七年級數(shù)學(xué)下冊8.1冪的運算導(dǎo)學(xué)案(新版)滬科版_第1頁
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文檔簡介

1、七年級數(shù)學(xué)下冊8.1冪的運算導(dǎo)學(xué)案(新版)滬科版1. 了解冪的運算性質(zhì),會利用冪的運算性質(zhì)進行計算2. 通過冪的運算性質(zhì)的形成和應(yīng)用,養(yǎng)成觀察、歸納、猜想、論證的能力,提高計算和口算的能力3. 了解和體會“特殊一般特殊”的認知規(guī)律,體驗和學(xué)習(xí)研究問題的方法,培養(yǎng)思維嚴謹性,做到步步有據(jù),正確熟練,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣81. 同底數(shù)冪的乘法2(1) 同底數(shù)冪的意義“同底數(shù)冪”顧名思義,是指底數(shù)相同的冪如356243與3,(5)與(5),(ab)與(ab)等表示的都是同底數(shù)的冪(2) 冪的運算性質(zhì)1同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加mnmn用字母可以表示為:aaa(3) 性質(zhì)的推廣運用(m,n都是正整

2、數(shù))當(dāng)三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘時,也具有這一性質(zhì),如:mnpmnpm,n,p是正整數(shù))(4) 在應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法的運算性質(zhì)時,應(yīng)注意以下幾點:aaaa(冪的底數(shù)a可以是任意的有理數(shù),也可以是單項式或多項式;底數(shù)是和、差或其他形式的冪相乘,應(yīng)把這些和或差看作一個“整體”nn底數(shù)必須相同才能使用同底數(shù)冪的乘法公式,若底數(shù)不同,則不能使用;注意:a與(a)不是同底數(shù)的冪,不能直接用性質(zhì)2不要忽視指數(shù)是1的因數(shù)或因式【例11】(1)計算x3x的結(jié)果是;433(2)a(a)(a).解析:(1)題中的底數(shù)都是x,是兩個同底數(shù)冪相乘的運算式子,只需運用同底數(shù)冪相32325乘的性質(zhì)進行運算,即xxxx;

3、(2)應(yīng)先把底數(shù)分別是a,a的冪化成同底數(shù)的冪,才能應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法性質(zhì),原式a4(a3)(a3)a4a3a3a433a10.510答案:(1)x(2)a正確運用冪的運算性質(zhì)解題的前提是明確性質(zhì)的條件和結(jié)論例如同底數(shù)冪的乘法,條件是底數(shù)相同,且運算是乘法運算,結(jié)論是底數(shù)不變,指數(shù)相加23【例12】計算:(1)(xy)(xy);23(2)(a2b)(2ba).223分析:(1)把(xy)看作底數(shù),可根據(jù)同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)來解;(2)題中(a2b)可轉(zhuǎn)化為(2ba),或者把(2ba)3轉(zhuǎn)化為(a2b),就是兩個同底數(shù)的冪相乘了解:(1)原式(xy)23(xy)5;235(2)方法一:原式(2ba

4、)(2ba)(2ba);235方法二:原式(a2b)(a2b)(a2b).本題應(yīng)用了整體的數(shù)學(xué)思想,把(xy)和(a2b)看作一個整體,(2)題中的兩種解法所得的結(jié)果實質(zhì)是相等的,因為互為相反數(shù)的奇次冪仍是互為相反數(shù)352. 冪的乘方5(1) 冪的乘方的意義:冪的乘方是指幾個相同的冪相乘如(a)是指三個a相乘,讀作5355555553“a的五次冪的三次方”,即有(a)aaaaa;(am)n表示n個am相乘,讀作“a的m次冪的n次方”,即有(am)namamn個mnama aaaaaaaaa(m,n都是正整數(shù))m個m個m個n個(2) 冪的運算性質(zhì)2mnmn冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘用字母可以表

5、示為:(a)a(m,n都是正整數(shù))這個性質(zhì)的最大特點就是將原來的乘方運算降次為乘法運算,即底數(shù)不變,指數(shù)相乘(3) 性質(zhì)的推廣運用冪的乘方性質(zhì)可推廣為:mnpmnp(a)a(m,n,p均為正整數(shù))mnn(4) 注意(a)與am的區(qū)別(am)n表示n個am相乘,而amn表示mn個a相乘,例如:(52)352356,52358.因此,mnn(a)am.32【例2】(1)計算(x)的結(jié)果是()Ax5Bx6Cx8Dx93342(2)計算3(a)2(a)a.解析:(1)根據(jù)性質(zhì),底數(shù)不變,指數(shù)相乘,結(jié)果應(yīng)選B;(2)先根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪相乘進行計算,再合并同類項得到結(jié)果33423342989993(

6、a)2(a)a3a2aa3a2aa3a2a5a.9答案:(1)B(2)5aa232a638防止“指數(shù)相乘”變?yōu)椤爸笖?shù)相加”,同時防止“指數(shù)相乘”變?yōu)椤爸笖?shù)乘43n方”如(a)42與(a)a2a都是錯誤的3. 積的乘方3(1) 積的乘方的意義:積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方如(2ab)(2ab)(2ab)(2ab)(2ab)(乘方意義)(222)(aaa)(bbb)(乘法交換律、結(jié)合律),(ab)等3332ab.nnn(ab)abababaaabbbab(n為正整數(shù))n個(2) 冪的運算性質(zhì)3積的乘方等于各因式乘方的積n個n個也就是說,先把積中的每一個因式分別乘方,再把所得的結(jié)果相乘nnn用字

7、母可以表示為:(ab)ab(n是正整數(shù))(3) 性質(zhì)的推廣運用nnnn三個或三個以上的乘方也具有這一性質(zhì),如(abc)abc(n是正整數(shù))23【例3】計算:(1)(2x);(2)(xy);23221234(3)(xy)(xy);(4)2abc.分析:(1)要注意2x含有2,x兩個因數(shù);(2)xy含有三個因數(shù):1,x,y;(3)22221231把xy看作x與y的積,把xy看作1,x,y的積;(4)2abc含有四個因數(shù)2,a,c23b,先運用積的乘方性質(zhì)計算,再運用冪的乘方性質(zhì)計算3333解:(1)(2x)(2)x8x;(2)(xy)22(1)2222xy;xy(3)(xy2)3(x2y)2x3(

8、y2)3(1)2(x2)2y2x3y6x4y2x7y8;12341(4) abc4a4(b2)4(c3)41a4b8c12.2216(1) 在計算時,把x2與y2分別看成一個數(shù),便于運用積的乘方的運算性質(zhì)進行計算,這種把某個式子看成一個數(shù)或字母的方法的實質(zhì)是換元法,它可以把復(fù)雜問題簡單化,它是數(shù)學(xué)的常用方法(2) 此類題考查積的乘方運算,計算時應(yīng)特別注意底數(shù)含有的因式,每個因式都分別乘方,不要漏掉,尤其要注意系數(shù)及系數(shù)的符號,對系數(shù)是1的不可忽略負數(shù)的奇次方是一個負數(shù),負數(shù)的偶次方是一個正數(shù)4. 同底數(shù)冪的除法(1) 冪的運算性質(zhì)4同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減mnmn用字母可以表示為:aa

9、a(a0,m,n都是正整數(shù),且mn)這個性質(zhì)成立的條件是:同底數(shù)冪相除,結(jié)論是:底數(shù)不變,指數(shù)相減和同底數(shù)冪的乘法類似,被除式和除式都是冪的形式且底數(shù)一定要相同,商也是一個冪,其底數(shù)與被除式和除式的底數(shù)相同,商中冪的指數(shù)是被除式的指數(shù)與除式的指數(shù)之差因為零不能作除數(shù),所以底數(shù)a0.(2) 性質(zhì)的推廣運用mnpmnp三個或三個以上的同底數(shù)冪連續(xù)相除時,該性質(zhì)仍然成立,例如aaaa(a0,m,n,p為正整數(shù),mnp)【例4】計算:63(1)(a)(a);42(2)(a1)(a1);(3)(x)7(x3)(x)2.分析:利用同底數(shù)冪的除法性質(zhì)進行運算時關(guān)鍵要找準底數(shù)和指數(shù)(1)中的底數(shù)是a,(2)

10、中的底數(shù)是(a1),(3)中的底數(shù)可以是x,也可以是x.63解:(1)(a)(a)6333(a)(a)a;42(2)(a1)(a1)422(a1)(a1);(3) 方法1:732732(x)(x)(x)(x)(x)(x)73222(x)方法2:7(x)3x.2(x)(x)(x)732(x)(x)xx732x2.運用同底數(shù)冪除法性質(zhì)的關(guān)鍵是看底數(shù)是否相同,若不相同則不能運用該性質(zhì),指數(shù)相減是指被除式的指數(shù)減去除式的指數(shù);冪的前三個運算性質(zhì)中字母a,b可以表示任何實數(shù),也可以表示單項式和多項式;第四個性質(zhì)即同底數(shù)冪的除法性質(zhì)中,字母a只表示不為零的實數(shù),或表示其值不為零的單項式和多項式注意指數(shù)是“

11、1”的情況,如a5aa51,而不是a50.5. 零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪(1) 零指數(shù)冪:任何一個不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.用字母可以表示為:a01(a0)a01的前提是a0,如(x2)01成立的條件是x2.(2) 負整數(shù)指數(shù)冪:任何一個不等于零的數(shù)的p(p是正整數(shù))次冪,等于這個數(shù)的p次冪的倒數(shù)p1用字母可以表示為:aap(a0,p是正整數(shù))ap12pap的條件是a0,p為正整數(shù),而0等是無意義的當(dāng)a0時,a的值一定為正;當(dāng)a0時,ap的值視p的奇偶性而定,如(2)31(3)21.8,9規(guī)定了零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義后,正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),就可mnmn以推廣到整數(shù)指數(shù)冪了,于是同底

12、數(shù)冪除法的性質(zhì)推廣到整數(shù)指數(shù)冪,即aaa(a0,m,n都是整數(shù))如aa2a12a11a;正整數(shù)指數(shù)冪的某些運算,在負整數(shù)指數(shù)冪中也23235能適用如aaaa等【例5】計算:4352(1)1.610;(2)(3);(3)3;0101221(4)(3.14);(5)333.p1分析:此題是負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的計算,可根據(jù)aap(p是正整數(shù),a0)和a01(a0)計算其中(1)題應(yīng)先求出104的值,再運用乘法性質(zhì)求出結(jié)果解:(1)1.610411.61041.60.00010.00016.(2)(3)3131327.5(3)323295.25(4)因為3.1415926,所以3.140.0故(3

13、.14)1.(5)原式11131219213318.22只要底數(shù)不為零,而指數(shù)是零,不管底數(shù)多么復(fù)雜,其結(jié)果都是1.當(dāng)一個負整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)是分數(shù)時,它等于底數(shù)倒數(shù)的正整數(shù)次冪,即6. 用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)apbpb a.(1) 絕對值小于1的數(shù)可記成a10n的形式,其中1a10,n是正整數(shù),n等于原數(shù)中第一個不等于零的數(shù)字前面的零的個數(shù)(包括小數(shù)點前面的一個零),這種記數(shù)方法也是科學(xué)記數(shù)法(2) 把一個絕對值小于1的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示分兩步:確定a,1a10,它是將原數(shù)小數(shù)點向右移動后的結(jié)果;確定n,n是正整數(shù),它等于原數(shù)化為a后小數(shù)點移動的位數(shù)(3) 利用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù),不僅簡

14、便,而且更便于比較數(shù)的大小,如:2.57105顯38然大于2.5710,前者是后者的10倍【例61】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴發(fā)并在全球蔓延,我們應(yīng)通過注意個人衛(wèi)生加強防范研究表明,甲型H1N1流感球形病毒細胞的直徑約為0.00000156m,用科n學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù)是()A0.156105B0.156105C1.56106D1.56106解析:本題考查科學(xué)記數(shù)法,將一個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a10(1a10)的形式,其中a是正整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù),所以A、B不正確,n是正整數(shù),n等于原數(shù)中第一個有效數(shù)字前面的零的個數(shù)(包括小數(shù)點前面的一個零),所以n6,即0.000001561.5

15、6106.故選C答案:Cn的值也等于將原數(shù)寫成科學(xué)記數(shù)法a10n時,小數(shù)點移動的位數(shù)如本題中將0.00000156寫成科學(xué)記數(shù)法表示時,a為1.56,即將原數(shù)的小數(shù)點向右移動了633, 3位,所以n的值是6.【例62】已知空氣的單位體積質(zhì)量為1.2410g/cm1.2410用小數(shù)表示為()A0.000124B0.0124C0.00124D0.00124解析:因為a1.24,n3,因此原數(shù)是1前面有3個零(包括小數(shù)點前面的一個零),3即1.24100.00124.答案:D本題可把1.24的小數(shù)點向左移動3位得到原數(shù),也可利用負整數(shù)指數(shù)冪算出103的值,再與1.24相乘得到原數(shù)7. 冪的混合運算冪

16、的四個運算性質(zhì)是整式乘(除)法的基礎(chǔ),也是整式乘(除)法的主要依據(jù)進行冪的運算,關(guān)鍵是熟練掌握冪的四個運算性質(zhì),深刻理解每個性質(zhì)的意義,避免互相混淆冪的混合運算順序是先乘方,再乘除,最后再加減,有括號的先算括號里面的因此,運算時,應(yīng)先細心觀察,合理制定運算順序,先算什么,后算什么,做到心中有數(shù)32632(1) 同底數(shù)冪相乘與冪的乘方運算性質(zhì)混淆,從而導(dǎo)致錯誤如:aa5a;(a)a.解題時應(yīng)首先分清是哪種運算:若是同底數(shù)冪相乘,應(yīng)將指數(shù)相加;若是冪325326的乘方,應(yīng)將指數(shù)相乘正解:aaa;(a)a.333336(2) 同底數(shù)冪相乘與合并同類項混淆,從而導(dǎo)致錯誤如:aa2a;aaa.是同底數(shù)冪

17、相乘,應(yīng)底數(shù)不變,指數(shù)相加;是合并同類項,應(yīng)系數(shù)相加作系數(shù),字母和336333字母的指數(shù)不變正解:aaa;aa2a.【例71】下列運算正確的是()459A. aaa3333B. aaa3a459347C. 2a3a6aD. (a)a9解析:對于A,兩者不是同類項,不能合并;對于B,結(jié)果應(yīng)為a;對于C,結(jié)果是正343412確的;對于D,(a)aa.故選C答案:C2322263【例72】計算:(2xy)8(x)(x)(y)y.23233,22分析:按照運算順序,先利用積的乘方化簡,即(2xy)8(x)y8(x)(x) 2(y)68x4x2y6,再利用冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法化簡乘方后的結(jié)果,最后合

18、并同類項2解:(2xy)8(x)(x)(y)y22632323342638(x)y8xxyy63638xy8xy0.8冪的運算性質(zhì)的逆用對于冪的運算性質(zhì)的正向運用大家一般比較熟練,但有時有些問題需要逆用冪的運算性質(zhì),可以使問題化難為易、求解更加簡單(1) 逆用同底數(shù)冪的乘法性質(zhì):amnaman(m,n為正整數(shù))如252322224.當(dāng)遇到冪的指數(shù)是和的形式時,為了計算的需要,往往逆用同底數(shù)冪的乘法性質(zhì),將冪轉(zhuǎn)化成幾個同底數(shù)冪的乘法但是一定要注意,轉(zhuǎn)化后指數(shù)的和應(yīng)等于原指數(shù)(2) 逆用冪的乘方性質(zhì):amn(am)n(an)m(m,n均為正整數(shù))逆用冪的乘方性質(zhì)的方法是:冪的底數(shù)不變,將冪的指數(shù)分

19、解成兩個因數(shù)的乘積,再轉(zhuǎn)62332化成冪的乘方的形式如x(x)(x),至于選擇哪一個變形結(jié)果,要具體問題具體分析(3) 逆用積的乘方性質(zhì):anbn(ab)n(n為正整數(shù))當(dāng)遇到指數(shù)相差不大,且指數(shù)比較大時,可以考慮逆用積的乘方性質(zhì)解題注意,必須是同指數(shù)的冪才能逆用性質(zhì),逆用時一定要注意:底數(shù)相乘,指數(shù)不變(4) 逆用同底數(shù)冪的除法性質(zhì):amnaman(a0,m,n為整數(shù))b當(dāng)遇到冪的指數(shù)是差的形式時,為了計算的需要,往往逆用同底數(shù)冪的除法性質(zhì),將冪轉(zhuǎn)化成幾個同底數(shù)冪的除法但是一定要注意,轉(zhuǎn)化后指數(shù)的差應(yīng)等于原指數(shù)a【例81】(1)已知32,36,則33a2b的值為;p12qr73p4q2r(2

20、)若m,m7,m5,則m5的值為ab解析:(1)因為32,36,3a2b3a2ba3b2322所以333(3)(3)269.3p4q2rp32q2r2132721(2)m答案:(1)(m)29(2)(m)15(m)5755.【例82】(1)計算:12011820122;40242(2)已知10x2,10y3,求103x2y的值40242)分析:(1)本題的指數(shù)較大,按常規(guī)方法計算很難,觀察式子特點發(fā)現(xiàn):4024是2012的兩倍,可逆用冪的乘方性質(zhì),把2化為(22012,這樣再與22012逆用積的乘方性質(zhì),此時發(fā)現(xiàn)與120118底數(shù)互為倒數(shù),但指數(shù)不相同,因此逆用同底數(shù)冪的乘法及逆用積的乘方性3

21、x2y質(zhì),簡化計算;(2)可逆用冪的乘方,把10化為條件中的形式解:(1)原式1201182012(22)2012(逆用冪的乘方)212011812011812011(22)28201220112012(逆用積的乘方)888(逆用同底數(shù)冪的乘法)12011888(逆用積的乘方)8.3x(2)因為10(10x33)28,10y2(10y22)39,3x2y3x2y所以1010108972.9. 利用冪的運算性質(zhì)比較大小在冪的運算中,經(jīng)常會遇到比較正整數(shù)指數(shù)冪的大小問題對于一些冪的指數(shù)較小的問題,可以直接計算出冪進行比較;但當(dāng)冪的指數(shù)較大時,若通過先計算出冪再比較大小,就會很繁瑣甚至不可能這時可利

22、用冪的運算性質(zhì)比較冪的大小比較冪的大小,一般有以下幾種方法:(1) 指數(shù)比較法:利用乘方,將比較大小的各個冪的底數(shù)化為相同的底數(shù),然后根據(jù)指數(shù)的大小關(guān)系確定出冪的大小(2) 底數(shù)比較法:利用乘方,將比較大小的各個冪的指數(shù)化為相同的指數(shù),然后根據(jù)底數(shù)的大小關(guān)系確定出冪的大小(3) 作商比較法:當(dāng)a0,b0時,利用“若較ab1,則ab;若a1,則ab;若bab1,則ab”比416131有關(guān)冪的大小比較的技巧和方法除靈活運用冪的有關(guān)性質(zhì)外,還應(yīng)注意策略,如利用特殊值法、放縮法等【例9】(1)已知a81,b27,c9,則a,b,c的大小關(guān)系是()AabcBacb45CabcDbca(2)350,40,

23、30的大小關(guān)系是()A350440530B530350440C53040504030504 3D 4 5 3999911(3)已知P999,Q990,那么P,Q的大小關(guān)系是()APQBPQCPQD無法比較314311244134112361261122解析:(1)因為a81(3)3,b27(3)3,c9(3)3,又124124123122123122,所以333,即abc.故選A1030401050(2)因為350(35)1024310,440(44)1025610,530(53)1012510,而125243256,所以1099125243256,即534.故選B999999090P9990911911(3)因為Q999119答案:(1)A(2)B(3)B9991199991191,所以PQ.故選B10. 冪的運算性質(zhì)的實際應(yīng)用利用冪的運算可以解決一些實際問題,所以要熟練掌握好冪的運算性質(zhì),能在實際問題中靈活地運用冪的運算性質(zhì)求解問題解決此類問題時,必須認真審題,根據(jù)題意列出相關(guān)的算

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