1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案 數(shù)值分析 教研室 課程名稱高等數(shù)學(xué)研究授課對象授課題目第九講定積分的證明題與應(yīng)用課時(shí)數(shù)2教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握有關(guān)定積分的存在性問題與不等式的證明方法，掌握微元法、面積、體積及弧長的計(jì)算。重點(diǎn)難點(diǎn)1不定積分有關(guān)的的存在性問題的證明；2不定積分有關(guān)的的不等式的證明；3面積、體積、弧長的計(jì)算。教學(xué)提綱第九講定積分的證明題與應(yīng)用一、定積分的性質(zhì)二、定積分證明題（）存在性證明（）積分表示的不等式的證明三、定積分應(yīng)用1微元法2面積（1）直角坐標(biāo)情形（2）極坐標(biāo)情形3體積4弧長1）y=f(x)在區(qū)間a,b上可導(dǎo)，且連續(xù)，則在a,b上的曲線可求長，且弧長，是弧長公式。 2）

2、參數(shù)方程 （）在上連續(xù)，則教學(xué)過程與內(nèi)容教學(xué)后記第九講定積分的證明題與應(yīng)用一、定積分的性質(zhì)（）當(dāng)時(shí)，.（）線性性：（）區(qū)間可加性：（）不等性：上，則.（）積分中值定理：如果函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使.當(dāng)時(shí)二、定積分證明題1.存在性證明例1:在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，又，證明存在，使得。【分析】凡是微分中值定理中又涉及積分中值定理的，應(yīng)首先應(yīng)用積分中值定理獲取一些特定點(diǎn)的函數(shù)值信息，再用微分中值定理證明。【證明】在上連續(xù)，在上使用積分中值定理得，存在，即 ，在上使用羅爾中值定理知存在，使得。例:在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，又，證明存在，使得?！痉治觥肯扔梅e分中值定理

3、知存在，三次使用羅爾定理得證。【證明】略例:在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，證明存在，使得。例:在上連續(xù)，在，證明存在不同的點(diǎn)，使得。【證】令，存在使得，,兩次使用中值定理得證。2. 積分表示的不等式的證明例:比較大小【證明】在上，例: 設(shè)f(x),g(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,.證明：對任何a,有證：，則F(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且，由于時(shí)，因此，即F(x)在0，1上單調(diào)遞減.注意到，而 =，故F(1)=0.因此時(shí)，由此可得對任何，有例7:設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，xÎ a , b)，.證明：.【證明】令F(x) = f (x) -g(x)

4、，由題設(shè)G(x) ³ 0，xÎ a , b，G(a) = G(b) = 0，.從而 ，由于 G(x) ³ 0，xÎ a , b，故有，即 .因此 .例:設(shè)f (x) 在上連續(xù)，且單調(diào)減小，證明，當(dāng)時(shí)，【證明】令.三、定積分應(yīng)用1微元法許多可以化為求在區(qū)間a , b上的定積分的實(shí)際問題，都可以用這種方法處理，這個(gè)方法稱為：元素法。其步驟如下：2面積（1）直角坐標(biāo)情形設(shè)圖形由，（a<b）圍成，且， 則所圍成的面積A：例：計(jì)算由曲線?！窘狻?所以：S =（2）極坐標(biāo)情形設(shè)圖形由圍成的曲邊扇形，任取上的小曲邊扇形，則：例：計(jì)算心形線(常數(shù)a)所圍成圖形的面積：【解】該心形線所圍成圖形為心狀，根據(jù)求曲邊扇形的面積公式：再根據(jù)圖形的對稱性知，所得面積：。3體積（1）平行截面已知的立方體體積:.（2）旋轉(zhuǎn)體的體積:對曲線, , .例10：過點(diǎn)作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。【解】設(shè)切點(diǎn)為切線方程Q切點(diǎn)在切線上，切線方程：。4弧長(1)y=f(x)在區(qū)間a,b上可導(dǎo)，且連續(xù)，則在a,b上的曲線可求長，且弧長