1、輔導(dǎo)答疑第一章 微積分的基礎(chǔ)和研究對象1.問：如何理解微積分（大學(xué)數(shù)學(xué)）的發(fā)展歷史？微積分與初等數(shù)學(xué)的主要區(qū)別是什么？答：微積分的基礎(chǔ)是-集合、實(shí)數(shù)和極限，微積分的發(fā)展歷史可追溯到17世紀(jì)，在物理力學(xué)等實(shí)際問題中出現(xiàn)大量的（與面積、體積、極值有關(guān)的）問題，用微積分得到了很好的解決。到19世紀(jì)，經(jīng)過無數(shù)數(shù)學(xué)家的努力，微積分的理論基礎(chǔ)才得以奠定。可以說，經(jīng)過300多年的發(fā)展，微積分課程的基本內(nèi)容已經(jīng)定型，并且已經(jīng)有了為數(shù)眾多的優(yōu)秀教材。但是，人們?nèi)匀桓械轿⒎e分的教與學(xué)都不是一件容易的事，這與微積分學(xué)科本身的歷史進(jìn)程有關(guān)。微積分這座大廈是從上往下施工建造起來的。微積分從誕生之初就顯示了強(qiáng)大的威力，解

2、決了許多過去認(rèn)為高不可攀的困難問題，取得了輝煌的勝利，創(chuàng)始微積分?jǐn)?shù)學(xué)的大師們著眼于發(fā)展強(qiáng)有力的方法，解決各式各樣的問題，他們沒來得及為這門學(xué)科建立起嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。在以后的發(fā)展中，后繼者才對邏輯細(xì)節(jié)作了逐一的修補(bǔ)。重建基礎(chǔ)的細(xì)致工作當(dāng)然是非常重要的，但也給后世的學(xué)習(xí)者帶來了不利的影響，今日的初學(xué)者在很長一段時(shí)間內(nèi)只見樹木不見森林。微積分重用極限的思想，重用連續(xù)的概念，主要是在研究函數(shù)，屬于變量數(shù)學(xué)的范疇。而初等數(shù)學(xué)研究不變的數(shù)和形，屬于常量數(shù)學(xué)的范疇。2問：大學(xué)數(shù)學(xué)中研究的函數(shù)與初等數(shù)學(xué)研究的函數(shù)有何不同之處？答：在自然科學(xué)，工程技術(shù)甚至社會科學(xué)中，函數(shù)是被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念之一，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超

3、過了數(shù)學(xué)范圍，在數(shù)學(xué)中函數(shù)處于基礎(chǔ)核心地位。函數(shù)不僅是貫穿中學(xué)代數(shù)的一條主線，它也是大學(xué)數(shù)學(xué)這門課程的研究對象。大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，將在原有初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，對函數(shù)的概念、性質(zhì)進(jìn)行重點(diǎn)復(fù)習(xí)和深入的討論，并采用極限為工具研究函數(shù)的各種分析性質(zhì)，進(jìn)而應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)去解決實(shí)際問題。第二章 微積分的直接基礎(chǔ)-極限1問：阿基里斯追趕烏龜?shù)你Ｕ摰降兹绾谓鉀Q的？答：阿基里斯追趕烏龜?shù)你Ｕ撌且粋€(gè)很有趣的悖論。如果芝諾的結(jié)論是正確的，則追趕者無論跑得多么快也追不上在前面跑的人，這顯然與我們在生活中經(jīng)常見到的現(xiàn)象相違背。 芝諾的說法中有合理的成分：阿基里斯追趕烏龜?shù)倪^程確實(shí)是一個(gè)無窮的過程-一個(gè)無窮的位置變

4、化過程。芝諾的說法中的錯(cuò)誤在于：他把阿基里斯追趕烏龜?shù)臒o窮的位置變化過程與無窮的時(shí)間變化過程混為一談了。 芝諾的結(jié)論"阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜"中的"永遠(yuǎn)"一詞，指的當(dāng)然是"時(shí)間"。條件中談的是"位置"的變化，結(jié)論卻談"時(shí)間"，這是芝諾悖論偷梁換柱之所在。事實(shí)上，阿基里斯追趕烏龜?shù)你Ｕ摰慕鉀Q借助于高等數(shù)學(xué)的一部分重要內(nèi)容-無窮級數(shù)，在那里，我們將會看到，盡管是無窮多個(gè)數(shù)相加，卻可以等于一個(gè)有限的數(shù)。雖然芝諾將追趕時(shí)間一段一段敘述，造成無窮多個(gè)時(shí)間的迷惑，實(shí)際上，這無窮多個(gè)時(shí)間的和是個(gè)有

5、限的數(shù)。從而，阿基里斯在有限的時(shí)間內(nèi)就可以追趕上烏龜了，這與我們的生活常識一致。2問：極限的定性描述和定量描述有何不同之處？答：極限的定性描述是用所謂的描述性語言，例如，“無限趨近”“越來越靠近”這些都只是一種模糊的描述，一種直觀的想象，缺乏精確性；為避免直觀想象可能帶來的錯(cuò)誤判斷，作為微積分工具的極限概念，必須有定量描述的精確定義。在R.克朗的名著數(shù)學(xué)是什么一書中，數(shù)學(xué)大師也提到：定量描述極限的語言接受起來有一定的心理上的困難，但是文科學(xué)生要通過這種定量定義，理解、領(lǐng)悟、欣賞數(shù)學(xué)語言區(qū)別于自然語言的簡潔、一義、科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆矫妗?3問：如何理解連續(xù)的概念？連續(xù)函數(shù)有什么應(yīng)用？答：自然界中連續(xù)

6、變化的現(xiàn)象是很多的，例如，我們身邊的容易理解例子：空氣的流動，植物的生長，溫度的變化，這種種現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)的函數(shù)關(guān)系上，就是函數(shù)的連續(xù)性。實(shí)際遇到的情形是：當(dāng)自變量的改變非常小時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值改變也非常小。例如，氣溫作為時(shí)間的函數(shù)，就有這種性質(zhì)。一天之中的溫差可能很大，但考慮時(shí)間間隔很短的瞬間，溫度的改變將是很微小的。連續(xù)函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中著重要討論的一類重要函數(shù)。一方面，連續(xù)函數(shù)是人們在科學(xué)實(shí)驗(yàn)，生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常碰到的一類函數(shù)（例如，初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)均為連續(xù)的）；另一方面，在數(shù)學(xué)上，人們經(jīng)常用連續(xù)函數(shù)去逼近非連續(xù)函數(shù)，進(jìn)而研究非連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和近似計(jì)算函數(shù)值。第三章 變量變化速度與局部

7、改變量估值問題-導(dǎo)數(shù)與微分 1.問：導(dǎo)數(shù)是如何引進(jìn)的？舉例說明導(dǎo)數(shù)的實(shí)際運(yùn)用。答：在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常需要研究函數(shù)相對于自變量變化的快慢程度。例如，要預(yù)報(bào)人造地球衛(wèi)星飛過各大城市的時(shí)間，就要知道衛(wèi)星的飛行速度，要研究軸和梁的彎曲變形問題，就必須會求曲線的切線的斜率，等等。求曲線的切線斜率、求速度的問題，叫做求變化率的問題，數(shù)學(xué)上稱為求導(dǎo)數(shù)。例如，我們可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念，證明旋轉(zhuǎn)拋物面的光學(xué)性質(zhì)。（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面就是旋轉(zhuǎn)拋物面。放在焦點(diǎn)處的光源所發(fā)出的光，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)拋物面各點(diǎn)反射之后就形成平行光束，人們利用這一性質(zhì)制造需要發(fā)射平行光的燈具，例如，探照燈、汽車前燈等）。2

8、.問：如何理解微分的概念？答：可以從多個(gè)角度和方面來理解和加深對微分的認(rèn)識。1）從幾何角度考，微分正好是切線函數(shù)的增量；2）從代數(shù)角度看，微分是增量的線性主要部分，二者之差是一個(gè)高階無窮小量；3）有了微分的概念以后，可以把導(dǎo)數(shù)的記號解釋為與之商：，故導(dǎo)數(shù)也稱為微商；4）可以利用微分做近似計(jì)算和誤差估計(jì)（），但精度受限。第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題-洛必達(dá)法則、函數(shù)的性質(zhì)和圖像1.問：微分學(xué)的中值定理的作用？如何運(yùn)用中值定理解決問題答：微分中值定理是由函數(shù)的局部性質(zhì)來研究函數(shù)的整體性質(zhì)的橋梁，其應(yīng)用十分廣泛。在具體處理問題時(shí)，注意首先確定函數(shù)以及討論的區(qū)間，判斷函數(shù)在所討論的區(qū)間上是否滿足中值定理的條

9、件。人們常用中值定理證明某些不等式或者涉及函數(shù)和它的一階導(dǎo)數(shù)的問題。補(bǔ)充一點(diǎn)：中值定理有三種常用的形式：Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，這三種形式一個(gè)比一個(gè)適用范圍要廣。但最常用的還是Lagrange中值定理，故人們一般提到微分中值定理時(shí)均指Lagrange中值定理。2.問：應(yīng)用計(jì)算不定式極限的一般方法-洛必達(dá)法則時(shí)，有什么注意事項(xiàng)？答：1）洛必達(dá)法則可以處理7種函數(shù)不定式極限，十分好用；但是在極限不存在的情況下，洛必達(dá)法則失效；故，不能從極限不存在推出極限不存在；2）盡管洛必達(dá)法則只針對未定式是函數(shù)的極限形式，但對于未定式是數(shù)列的極限形式，可以通過歸結(jié)原則

10、將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，再利用洛必達(dá)法則。（注意：沒有數(shù)列極限的洛必達(dá)法則）3. 問：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像和進(jìn)行函數(shù)圖像的繪制與初等數(shù)學(xué)中的描點(diǎn)作圖的區(qū)別是什么？答：中學(xué)代數(shù)應(yīng)用描點(diǎn)法繪制了一些簡單函數(shù)的圖像。但是應(yīng)用描點(diǎn)法得到的函數(shù)是比較粗糙的，這是因?yàn)?，描點(diǎn)法所選取的點(diǎn)不可能很多，而一些關(guān)鍵的點(diǎn)，如極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等可能被漏掉；曲線的單調(diào)性、描述其彎曲性質(zhì)的凸性等一些重要性態(tài)常常得不到確切的反映。因此，用描點(diǎn)法所描繪的函數(shù)圖象常與真實(shí)的函數(shù)圖象相差很多?，F(xiàn)在，有了微積分這個(gè)工具，我們已經(jīng)掌握了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性、極值、凸性、拐點(diǎn)、漸近線等的方法，再結(jié)合前面所講的周期性、奇偶性等知識就能

11、比較準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖像。注意，利用微積分的方法作圖，也具有一定的局限性，更何況許多實(shí)際問題所得到的函數(shù)不一定可以用公式表示的，而只是測得一系列數(shù)據(jù)，因而數(shù)值計(jì)算適當(dāng)?shù)囟嗨愠鲆恍c(diǎn)，然后描點(diǎn)作圖，仍不失為一種有效的作圖方法。隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用的普及，用描點(diǎn)作圖就更方便、更精確了。第五章 微積分的逆運(yùn)算問題-不定積分1.問：不定積分與原函數(shù)是同一個(gè)概念嗎？答：不是同一個(gè)概念。前者是一個(gè)集合，是所有原函數(shù)構(gòu)成的集合，后者是集合中的一個(gè)元素。2問：不定積分運(yùn)算與微分運(yùn)算（求導(dǎo)運(yùn)算）有何關(guān)系？答：由不定積分的定義，有如下關(guān)系式： 或 或 由此可見，微分運(yùn)算 (記號為) 與不定積分運(yùn)算 (記號為

12、)是互逆的。當(dāng)記號合在一起時(shí)，或者抵消，或者抵消后差一個(gè)常數(shù)。3.問：第一類換元積分法與第二類換元積分法有何不同？答：第一類換元積分法：若連續(xù)可導(dǎo), 則。第二類換元積分法：設(shè)是單調(diào)的可微函數(shù),并且又具有原函數(shù). 則有換元公式不同在于：前者是作變量代換，后者是作變量代換。在求不定積分時(shí)，先考慮用第一換元積分法，即湊微分法，如果用此法失效，再考慮用第二換元積分法。4.問：在分部積分法如何選取？答：在分部積分公式中，一般來說，選取的原則就是：使得比簡單，具體說有2個(gè)原則：（1）積分容易者選為；（2）求導(dǎo)簡單者選為，在二者不可兼得的情況下，首先要保證的是前者。在分部積分法中常用湊微分的形式將湊成，因此

13、應(yīng)熟記常見的湊微分形式。5.問：是不是所有的初等函數(shù)都可以求出其不定積分？答：不是。如都“積不出來”，它們都不能用初等函數(shù)表示。第六章 求總量的問題-定積分1.問：定積分與不定積分有何區(qū)別？答：定積分和不定積分有很大的不同，不定積分表示函數(shù)的所有原函數(shù)構(gòu)成的集合，而是一個(gè)常數(shù)。并且定積分有明顯的幾何意義。但在計(jì)算方法上二者是相通的，各種求不定積分的方法都適用于定積分，結(jié)合牛頓-萊布尼茲公式便可以求得定積分。2.問：積分中值定理與微分中值定理有何區(qū)別？答：積分中值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使下式成立:。積分中值定理中的在整個(gè)閉區(qū)間上取值，且結(jié)論中含有的是函數(shù)在處的

14、函數(shù)值，而不是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。而微分中值定理中的在開區(qū)間內(nèi)取值，且結(jié)論中含有的是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。第七章 偶然中蘊(yùn)含必然的問題-概率統(tǒng)計(jì)初步1問：隨機(jī)現(xiàn)象有規(guī)律性嗎？答： 有。 例如：在相同條件下，多次重復(fù)地拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的次數(shù)大致占總拋擲次數(shù)的一半，再如：從嬰兒出生的調(diào)查來看，男、女嬰孩的可能性各占一半。這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在大量試驗(yàn)中才顯示出來，不是個(gè)別試驗(yàn)或某個(gè)對象顯示的特性。 2.問： "頻率"與"概率"之間有何關(guān)系？ 答：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，即穩(wěn)定在某一常數(shù)附近，而偏離的

15、可能性很小。為了說明這種規(guī)律，我們把這個(gè)常數(shù)稱為這個(gè)隨機(jī)事件的概率，即頻率的穩(wěn)定值就是時(shí)間的概率。它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，而頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可近似地作為這個(gè)事件的概率。例如，一根棒在一定條件下具有"長度"這一特性，而我們通常用某次測量的結(jié)果作為其長度。 3.問："互斥"與"等可能"的區(qū)別是什么？ 答："互斥事件"和"等可能事件"是迥然不同的兩個(gè)概念。在一次試驗(yàn)中，由于某種對稱性條件使得若干個(gè)隨機(jī)事件中每一事件發(fā)生的可能性是完全相同的，則稱這些事件為等可能事件。在數(shù)目

16、上它可為2個(gè)或多個(gè)。而互斥事件僅指不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件。例如：擲一個(gè)均勻骰子，"出現(xiàn)1或2"與"出現(xiàn)2或3"這兩個(gè)事件是等可能的，但它們不是互斥事件。4.問："事件互斥"和"事件對立"的關(guān)系如何？答：互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對立事件是其中必有一個(gè)發(fā)生的事件。因此，對立事件必須是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說,"互斥"是"對立"的必要但不充分的條件。例如：擲一個(gè)均勻骰子，"出現(xiàn)1點(diǎn)"和"出現(xiàn)2點(diǎn)"是互斥的

17、，但不是對立的，因?yàn)橛锌赡?點(diǎn)和2點(diǎn)都不出現(xiàn)。又如：擲一個(gè)硬幣，"出現(xiàn)正面"和"出現(xiàn)反面"是對立的。 5.問：如何理解“兩個(gè)事件相互獨(dú)立”這一概念，如何判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立？答：在實(shí)際生活中，我們常常注意到事件之間的聯(lián)系。例如：“昨天晚上沒休息好”和“今天考試成績差”是有聯(lián)系的。雖然沒休息好不一定導(dǎo)致成績不好，但增大了成績不好的可能性?！皟蓚€(gè)事件互不影響”抽象為數(shù)學(xué)模型，就得到“獨(dú)立事件”的數(shù)學(xué)概念，但我們還要注意兩者之間的差別。前一句話，是日常生活用語，是不準(zhǔn)確的，如果用它來代替“獨(dú)立事件”的概念，就會產(chǎn)生錯(cuò)誤。例如：“廣州下雨”和“北京在同一天下

18、雨”這兩個(gè)事件，看來是互不相關(guān)的，但是它們并不是互相獨(dú)立的事件。又如擲一個(gè)均勻的骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”和“出現(xiàn)1或2”這兩個(gè)事件是互相獨(dú)立的，但如果骰子不是均勻的，那么這兩個(gè)事件就不一定互相獨(dú)立的。所以，判定兩個(gè)事件A,B是否相互獨(dú)立，一般要按定義，即根據(jù)條件是否成立來決定。在實(shí)際問題中，判斷兩個(gè)事件的獨(dú)立性常?？蓱{經(jīng)驗(yàn)，只要一個(gè)事件發(fā)生與否不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率，或者兩個(gè)事件之間沒有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很微弱，就可以認(rèn)為這兩個(gè)事件相互獨(dú)立。6.問： 如何求“至少.”或“至多.” 等事件發(fā)生的概率？答： 求某個(gè)事件的概率時(shí)，常遇到求“至少.”或“至多.” 等事件概率的問題。若從正面考察這些事件，它們往往是諸多事件的和或積，求解時(shí)很繁瑣。但“至少.”、“至多.”這些事件的對立事件卻又比較簡單，且其概率也很容易求出。此時(shí)，采用先求其對立事件的概率，然后再求原來事件的概率。7.問： 如何正確看待"小概率事件"？ 答："小概率事件"通常指發(fā)生的概率小于5%的事件。對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，平均每試驗(yàn)20次才發(fā)生1次，所以認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎