1、2.5等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和 傳說(shuō)在很久以前，古印度舍罕王在宮廷單調(diào)的生活傳說(shuō)在很久以前，古印度舍罕王在宮廷單調(diào)的生活苦惱中，發(fā)現(xiàn)了也就是現(xiàn)今的國(guó)際象棋如此的有趣和奧妙苦惱中，發(fā)現(xiàn)了也就是現(xiàn)今的國(guó)際象棋如此的有趣和奧妙之后，決定要重賞發(fā)明人之后，決定要重賞發(fā)明人他的宰相西薩他的宰相西薩班班達(dá)依爾，達(dá)依爾，讓他隨意選擇獎(jiǎng)品，宰相要求的賞賜是：在棋盤(pán)的第一格讓他隨意選擇獎(jiǎng)品，宰相要求的賞賜是：在棋盤(pán)的第一格內(nèi)賞他一粒麥子，第二格內(nèi)賞他兩粒麥子，第三格四粒麥內(nèi)賞他一粒麥子，第二格內(nèi)賞他兩粒麥子，第三格四粒麥子子以此類(lèi)推，每一格上的麥子數(shù)都是前一格的兩倍，以此類(lèi)推，每一格上的麥子數(shù)都是前一格的

2、兩倍，國(guó)王一聽(tīng)，幾粒麥子，加起來(lái)也不過(guò)一小袋，他就答應(yīng)了國(guó)王一聽(tīng)，幾粒麥子，加起來(lái)也不過(guò)一小袋，他就答應(yīng)了宰相的要求。實(shí)際國(guó)王能滿(mǎn)足宰相的要求嗎？宰相的要求。實(shí)際國(guó)王能滿(mǎn)足宰相的要求嗎？).( 12284216463粒=18446744073709551615（粒）（粒） 已知麥子每千粒約為已知麥子每千粒約為40克，則折合約為克，則折合約為737869762948382064克克7378.7億噸億噸經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們得到麥粒總數(shù)是經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們得到麥粒總數(shù)是 甲、乙二人約定在一個(gè)月（按甲、乙二人約定在一個(gè)月（按30天）內(nèi)甲天）內(nèi)甲每天給乙每天給乙100元錢(qián)，而乙則第一天給甲返還一元錢(qián)，而乙則第一天

3、給甲返還一分，第二天給甲返還二分，即后一天返還的錢(qián)分，第二天給甲返還二分，即后一天返還的錢(qián)是前一天的二倍。問(wèn)誰(shuí)贏誰(shuí)虧？是前一天的二倍。問(wèn)誰(shuí)贏誰(shuí)虧？ 再看另一個(gè)問(wèn)題：再看另一個(gè)問(wèn)題：分析：數(shù)學(xué)建模分析：數(shù)學(xué)建模 an：100 ，100 ，100100 q=1 bn： 1 ， 2 ， 22 229 q=2S30 =100+100+100 T30 =1+2+22 + +229 這是一個(gè)比較大小的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是這是一個(gè)比較大小的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是求等求等比數(shù)列前比數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和的問(wèn)題。的問(wèn)題。在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中中當(dāng)當(dāng)q=1時(shí)時(shí) ，Sn=a1+a2+a3+an1+an= na1當(dāng)當(dāng)q1時(shí)，時(shí)，Sn

4、=a1+a2+a3+an1+an =？ S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q =a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2 =a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3 =a1(1+q+q2+q3)12313(1 )(1)(1)11aqqqaqSqq1212(1)(1)(1)11aqqaqSqq觀察：觀察：1(1).(1)1nnaqSqq Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn 得：得： Sn (1q)=a1a1qn

5、當(dāng)當(dāng)q1時(shí)，時(shí)，1(1).1nnaqSq等比數(shù)列等比數(shù)列an前前n項(xiàng)和項(xiàng)和 11 1(1)11nnnaqSaqqq11 1(1)11nnnaqSaqqq二者不能兼容，體現(xiàn)分類(lèi)討論的必要性。二者不能兼容，體現(xiàn)分類(lèi)討論的必要性。數(shù)學(xué)游戲問(wèn)題答案：數(shù)學(xué)游戲問(wèn)題答案： 2301 (分分)10737418. 23 (元元) 遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于3000元元1、注意、注意q=1與與q1兩種情形兩種情形2、q1時(shí)，時(shí)，qqaaqqaSnnn11)1 (113、五個(gè)量、五個(gè)量n、a1、q、an、Sn中，解決中，解決“知三知三求二求二”問(wèn)題。問(wèn)題。 11 1(1)11nnnaqSaqqq例例1“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世

6、不竭一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，怎樣用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)說(shuō)明它？怎樣用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)說(shuō)明它？解：這句古語(yǔ)用現(xiàn)代文敘述是：解：這句古語(yǔ)用現(xiàn)代文敘述是：一尺長(zhǎng)的木棒，每天取它的一半，永遠(yuǎn)也取不完。一尺長(zhǎng)的木棒，每天取它的一半，永遠(yuǎn)也取不完。 如果每天取出的木棒的長(zhǎng)度排成一個(gè)數(shù)列，如果每天取出的木棒的長(zhǎng)度排成一個(gè)數(shù)列，則得到一個(gè)首項(xiàng)為則得到一個(gè)首項(xiàng)為a1= ，公比，公比q= 的等比的等比數(shù)列，數(shù)列，2121它的前它的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 1111221 ( )1212nnnS 不論不論n取何值，取何值， 11 ( )2n總小于總小于1， 這說(shuō)明一尺長(zhǎng)的木棒，每天取它的一半，這說(shuō)明一尺長(zhǎng)的木棒，每天取它的一半

7、，永遠(yuǎn)也取不完。永遠(yuǎn)也取不完。例例2等比數(shù)列等比數(shù)列an的公比的公比q= ，a8=1，求它，求它的前的前8項(xiàng)和項(xiàng)和S8。21解解1：因?yàn)椋阂驗(yàn)閍8=a1q7，所以，所以 78172aaq因此因此 818(1)1aqSq78812 1 ( ) 221255112 解解2：把原數(shù)列的第：把原數(shù)列的第8項(xiàng)當(dāng)作第一項(xiàng)，第項(xiàng)當(dāng)作第一項(xiàng)，第1項(xiàng)項(xiàng)當(dāng)作第當(dāng)作第8項(xiàng)，項(xiàng)， 即順序顛倒，也得到一個(gè)等比數(shù)列即順序顛倒，也得到一個(gè)等比數(shù)列bn，其中其中b1=a8=1，q=2，所以前，所以前8項(xiàng)和項(xiàng)和 8818(1 )1 225511 2bqSq例例3求和求和 999999999999n 個(gè)個(gè)分析：數(shù)列分析：數(shù)列9，

8、99，999，不是等比數(shù)，不是等比數(shù)列，不能直接用公式求和，列，不能直接用公式求和， 但將它轉(zhuǎn)化為但將它轉(zhuǎn)化為 101，1001，10001， 就可以解決了。就可以解決了。解：解：原式原式=(101)+(1001)+(10001)+(10n1) =(10+100+1000+10n)n10(101)10 1nn10(101)9nn例例4某工廠去年某工廠去年1月份的產(chǎn)值為月份的產(chǎn)值為a元，月平均增元，月平均增長(zhǎng)率為長(zhǎng)率為p(p0)，求這個(gè)工廠去年全年產(chǎn)值的總和。，求這個(gè)工廠去年全年產(chǎn)值的總和。解：該工廠去年解：該工廠去年2月份的產(chǎn)值為月份的產(chǎn)值為a(1+p)元，元， 3月，月，4月，月，的產(chǎn)值分別

9、為，的產(chǎn)值分別為a(1+p)2元，元，a(1+p)3元，元， 所以所以12個(gè)月的產(chǎn)值組成一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)個(gè)月的產(chǎn)值組成一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為為a，公比為，公比為1+p，12121 (1) 1 (1)apSp12(1)1app答：該工廠去年全年的總產(chǎn)值為答：該工廠去年全年的總產(chǎn)值為 元。元。 12(1)1app練習(xí)：練習(xí)：1.在正項(xiàng)等比數(shù)列在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，若中，若S2=7, S6=91, 則則S4的值為（的值為（ ）（A）28 （B）32 （C）35 （D）49A2一個(gè)等比數(shù)列共有一個(gè)等比數(shù)列共有3n項(xiàng)，其前項(xiàng)，其前n項(xiàng)之積為項(xiàng)之積為A，次，次n項(xiàng)之積為項(xiàng)之積為B，末，末n項(xiàng)之積為項(xiàng)之積為C，則一定，則一定有（有（ ） （A）A+B=C （B）A+C=2B （C）AB=C （D）AC=B2D3在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，中，Sn=k( )n，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)k的值為（的值為（ ） （A） （B）1 （C） （D）任意實(shí)數(shù)）任意實(shí)數(shù)212143B4在由正數(shù)組成的等比數(shù)列在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中，若中，若a4a5a6=3, log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值為的值為