxa2o dd)cos1 (2122a=02A=02ad2cos44(利用對稱性)2=t令=28a43212223a=17二、由平行截面面積求體積二、由平行截面面積求體積 設(shè)一立體在x軸上的投影區(qū)間為a, b ，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。 V =ni 1S(i)xi。 (3)令l=maxxi，則立體體積為 (1) 在

10、a, b內(nèi)插入分點： a=x0 x1x2 xn1xn=b， (2)過xi(i=1, 2, , n1)且垂直于x軸的平面，把立體分割成n個小薄片，第i個小薄片體積的近似值S(xi)xi。 將n個小薄片體積的近似值相加得立體體積的近似值xOax1xi1xixnbV =ni 10limlS( )xi=baS(x)dx。i18abzxyco垂直 x 軸的截面是橢圓1)1 ()1 (22222222=axaxczby例例7. 計算由曲面1222222=czbyax所圍立體(橢球體)解解:它的面積為)1 ()(22axbcxS=因此橢球體體積為bc2=0abca34=特別當 a = b = c 時就是球體

11、體積 .)(axaxbcaxd)1 (22=aV02x233axx的體積.19例例8. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 , 并與底面交成 角,222Ryx=解解: 如圖所示取坐標系, 則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA=)(RxR=RxxRV022dtan)(2123231tan2xxR=0Rtan323R=利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .oRxyx20oRxy思考思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?),(yx=)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRy=VR0tan

12、2yyRyd2221Oxba y區(qū)間a, b上截面積為S(x)的立體體積：右圖為由連續(xù)曲線 y=f(x)、直線 x=a 、 x=b 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。 y=f (x)V =baf(x)2dx=baf(x)2dx。 V =baS(x)dx。 關(guān)鍵是確定截面面積2( )( )S xf x=22當考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx=j繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時, =dcdyyV2)(jxoy)(yxj=cdy2( )( )S yy j=截面面積為于是有23 例例9 連接坐標原點O及點P(h，r)的直線、直線x=h 及x軸圍成一個直角三角形。將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成

13、一個底半徑為r、高為h的圓錐體。計算這圓錐體的體積。 解：過原點 O 及點 P(h，r)的直線方程為 yxhr=。 V=h0 (xhr)2dx = 所求圓錐體的體積為 =22 hrh0 x2dxxhry =hrxyO曲線y=f(x)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積：V =baf(x)2dx。 區(qū)間a, b上截面積為 S(x) 的立體體積：V =baS(x)dx。 x2dx231hr=。 ( , )P r h24ayxb例例10. 計算由橢圓12222=byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標方程)(22axaxaaby=則截面面積xxaabad)(220

14、222=(利用對稱性)=3222312xxaab0a234ab=o=adxyV022x2( )S xy=于是25方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程=tbytaxsincos則xyVad202=ttabdsin232=22 ab=32234ab=02特別當b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343a26xyoa2例例11. 計算擺線=)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202=利用對稱性利用對稱性=2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)co

15、s1 (2033=ttad2sin16063=uuadsin322063=332 a6543212325a=ay)2(tu =令27xyoa2a繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為=)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(2022=22)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx =22)sin(ttattadsin0注意上下限 !=2023dsin)sin(tttta336a=)(1yxx =注意分段點！28分部積分對稱關(guān)于2注注202dsin)sin(tttt=20322d)sinsin2sin(tttttt)(= tu令=uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)=0dsin4uuu02dsin4uu24=uudsin8202221842=26=29ox1 2yBC3A例例12. 求曲線132=xy與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94 考研)解解: 利用對稱性 ,=y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為=V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022=xxd