1、微專題十二圓錐曲線中性質(zhì)的推廣第九章平面解析幾何真題研究一道高考解析幾何試題的命題背景可能就是圓錐曲線的一個性質(zhì)定理的特殊情況.如果掌握了定理的原理，也就把握了試題的本質(zhì).對一些典型的試題，不應(yīng)滿足于會解，可以引導(dǎo)學(xué)生深入探究試題背后的知識背景，挖掘問題的本質(zhì).這樣才能真正找到解決問題的方法，學(xué)會用更高觀點去看待數(shù)學(xué)問題，把握問題的本質(zhì).正如普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，觀察分析，自主探究，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論和規(guī)律.一、試題展示題1(2018全國)如圖1所示，設(shè)拋物線C：y22x，點A(2,0)，B(2，0)，過點A的直

2、線l與C交于M，N兩點.(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程；解當(dāng)l與x軸垂直時，l的方程為x2，可得點M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，2).即x2y20或x2y20.(2)證明：ABMABN.證明當(dāng)l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以ABMABN.當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x10，x20.所以kBMkBN0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以ABMABN.綜上，ABMABN.題2(2018全國)設(shè)橢圓C： y21的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程

3、；解由已知得F(1,0)，l的方程為x1.(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：OMAOMB.證明當(dāng)l與x軸重合時，OMAOMB0.當(dāng)l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，(2k21)x24k2x2k220，由題意知0恒成立，從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ).所以O(shè)MAOMB.綜上，OMAOMB.點評以上兩題是2018年高考全國卷解析幾何題的倒數(shù)第二題，是選拔題.第(1)問根據(jù)直線方程的求法，多數(shù)學(xué)生都能完成，第(2)問是個探索性問題，重點考查用坐標(biāo)法研究圓錐曲線中的定點定值

4、問題，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、分類討論等基本數(shù)學(xué)思想，同時考查綜合運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，綜合考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).本題的呈現(xiàn)形式“平易近人”，是平面幾何中的角平分線問題，但本題的解決過程卻充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想，可以將等角的幾何關(guān)系式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)代數(shù)關(guān)系式，然后再用坐標(biāo)法來處理.本題看起來很平常，實際上卻背景豐富，有一定難度和區(qū)分度，也有很大的數(shù)學(xué)價值和研究空間，我們重點研究第二小問的相關(guān)性質(zhì).二、性質(zhì)研究性質(zhì)1如圖3所示，已知拋物線y22px(p0)，點B(m,0)(m0)，設(shè)不與x軸垂直的直線l與拋物線相交于M，N兩點，則直線l過定點A(m,0)的充要條件是x軸是

5、MBN的角平分線.圖3證明先證明必要性：設(shè)不與x軸垂直的直線l的方程為yk(xm)(k0)，代入y22px，整理得k2x2(2k2m2p)xk2m20.所以ABMABN，所以x軸是MBN的角平分線.再證明充分性：設(shè)不與x軸垂直的直線l的方程ykxb(k0)，代入y22px，整理得k2x22(kbp)xb20.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由根與系數(shù)關(guān)系得即y1(x2m)y2(x1m)0.再將y1kx1b，y2kx2b代入上式，得(kx1b)(x2m)(kx2b)(x1m)0，即2kx1x2(bkm)(x1x2)2mb0， 將式代入式，得2kb22(bkm)(pkb)2mbk20，整理得bkm，此時0，直線l的方程為yk(xm)，所以直線l過定點A(m,0).圖4證明先證明必要性：設(shè)不與x軸垂直的直線l的方程為yk(xm)(k0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系得所以O(shè)MAOMB，所以x軸是AMB的角平分線.再證明充分性：(a2k2b2)x22kta2xa2(t2b2)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系得整理得tkm.此時0，所以直線l的方程為yk(xm)，所以直線l過定點P(m,0).圖5性質(zhì)3的證明類似于性質(zhì)2的證明.三、性質(zhì)推廣圖6證明當(dāng)直線l垂直于x軸時，易得kPBkQB