1、雙曲線的性質(zhì)編稿：張希勇審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解雙曲線的對(duì)稱性、范圍、定點(diǎn)、離心率、漸近線等簡(jiǎn)單性質(zhì)2 .能利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的方程.3 .能用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)分析解決一些簡(jiǎn)單的問題【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749知識(shí)要點(diǎn)二】要點(diǎn)一、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)22xy雙曲線221(a>o, b>o)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)ab對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程2 y b21 ( a>0, b>0),把x換成-x ,或把y換成-y ,或把x、y同時(shí)換成-x、-y ,方程都不變，所以雙曲線2x2a2 y b21 (a>0, b>0)是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)

2、稱圖形，且是以范圍2Q X21 即 x2a2ax a或 x a雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足 xw -a 或 x>a.對(duì)稱性原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心。頂點(diǎn)雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)。22雙曲線* ya2b2A (-a, 0), A2 (a,0),頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。1 (a>0, b>0)與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段AA2叫作雙曲線的實(shí)軸； 設(shè)Bi (0, -b), B2 (0, b)為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段

3、BR叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|AiA2|=2a , |BiB2|=2b。a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作e -2c -2a a因?yàn)閏>a>0,所以雙曲線的離心率 e c 1。a由 c2=a2+b2,可得 b a22c a2a(c)21Je2 i ,所以P決定雙曲線的開口大小, -越大，e也aa我們把直線| MN |雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。

4、越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線a b ,所以離心率e漸近線經(jīng)過點(diǎn)A Ai作y軸的平行線x=±a,經(jīng)過點(diǎn)Bi、B2作x軸的平行線y=±b,四條直線圍成一個(gè)矩形(如圖)，矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是bx叫做雙曲線的漸近線; ax2a2xabx x2【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749知識(shí)要點(diǎn)一、3】要點(diǎn)二、雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程22x y , 7T 1(a 0,b 0) a b22yx,A 7-21(a 0，b 0)a b乂vJ奧圖形一I -，.一£,.r ti0x認(rèn)bN性質(zhì)焦點(diǎn)Fi( c,0)

5、, F2(c,0)Fi(0, c), F2(0,c)焦距IF1F2I 2c|訐21 2c (c a a2 b2)c V a2 b2)范圍x xa或x a, y Ry ya或y a , x R對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(a,0)(0, a)軸實(shí)軸長(zhǎng)=2a ,虛軸長(zhǎng)=2b離心率ec (e a1)漸近線方程b y - x aa y - xb要點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù),如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上。對(duì)于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在

6、哪一條坐標(biāo)軸上。要點(diǎn)三、雙曲線的漸近線(1)已知雙曲線方程求漸近線方程:222若雙曲線方程為 22 t 1,則其漸近線方程為， a ba2b20已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。(2)已知漸近線方程求雙曲線方程:若雙曲線漸近線方程為 mx ny 0,則可設(shè)雙曲線方程為,根據(jù)已知條件，求出即222與雙曲線x2 a2 y b21有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為2x2a2；2(0)(0 ,焦點(diǎn)在x軸上,(3)與雙曲線與 4 1有公共漸近線的雙曲線 a2b2雙曲線0 ,焦點(diǎn)在y軸上)(4)等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為y x,因此等軸雙

7、曲線可設(shè)為 x2 y2(0).要點(diǎn)四、雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征:雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c>b>0, c>a>0,且c2=b2+a2。2(1)實(shí)軸長(zhǎng) | A1A2 | 2a,虛軸長(zhǎng)2b,焦距IF1F2 | 2c,(2)離心率：e |PFl |PMilIPF2I lAFilIPM2I lAKill A2F2 lIA2K2I1 b；e 1;(3)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離:a, IAF2A2Fi| a c；yr 1 (a

8、 0,b 0),如圖: b(4) PF1F2中結(jié)合定義 呼I |PF2| 2a與余弦定理，將有關(guān)線段|PFi|、|PF21、|FiF2|和角結(jié)合 起來.(5)與焦點(diǎn)三角形 PF1F2有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理(或勾股定理)、 ，、1. 二角形面積公式S PF1F2 -|PF1| |PF2|sin F1PF相結(jié)合的萬(wàn)法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段|PFi|、| PF?|、IF1F2I，有關(guān)角F1PF2結(jié)合起來，建立|PFi| |PF2卜|PFi| |PFz|之間的關(guān)系.【典型例題】類型一：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749例1】2. 2例1.求雙曲線1

9、6x 9y 144的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程與離心率22【解析】把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 1 ,由此可知實(shí)半軸長(zhǎng)a 3 ,虛半軸長(zhǎng)b 4 , c J02b2 59 16，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng) 2a 6,虛軸長(zhǎng)2b 8,頂點(diǎn)坐標(biāo)(0, 3), (0,3),焦點(diǎn)坐標(biāo)(0, 5) , (0,5),c53離心率e漸近線方程為y-xa34【總結(jié)升華】在幾何性質(zhì)的討論中要注意a和2a, b和2b的區(qū)別，另外也要注意焦點(diǎn)所在軸的不同，幾何量也有不同的表示.舉一反三：2倍，則m等于()【變式1】雙曲線 mX+y2=1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的A.1B. - 4C. 4D. 144【答案】A223【變式2】已

10、知雙曲線8kx ky =2的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,萬(wàn))，則k的值等于()A. - 2 B.1 C.-1 D.-2【答案】C類型二：雙曲線的漸近線例2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。9161； (2)2y16(1)雙曲線22x y9 161的漸近線方程為:2y 0164 _x3(2)雙曲線2y161的漸近線方程為:2y 016【總結(jié)升華】雙曲線2x2a2y2 1 (a 0,b b20)的漸近線方程為雙曲線2y2a2xb2線方程為xax；若雙曲線的方程為 b2x2m2y2n0,0,焦點(diǎn)在1的漸近x軸上，y軸上)，則其漸近線方程為2x2m2y2n【變式1】求下列雙曲線方程的漸近線方程2/、 x(1)162

11、y36(2)22x 2y8;(3)2x2721)(2) y(3)2x【變式2】中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為55的圓錐曲線的焦點(diǎn)在3y軸上，則它的漸近線方程為()A. y5x B4D例3.根據(jù)下列條件,求雙曲線方程。2x(1)與雙曲線92y 1有共同的漸近線，且過點(diǎn)16(3,2V13);(2) 一漸近線方程為3x 2y 0,且雙曲線過點(diǎn)M (8,6 . 3)【解析】(1)解法一:2 x當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為 xab2b 4由題意，得 a 3=2 ，解得a2 9 , b2 4(3)2(2 3)214a2b2所以雙曲線的方程為4x2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為2y2a2xb2由題意，得

12、23)2b /V24一3 l3)2J a a - b(217去舍綜上所得，雙曲線的方程為224x y 194解法二：設(shè)所求雙曲線方程為22x y9160),將點(diǎn)(3,2、:3)代入得2 X所以雙曲線方程為9亡1即里 16 49(2)依題意知雙曲線兩漸近線的方程是-y0.2 322故設(shè)雙曲線方程為y-,49點(diǎn)M (8,673)在雙曲線上,.W迎史，解得4, 4922所求雙曲線方程為 x y 1.16 36【總結(jié)升華】求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b,在解題過程中應(yīng)熟悉各元素a、b、c、e及準(zhǔn)線)之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程ax by 0 ,可設(shè)雙曲線方程為2 2,22

13、a x b y0).【變式1】中心在原點(diǎn),2一個(gè)焦點(diǎn)在（0,3），一條漸近線為y 2x的雙曲線方程是（）3A 5x2八.365y42 1B.5x23655y2113x2 C.8113y2 1 I 36D.13x28113y2 136【變式2】過點(diǎn)(2,-2）且與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線是（）2A. y2B.2y22C. y4D.2y4【變式3】設(shè)雙曲線1(a0）的漸近線方程為3x 2y 0,則a的值為D. 1【變式4】雙曲線2x2a2 y b22 x 1與二 a2 y b20）有相同的（）A.實(shí)軸 B.漸近線.以上都不對(duì)A. 4類型三：求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍220）的左、右

14、焦點(diǎn)，過R且垂直于x軸的直線與雙曲線的左例4.已知Fi,F2是雙曲線x2 y- 1(a ba b支交于A、B兩點(diǎn)，若 ABF2是正三角形，求雙曲線的離心率。ABF2是正三角形,| AF1 | 2ctan30o2.3oc, |AF2| 2ctan3032ccos30o4.3c3| AF2 | |AFi|迪c述c述c 2a,e c 3a求雙曲線離心率的關(guān)鍵是由條件尋求【總結(jié)升華】雙曲線的離心率是雙曲線幾何性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù),a、c滿足的關(guān)系式，從而求出 e【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749 例 2【變式1】過點(diǎn)A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)間的距離為一 i2 31(a 0,b 0)的離

15、心率e 土，22(i)已知雙曲線 4a2b233 ,求雙曲線的方程.2(2)求過點(diǎn)(-1,3),且和雙曲線22y- 1有共同漸近線的雙曲線方程492【答案】(1) A322至 1y2 1273【變式2】等軸雙曲線的離心率為【答案】2【變式3】已知a、b、c分別為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距，且方程ax2+ bx + c=0 無實(shí)根,則雙曲線離心率的取值范圍是()A. 1<e< v5 - 2 B - 1<e<2C. 1<e<3 D . 1<e<2 + v>5類型五：雙曲線的焦點(diǎn)三角形例5 .已知雙曲線實(shí)軸長(zhǎng) 6,過左焦點(diǎn)F1的弦交左半支于 A、B兩點(diǎn)，且| AB |8,設(shè)右焦點(diǎn)F2,求ABF2的周長(zhǎng).【解析】由雙曲線的定義有：| AF21 |AFi| 6,四| |BFi| 6, (I AF2 | BF2 |)(|AFi| |BFi|) 12.即(| AF2 | BF2 |)| AB| 12 | AF2 | |BF2| 12 | AB| 20.故 ABF2 的周長(zhǎng) L |AF2| |BF2| |AB| 28.在雙曲線的焦點(diǎn)三角形中，經(jīng)常運(yùn)用【總結(jié)升華】雙曲線的焦點(diǎn)三角形中涉及了雙曲線的特