1、2021/4/21第第 2 節(jié)事件的概率節(jié)事件的概率第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率2021/4/22一、概率的統(tǒng)計(jì)定義一、概率的統(tǒng)計(jì)定義 對(duì)于事件發(fā)生的的可能性大小，需要用一對(duì)于事件發(fā)生的的可能性大小，需要用一個(gè)數(shù)量指標(biāo)去刻畫(huà)它，這個(gè)指標(biāo)應(yīng)該是隨機(jī)事個(gè)數(shù)量指標(biāo)去刻畫(huà)它，這個(gè)指標(biāo)應(yīng)該是隨機(jī)事件本身所具有的屬性，不能帶有主觀(guān)性，且能件本身所具有的屬性，不能帶有主觀(guān)性，且能在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證，必須符合常情。在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證，必須符合常情。我們把刻畫(huà)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)我們把刻畫(huà)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)叫做事件的概率。叫做事件的概率。1 1、 概率的含義概

2、率的含義2021/4/232 2、概率的統(tǒng)計(jì)定義、概率的統(tǒng)計(jì)定義 在一般情況下，對(duì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如何在一般情況下，對(duì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如何度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小呢度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小呢 ？為了？為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們先引進(jìn)頻率的概念?；卮疬@個(gè)問(wèn)題，我們先引進(jìn)頻率的概念。 設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件A在在n次試驗(yàn)中發(fā)生了次試驗(yàn)中發(fā)生了r次，則次，則稱(chēng)比值稱(chēng)比值 r/ /n為這為這n次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，發(fā)生的頻率，即即 ( )nrfAn 2021/4/24 在了解了定義之后，下面我們從試驗(yàn)入手，揭在了解了定義之后，下面我們從試驗(yàn)入手，揭示隨機(jī)事件一個(gè)極其重要的特征：示隨機(jī)

3、事件一個(gè)極其重要的特征： 頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小。盡管每進(jìn)行一連串（小。盡管每進(jìn)行一連串（n次）試驗(yàn)，所得到的頻率次）試驗(yàn)，所得到的頻率可以各不相同，但只要可以各不相同，但只要n相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非常接近的。常接近的。 頻率穩(wěn)定性頻率穩(wěn)定性頻頻率率概概率率如拋硬幣的試驗(yàn)如拋硬幣的試驗(yàn) ( )( )nnfAP A 思思考考：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，嗎嗎？2021/4/25 因此，概率是可以通過(guò)頻率來(lái)因此，概率是可以通過(guò)頻率來(lái)“測(cè)量測(cè)量”的的, , 頻頻率是概率的一個(gè)近似。率是概率的一個(gè)近似?？紤]在相同條件下進(jìn)行的考慮在相同

4、條件下進(jìn)行的S 輪試驗(yàn)輪試驗(yàn)第二輪第二輪試驗(yàn)試驗(yàn)試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)n2事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m2次次第第S S輪輪試驗(yàn)試驗(yàn)試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)ns事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)ms 次次試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)n1事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m1次次第一輪第一輪試驗(yàn)試驗(yàn)2021/4/26事件事件A在各輪試驗(yàn)中的頻率形成一個(gè)數(shù)列在各輪試驗(yàn)中的頻率形成一個(gè)數(shù)列 指的是：當(dāng)各輪試驗(yàn)次數(shù)指的是：當(dāng)各輪試驗(yàn)次數(shù)n1,n2,ns 充分大時(shí)，在各輪試驗(yàn)中事件充分大時(shí)，在各輪試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的出現(xiàn)的頻率之間、或者它們與某個(gè)常數(shù)相差甚微。頻率之間、或者它們與某個(gè)常數(shù)相差甚微。 頻率穩(wěn)定性頻率穩(wěn)定性即是說(shuō)，在試驗(yàn)次數(shù)足夠大的條件下，各頻率都能即是說(shuō)，在

5、試驗(yàn)次數(shù)足夠大的條件下，各頻率都能夠與某個(gè)常數(shù)比較接近。夠與某個(gè)常數(shù)比較接近。1212,ssmmmnnn2021/4/27頻率頻率概率概率p這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計(jì)方法求概率的數(shù)值開(kāi)拓了道路。這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計(jì)方法求概率的數(shù)值開(kāi)拓了道路。在實(shí)際中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們常取實(shí)驗(yàn)次數(shù)在實(shí)際中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們常取實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)事件的頻率作為概率的估計(jì)值很大時(shí)事件的頻率作為概率的估計(jì)值. .并稱(chēng)此概率為并稱(chēng)此概率為: :統(tǒng)計(jì)概率。統(tǒng)計(jì)概率。這種確定概率的方法稱(chēng)為頻率方法。這種確定概率的方法稱(chēng)為頻率方法。11mn22mnssmn2021/4/28歷史上拋硬幣試驗(yàn)的若干結(jié)果歷史上拋硬幣試驗(yàn)的若干結(jié)果實(shí)

6、驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者拋硬幣次數(shù)拋硬幣次數(shù) 出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù) 頻率頻率 德莫根德莫根蒲豐蒲豐費(fèi)勒費(fèi)勒皮爾遜皮爾遜皮爾遜皮爾遜 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 10000 4979 0.4979 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.50052021/4/293 、概率的性質(zhì)、概率的性質(zhì)1、非非負(fù)負(fù)性性：0()1(1)P A 2、正正則則性性：()1(2)P 3、可可列列可可加加性性: :12,A A 若若兩兩兩兩互互不不相相容容，則則有有1212()()()(3)P AAP AP A 2021/4/210二、古典概型（古典定義）二、古典

7、概型（古典定義）在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的可能性是相同的在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的可能性是相同的. .古典概型是一類(lèi)比較簡(jiǎn)單古典概型是一類(lèi)比較簡(jiǎn)單, ,直觀(guān)的隨機(jī)試驗(yàn)直觀(guān)的隨機(jī)試驗(yàn), ,有以下有以下兩個(gè)明顯特征兩個(gè)明顯特征: :（1 1）試驗(yàn)所有可能的結(jié)果個(gè)數(shù)有限）試驗(yàn)所有可能的結(jié)果個(gè)數(shù)有限, ,即基本事件即基本事件個(gè)數(shù)有限，分別記為個(gè)數(shù)有限，分別記為樣本空間可表示為樣本空間可表示為（2 2） 各個(gè)試驗(yàn)結(jié)果各個(gè)試驗(yàn)結(jié)果123,n 123,n ；123,n 樣本空間樣本空間有限有限樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) 等可能性等可能性2021/4/211 稱(chēng)此概率為古典概率；稱(chēng)此概率為古典概率； 這種確定概率的方法稱(chēng)為古典方法。這種確

8、定概率的方法稱(chēng)為古典方法。即把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)即把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)。定義：定義： 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E E是古典概型是古典概型, , 其樣本空間其樣本空間由由n個(gè)樣本點(diǎn)組成個(gè)樣本點(diǎn)組成 , , 事件事件A由由k 個(gè)樣本點(diǎn)組成個(gè)樣本點(diǎn)組成 。則定義事件則定義事件A 的概率為：的概率為：注意：注意：排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具 。( )kP An .A 包包含含的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)包包含含的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)2021/4/212例例 1 1 一批產(chǎn)品由一批產(chǎn)品由9090件正品和件正品和1010件次品組成，從中件次品組成，從中任取一件，問(wèn)取得正品

9、的概率多大？任取一件，問(wèn)取得正品的概率多大？ 解：設(shè)解：設(shè)“取得一件產(chǎn)品是正品取得一件產(chǎn)品是正品”這一事件為這一事件為A，則，則因?yàn)槊恳患a(chǎn)品都有可能被抽出來(lái)，總的抽取方法因?yàn)槊恳患a(chǎn)品都有可能被抽出來(lái)，總的抽取方法有（有（90+1090+10）種，而取得正品的取法有）種，而取得正品的取法有9090種，按古種，按古典概率的定義，典概率的定義，所求概率為所求概率為90( )9010P A 0.9. 2021/4/213例例 2 2 一批產(chǎn)品由一批產(chǎn)品由9595件正品和件正品和5 5件次品組成，連續(xù)件次品組成，連續(xù)從中抽取兩件，第一次取出后不再放回，問(wèn)第一次從中抽取兩件，第一次取出后不再放回，問(wèn)第

10、一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？則則A中包含的抽取方法共中包含的抽取方法共95955 5種，種，解：用解：用A表示事件表示事件“第一次取得正品且第二次取得次品第一次取得正品且第二次取得次品”，由于是無(wú)放回地抽取，應(yīng)用乘法原理可知由于是無(wú)放回地抽取，應(yīng)用乘法原理可知總的抽取方法有：總的抽取方法有：1001009999種，種，第一次取正品的方法有第一次取正品的方法有9595種，種， 第二次取次品的方法有第二次取次品的方法有5 5種，種，所求概率為：所求概率為： 9551910099396P A 2021/4/214例例3 3 在例在例2 2中，若仍是不放

11、回抽取兩件產(chǎn)品，計(jì)算中，若仍是不放回抽取兩件產(chǎn)品，計(jì)算“抽得一件為正品，一件為次品抽得一件為正品，一件為次品”，的概率。，的概率。 解：設(shè)解：設(shè)A表示表示“第一次抽得正品且第二次抽得次品第一次抽得正品且第二次抽得次品”，B表示表示“第一次抽得次品且第二次抽得正品第一次抽得次品且第二次抽得正品”，顯然顯然A與與B是互斥事件，是互斥事件，所求事件所求事件“一次取得正品，一次取得次品一次取得正品，一次取得次品”，即為即為A+ +B. . P ABP AP B 955595191009910099198 2021/4/215例例4 4 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共200200個(gè)，有個(gè)，有6 6個(gè)次品，求（個(gè)次

12、品，求（1 1）任?。┤稳? 3個(gè)恰有個(gè)恰有1 1個(gè)次品的概率；（個(gè)次品的概率；（2 2）任?。┤稳? 3個(gè)全非次品的概個(gè)全非次品的概率。率。 設(shè)設(shè)A=A=任取任取3 3個(gè)恰有個(gè)恰有1 1個(gè)次品個(gè)次品 ，B=B=任取任取3 3個(gè)全個(gè)全非次品非次品 ，則，則1261943200( )0.0855C CP AC 31943200()0.9122CP BC 2021/4/216例例5 5 2 2封信隨機(jī)地向標(biāo)號(hào)為封信隨機(jī)地向標(biāo)號(hào)為1 1、2 2、3 3、4 4的的4 4個(gè)郵個(gè)郵筒投遞，求第筒投遞，求第2 2個(gè)郵筒恰好被投入個(gè)郵筒恰好被投入1 1封信和前兩封信和前兩個(gè)郵筒各有個(gè)郵筒各有1 1封信的概率

13、。封信的概率。設(shè)設(shè)A=A=第第2 2個(gè)郵筒只有個(gè)郵筒只有1 1封信封信 ，B=B=前前2 2個(gè)郵筒各有個(gè)郵筒各有1 1封信封信 則則1123114438()C CP AC C 12114418()CP BC C 1123114438()C CP AC C 2021/4/217例例6 6盒子模型盒子模型把把n個(gè)球隨機(jī)放入個(gè)球隨機(jī)放入N(n5050時(shí)，第二個(gè)事件幾乎是必然事件，這與時(shí)，第二個(gè)事件幾乎是必然事件，這與我們的直觀(guān)想像是不同的。我們的直觀(guān)想像是不同的。例例7 7生日問(wèn)題生日問(wèn)題 個(gè)人的生日各不相同的個(gè)人的生日各不相同的(365)n n 概率是多少？至少有兩個(gè)人生日相同的概率是多少？概率是

14、多少？至少有兩個(gè)人生日相同的概率是多少？分析：該題概率的計(jì)算方法與盒子模型相同分析：該題概率的計(jì)算方法與盒子模型相同. .3651365nnPP 解解：，211.PP2021/4/219 三三 、幾何概型（幾何定義）、幾何概型（幾何定義） 早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的。夠的。 在古典概型中在古典概型中, ,把試驗(yàn)個(gè)數(shù)有限改為無(wú)限，把試驗(yàn)個(gè)數(shù)有限改為無(wú)限，等可能性不變。人們引入了幾何概型。由此形等可能性不變。人們引入了幾何概型。由此形成了確定概率的另一方法成了確定概率的另一方法

15、幾何方法。幾何方法。2021/4/220幾何概型：幾何概型：1 1、樣本空間、樣本空間是平面上某個(gè)區(qū)域，它的面積為是平面上某個(gè)區(qū)域，它的面積為S();();2 2、向區(qū)域、向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，這里上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，這里“隨機(jī)投擲一點(diǎn)隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是指該點(diǎn)落入的含義是指該點(diǎn)落入內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)。和形狀無(wú)關(guān)。3 3、事件、事件A是是的某個(gè)區(qū)域，它的面積為的某個(gè)區(qū)域，它的面積為S( (A),),則向區(qū)域則向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落

16、區(qū)域A內(nèi)的概率是內(nèi)的概率是( )( )()S AP AS 2021/4/221注：如果樣本空間注：如果樣本空間可用一線(xiàn)段，或空間中某個(gè)區(qū)域可用一線(xiàn)段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向表示，并且向上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，則事上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，則事件件A A的概率類(lèi)似可求，只不過(guò)把的概率類(lèi)似可求，只不過(guò)把S理解為長(zhǎng)度或體積理解為長(zhǎng)度或體積. .A( )( )()S AP AS 幾何概型通常以長(zhǎng)度、面積或體積等具體形式表現(xiàn)幾何概型通常以長(zhǎng)度、面積或體積等具體形式表現(xiàn)出來(lái)出來(lái). .與古典概型一樣，樣本點(diǎn)必須具有等可能性與古典概型一樣，樣本點(diǎn)必須具有等可能性. .2021/4/222例例1 1

17、候車(chē)問(wèn)題候車(chē)問(wèn)題某公共汽車(chē)站每天從上午某公共汽車(chē)站每天從上午7 7時(shí)時(shí)起，每隔起，每隔1515分鐘來(lái)一班車(chē)。一乘客在分鐘來(lái)一班車(chē)。一乘客在7 7：00007 7：3030隨機(jī)到達(dá)該站，求該乘客等候時(shí)間不超過(guò)隨機(jī)到達(dá)該站，求該乘客等候時(shí)間不超過(guò)5 5分鐘的概率。分鐘的概率。0 01515303010102525(1510)(3025)300P 13 2021/4/223解：以解：以x、y表示甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻，則表示甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻，則若以若以 x、y 表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，而所有可能表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，而所有可能例例2 2會(huì)面問(wèn)題會(huì)面問(wèn)題甲、乙兩個(gè)相約在甲、乙兩個(gè)相約在0 0到到T T這段

18、時(shí)間內(nèi)在這段時(shí)間內(nèi)在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，先到的人等候另一個(gè)，經(jīng)過(guò)時(shí)間預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，先到的人等候另一個(gè)，經(jīng)過(guò)時(shí)間 t t離離去。設(shè)每人在去。設(shè)每人在0 0到到T T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的，且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不影響。試求甲、乙兩人能的，且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不影響。試求甲、乙兩人能會(huì)面的概率？能會(huì)面的概率？到達(dá)時(shí)刻形成的點(diǎn)可以用平面上邊長(zhǎng)為到達(dá)時(shí)刻形成的點(diǎn)可以用平面上邊長(zhǎng)為T(mén)的的0, 0 xTyT 0, 0.xTyT 正正方方形形內(nèi)內(nèi)所所有有點(diǎn)點(diǎn)表表示示 ( , ) 0, 0.x yxTyT 即即2021/4/224ttoxyTT ( , ) 0, 0.x yxTy

19、T A設(shè)設(shè) 能能會(huì)會(huì)面面A 則則0, 0,( , ).xTyTx yxyt 且且A ( )ASP AS 222()TTtT 21(1) .tT例例2 2會(huì)面問(wèn)題會(huì)面問(wèn)題甲、乙兩個(gè)相約在甲、乙兩個(gè)相約在0 0到到T T這段時(shí)間內(nèi)在這段時(shí)間內(nèi)在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，先到的人等候另一個(gè)，經(jīng)過(guò)時(shí)間預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，先到的人等候另一個(gè)，經(jīng)過(guò)時(shí)間 t t離離去。設(shè)每人在去。設(shè)每人在0 0到到T T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的，且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不影響。試求甲、乙兩人能的，且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不影響。試求甲、乙兩人能會(huì)面的概率？能會(huì)面的概率？2021/4/225第第 3 節(jié)概率的性質(zhì)節(jié)

20、概率的性質(zhì)第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率2021/4/226性質(zhì)性質(zhì)2 2對(duì)任一事件對(duì)任一事件A ，有有注：性質(zhì)注：性質(zhì)2 2在計(jì)算上很有用，如果直接計(jì)算事件在計(jì)算上很有用，如果直接計(jì)算事件A 的的概率不容易，可計(jì)算其對(duì)立事件的概率。概率不容易，可計(jì)算其對(duì)立事件的概率。性質(zhì)性質(zhì)1 1（有限可加性）（有限可加性）12,nA AA若若是是兩兩兩兩互互斥斥事事件件，則則11()()(1)nniiiiPAP A ()1()(2)P AP A 2021/4/227性質(zhì)性質(zhì)3 3,AB 若若則則有有 ()( )( )(3)P BAP BP A 減減法法公公式式： ()() (4)P BP

21、A 單單調(diào)調(diào)性性 ： ()ABA 證證明明：因因?yàn)闉椋?)BABA ()()P BP ABA 所所以以( )()P AP BA(3)()P BA 由由0 0( )( )P BP A(4).注：一般的減法公式為注：一般的減法公式為 ()()()()(5)P BAP BABP BP AB ABA B2021/4/228性質(zhì)性質(zhì)4 4 一般的加法公式一般的加法公式()( )( )()(6)P ABP AP BP AB ()()P ABP ABAB ( )()P AP BAB ( )( )().P AP BAB證明：證明：AB特特別別地地，若若 、 互互斥斥，則則()()() 7P ABP AP B

22、（ ） ()( )( ) 8P ABP AP B 推推論論：（ ）BABAB 2021/4/229性質(zhì)性質(zhì)5 5 多個(gè)事件的加法公式多個(gè)事件的加法公式()()()()P ABCP AP BP C ()()()()(9)P ABP BCP ACP ABC 11()()nniiiiPAP A 1()nijij nP A A 1()nijkij k nP A A A 112( 1)()nnP A AA (10)2021/4/230概率性質(zhì)在計(jì)算中的應(yīng)用概率性質(zhì)在計(jì)算中的應(yīng)用例例1 501 50個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)產(chǎn)品中有4646個(gè)合格品與個(gè)合格品與4 4個(gè)次品，從中一次個(gè)次品，從中一次抽取抽取3 3個(gè)，求其

23、中有次品的概率個(gè)，求其中有次品的概率 設(shè)設(shè)A為為“取到的取到的3 3個(gè)中有次品個(gè)中有次品”，則，則 為為“全是合格全是合格品品”。 A346350( )0.7745CP AC( )1( )P AP A0.2255. 例例2 2 拋一枚硬幣拋一枚硬幣5 5次，求既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面的概率。次，求既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面的概率。 解：設(shè)解：設(shè)A為所求事件，則為所求事件，則 為為“全為正面或全為反面全為正面或全為反面”。A( )P A1( )P A551112215.16 2021/4/231 1(1)(2)(3).8ABABP AB 、 互互斥斥；分析：已知條件中有分析：已知條件中有A、B的概率，且由的概率，且由A、B的關(guān)系的關(guān)系可以確定可以確定P(AB)的值。故考慮利用