1、.wd考點梳理1條件概率及其性質(zhì)(1)對于任何兩個事件A和B，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為P(B|A).在古典概型中，假設(shè)用n(A)表示事件A中根本領(lǐng)件的個數(shù)，那么P(B|A).(2)條件概率具有的性質(zhì)：0P(B|A)1； 如果B和C是兩互斥事件，那么P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2相互獨立事件(1)對于事件A、B，假設(shè)A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，那么稱A、B是相互獨立事件(2)假設(shè)A與B相互獨立，那么P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)·P(A)P(A)·P(B)(3)假設(shè)A與B相互獨立，那么A與，

2、與B，與也都相互獨立(4)假設(shè)P(AB)P(A)P(B)，那么A與B相互獨立3獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗獨立重復(fù)試驗是指在一樣條件下可重復(fù)進(jìn)展的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的(2)二項分布在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為k，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率考點自測1甲、乙兩隊進(jìn)展排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要

3、再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍假設(shè)兩隊勝每局的概率一樣，那么甲隊獲得冠軍的概率為()A.B.C.D.解析問題等價為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1；第二類，需比賽2局，第一局甲負(fù)，第二局甲贏，其概率P2×.故甲隊獲得冠軍的概率為P1P2.答案A2小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是()A.B.C.D.解析所求概率PC·1·31.答案A3如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)，當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8，那

4、么系統(tǒng)正常工作的概率為()A0.960 B0.864 C0.720 D0.576解析P0.9×1(10.8)20.864.答案B4如果XB，那么使P(Xk)取最大值的k值為()A3 B4 C5 D3或4解析采取特殊值法P(X3)C312，P(X4)C4·11，P(X5)C510，從而易知P(X3)P(X4)>P(X5)答案D5把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面為事件A，“第二次出現(xiàn)正面為事件B，那么P(B|A)等于()A.B.C.D.解析法一P(B|A).法二A包括的根本領(lǐng)件為正，正，正，反，AB包括的根本領(lǐng)件為正，正，因此P(B|A).答案A考向一條件概率【例

5、1】從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)，那么P(B|A)等于()A.B.C.D.解析P(A)，P(AB).由條件概率計算公式，得P(B|A).答案B【訓(xùn)練1】如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影局部)內(nèi)，那么(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.解析圓的面積是，正方形的面積是2，扇形的面積是，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得P(A)，根據(jù)條件概率的公式得P(B|A).答案考向二獨立事件的概率【例2】根據(jù)以往統(tǒng)計資

6、料，某地車主購置甲種保險的概率為0.5，購置乙種保險但不購置甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購置保險相互獨立(1)求該地1位車主至少購置甲、乙兩種保險中的一種的概率；(2)求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購置的概率解(1)設(shè)“購置甲種保險事件為A，“購置乙種保險事件為B由條件P(A)0.5，P(B)0.3，P(B)P()0.3，P(B)0.6，因此，1位車主至少購置甲、乙兩種保險中的一種的概率為1P()1P()P()1(10.5)(10.6)0.8.(2)一位車主兩種保險都不購置的概率為PP()0.2，因此3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購置的概率為C×0.2

7、×0.820.384.【訓(xùn)練2】紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員A、B、C進(jìn)展圍棋比賽，甲對A、乙對B，丙對C各一盤甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；(2)用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E()解(1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，那么，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件因為P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由對立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四個事件兩兩

8、互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.6×0.5×0.50.6×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.55.(2)由題意知可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知F，E，D是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此P(0)P()0.4×0.5×0.50.1，P(1)P(F)P(E)P(D)0.4×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5

9、15;0.50.35，P(3)P(DEF)0.6×0.5×0.50.15.由對立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列為：0123P0.10.350.40.15因此E()0×0.11×0.352×0.43×0.151.6.考向三獨立重復(fù)試驗與二項分布【例3】一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y的分布列；(3)求這名學(xué)生在途

10、中至少遇到一次紅燈的概率解(1)將通過每個交通崗看做一次試驗，那么遇到紅燈的概率為，且每次試驗結(jié)果是相互獨立的，故XB.所以X的分布列為P(Xk)Ck·6k，k0,1,2,3,4,5,6.(2)由于Y表示這名學(xué)生在首次停車時經(jīng)過的路口數(shù)，顯然Y是隨機變量，其取值為0,1,2,3,4,5,6.其中：Yk(k0,1,2,3,4,5)表示前k個路口沒有遇上紅燈，但在第k1個路口遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨立事件同時發(fā)生計算P(Yk)k·(k0,1,2,3,4,5)，而Y6表示一路沒有遇上紅燈故其概率為P(Y6)6，因此Y的分布列為：Y0123P··2·3

11、Y456P·4·56(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為X1X1或X2或或X6，所以其概率為P(X1)(Xk)1P(X0)16.【訓(xùn)練3】 某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓(xùn)，以提高低崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，參加過財會培訓(xùn)的有60%，參加過計算機培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個人對培訓(xùn)工程的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響(1)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；(2)任選3名下崗人員，記X為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求X的分布列解(1)任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓(xùn)為事件A，“該人參

12、加過計算機培訓(xùn)為事件B，由題設(shè)知，事件A與B相互獨立，且P(A)0.6，P(B)0.75.所以，該下崗人員沒有參加過培訓(xùn)的概率是P()P()·P()(10.6)(10.75)0.1.該人參加過培訓(xùn)的概率為10.10.9.(2)因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)X服從二項分布XB(3,0.9)，P(Xk)C0.9k×0.13k，k0,1,2,3，X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729課堂練習(xí)一、選擇題1兩個實習(xí)生每人加工一個零件加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，那么這兩個零件中恰有一個一等品的概率為(

13、)A. B. C. D.解析記兩個零件中恰好有一個一等品的事件為A，那么P(A)P(A1)P(A2)××.答案B2甲、乙兩人同時報考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，那么其中至少有一人被錄取的概率為()A0.12 B0.42 C0.46 D0.88解析由題意知，甲、乙都不被錄取的概率為(10.6)(10.7)0.12.至少有一人被錄取的概率為10.120.88.答案D3在4次獨立重復(fù)試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，那么事件A在一次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是()A0.4,1 B(0,0.4C

14、(0,0.6 D0.6,1解析設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，那么Cp(1p)3Cp2(1p)2，解得p0.4，應(yīng)選A.答案A4一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王疑心大臣作弊，他用兩種方法來檢測方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別記為p1和p2.那么()Ap1p2 Bp1<p2Cp1>p2 D以上三種情況都有可能解析p111011015，p21515那么p1<p2.答案B5位于坐標(biāo)原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)那么移動：質(zhì)點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都

15、是.質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)的概率是()A.5BC5CC3DCC5解析由于質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，移動五次后位于點(2,3)，所以質(zhì)點P必須向右移動兩次，向上移動三次，故其概率為C3·2C5C5，應(yīng)選B.答案B6袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，那么在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是()A.B.C.D.解析在第一次取到白球的條件下，在第二次取球時，袋中有2個白球和2個黑球共4個球，所以取到白球的概率P，應(yīng)選C.答案C7一個電路如下圖，A、B、C、D、E、F為6個開關(guān)，其閉合的概率都是，且是相互獨立的，那么燈

16、亮的概率是()A. B.C. D.解析設(shè)A與B中至少有一個不閉合的事件為T，E與F至少有一個不閉合的事件為R，那么P(T)P(R)1×，所以燈亮的概率P1P(T)P(R)P()P().答案B二、填空題8某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率一樣，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，那么該隊員每次罰球的命中率為_解析由題意得該籃球運發(fā)動兩次罰球都命中的概率為1，該隊員每次罰球的命中率為.答案9有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，那么這粒種子能成長為幼苗的概率為_解析設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件B(發(fā)芽，又成活為幼苗)出芽后的幼苗成

17、活率為：P(B|A)0.8，P(A)0.9.根據(jù)條件概率公式P(AB)P(B|A)·P(A)0.9×0.80.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.答案0.7210明天上午李明要參加奧運志愿者活動，為了準(zhǔn)時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時響的概率為0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時響的概率是0.90，那么兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響的概率是_解析設(shè)A“兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響P(A)1P()1(10.80)(10.90)10.2×0.10.98.答案0.9811將一枚硬幣拋擲6次，那么正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為_解析由題意知，正面可以出現(xiàn)6次，5

18、次，4次，所求概率PC6C6C6.答案12某次知識競賽規(guī)那么如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手假設(shè)能連續(xù)正確答復(fù)出兩個問題，即停頓答題，晉級下一輪假設(shè)某選手正確答復(fù)每個問題的概率都是0.8，且每個問題的答復(fù)結(jié)果相互獨立，那么該選手恰好答復(fù)了4個問題就晉級下一輪的概率等于_解析由條件第2個問題答錯，第3、4個問題答對，記“問題答復(fù)正確事件為A，那么P(A)0.8，PP(1P(A) P(A) P(A)0.128.答案0.128三、解答題13某籃球隊與其他6支籃球隊依次進(jìn)展6場比賽，每場均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊與其他籃球隊比賽勝場的事件是獨立的，并且勝場的概率是.(1)求這支籃球隊首次勝場前已經(jīng)負(fù)

19、了兩場的概率；(2)求這支籃球隊在6場比賽中恰好勝了3場的概率；(3)求這支籃球隊在6場比賽中勝場數(shù)的期望和方差解(1)P2×.所以這支籃球隊首次勝場前已負(fù)兩場的概率為；(2)6場勝3場的情況有C種，PC3320××.所以這支籃球隊在6場比賽中恰勝3場的概率為；(3)由于服從二項分布，即B，E()6×2，D()6××.所以在6場比賽中這支籃球隊勝場的期望為2，方差為.14某公司是否對某一工程投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定，他們?nèi)硕加小巴?、“中立、“反對三類票各一張，投票時，每人必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，他們的投票相互沒有影響，規(guī)定：假設(shè)投票結(jié)果中至少有兩張“同意票，那么決定對該工