1、第1 1頁(yè)共 1616 頁(yè)2020屆廣東省中山紀(jì)念中學(xué)高三年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1 1 .設(shè)集合Ax1 x 3,B x 2x3c 3A A.3,B B.3,-22【答案】D D【解析】根據(jù) 兀一次不等式的解法得到集合【詳解】3 2x 3 0的解為x，故集合B23所以A B x | x 3。2故選：D.D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。3 0則AI B()d d3 33 3C C.1 1,D D . ,3,32 22 2B B,再運(yùn)用集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng)3X | X ，又TAx21 x 3,2.已知 z z 是純虛數(shù)，若a i z 3iA A. 1 1B B

2、. 3 3【答案】B B【解析】【詳解】設(shè)z mi（m 0），則ami m 3i 13隨著中央決定在海南省全島建立自貿(mào)區(qū)的政策公布以來(lái)，海南各地逐步成為投資熱點(diǎn) 有 2424 名投資者想到海南某地投資，他們年齡的莖葉圖如圖所示，先將他們的年齡從小到大編號(hào)為號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6 6 名投資者，邀請(qǐng)他們到海南某地實(shí)地考察其中年齡不超過(guò) 5757 歲的人數(shù)為（）3y4o11:5366T- ?&8890u0-12A 5-4 5D D .不確定【答案】C C【解析】求出樣本間隔，結(jié)合莖葉圖求出年齡不超過(guò) 5757 歲的有 1212 人，然后進(jìn)行計(jì)算即可1，則實(shí)數(shù)a的值為（）C C. -1-1D D

3、 . -3-3am 3, m 1,a3，選B.B B. 2 2第2 2頁(yè)共 1616 頁(yè)【詳解】樣本間隔為24 64，年齡不超過(guò) 5757 歲的有 1212 人，則需要抽取12 43人，故選: :C.C.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖以及系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，求出樣本間隔是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題. .4 4 .已知 a a1 1ln8,ln8, b b6 6|ln5,|ln5, c c InIn /6 InIn 2 2 ,則( () )A A.a bcB B. a a c c b bC C.cabD D.c b a【答案】B B【解析】 直接利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷大小即可【詳解】1 1 aln8ln2,

4、b1ln5,cln、6 ln . 2 hn36 222Q ln2 ln3 ln5a c b故選 B B【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)值大小的比較方法，一般找中間量0 0 ”或 1 1 ”，以及轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，考查了轉(zhuǎn)化思想5 5.雙曲線、備=1 1 的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A A . . .B B.C C. .D D .【答案】A A【解析】 試題分析：雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為卜，所以距離為 H H 瘀.【考點(diǎn)】雙曲線與漸近線.6 6 .設(shè)向量a cos , 1 ,b (2,sin )，若a b，則tan第3 3頁(yè)共 1616 頁(yè)【答案】D D7 7.要得到函數(shù)

5、f xsin2x的圖象，只需要將函數(shù)g x cos2x的圖象1iA A .向左平移一個(gè)周期B B .向右平移一個(gè)周期2211C C.向左平移一個(gè)周期D D.向右平移一個(gè)周期44【答案】D Dn【解析】 將函數(shù)g x cos2x的圖象向右平移 一個(gè)單位，即可利用誘導(dǎo)公式，即可求4得答案.【詳解】n將函數(shù)g xcos2x的圖象向右平移個(gè)單位,4sin2x f x的圖象，即向右平移 丄個(gè)周期 4故選 D.D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)成同名函數(shù)，然后運(yùn)用平移變換規(guī)律求出結(jié)果，本題較為基礎(chǔ) 8 8 .下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A.y2xB B.D

6、D.3sinxy xC.yxylg 2 x Ig 2 x【答案】D D【解析】逐一按奇偶性以及單調(diào)性定義驗(yàn)證與判定 【詳解】 因?yàn)閥 2x在其定義域上既是非奇非偶函數(shù)又是減函數(shù)，B B.C C. -1-1D D. -3-3【解析】分析：利用a即可得出.r bra rb0，即可求出tan，再利用兩角和的正切公式raOS2Corbra0，即tan 2故選 B B.點(diǎn)睛：利用r bra rbra0，以及合理運(yùn)用兩角和的正切公式是解題的關(guān)鍵.，口n可得y cos 2 x 4第4 4頁(yè)共 1616 頁(yè)y x3在其定義域上是奇函數(shù)，在,0和0,上是減函數(shù)，sinxy在其定義域上是偶函數(shù)，xy lg 2 x

7、 Ig 2 x在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)因此選 D,D,【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)(1) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域;(2)(2) 判斷 f(xf(x) )與 f f( (- x)x)是否具有等量關(guān)系.9 9 .等差數(shù)列an中的a1,a4035是函數(shù)f13. 2xx 4x312x 1的極值點(diǎn)，則lOg2a2018( )A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D . 4 4【答案】B B【解析】根據(jù)已知條件得f (x) x28x 120的兩個(gè)根是aa4035，再由根與系數(shù)的關(guān)系得aia40358，根據(jù)

8、等差數(shù)列的性質(zhì)，得a20i84，代入可求得值. .【詳解】13 2由于ai,a4035是函數(shù)f x x 4x 12x 1的極值點(diǎn)，3-f (x) x 8x 12 0的兩個(gè)根是44035，由根與系數(shù)的關(guān)系得a1a40358,由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a1a4035a2018a2018,a20184,lOg2a2018log24 2,故選：B.B.【點(diǎn)睛】本題考查極值點(diǎn)的應(yīng)用和等差數(shù)列的性質(zhì)，以及一元二次方程的韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題 In x1010 .函數(shù)y的圖像大致為()x第5 5頁(yè)共 1616 頁(yè)【考點(diǎn)】 兩角和與差的正余弦公式【答案】D D【解析】 【詳解】分析：禾U用詳解：由題意可知，函數(shù)

9、In x y一的定義域?yàn)?，0)U (0,),x且滿足f( x)山xIn xx為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除 A A、C C ；又x 0時(shí)，y ,1時(shí)，y 0，排除 B B,故選 D D.點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力.1111.已知sinsin30，則COSB B.【答【解試題分析：sin農(nóng)+ 4 sin茲茂+豈225=costz匸皿二一sin a, sin八,故選項(xiàng)為 B.B.C C .第6 6頁(yè)共 1616 頁(yè)1212 .已知f x3 xx e2ax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有二個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()2222A

10、A.a2B B.a2C C .2a 0D D .a2eeee【答案】A A【解析】分析：先化簡(jiǎn)得2 xx e 2a0還有一個(gè)非零的根，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖像確定有一個(gè)非零的根的條件，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍 詳解：因?yàn)閒 x x e 2ax 0，所以x2ex2a 0還有一個(gè)非零的根令g(x) x2ex2a g (x) (x22x)ex0 x 0, 2，所以當(dāng)x 0時(shí)g (x)0,g(x)g(0)0,g(x)(2a,)；4當(dāng)2 x 0時(shí)g (x) 0, g( 2) g(x) g(0), g(x) 2a,p 2a；e4當(dāng)x 2時(shí)g(x) 0,0 g(x) g( 2),g(x)(0,飛2

11、a)；e42因此當(dāng) 2a 0時(shí)x2ex2a 0還有一個(gè)非零的根；即a ，ee選 A.A.點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)(1) 直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)(2) 分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)(3) 數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.二、填空題1313 若命題“x R,x2x a 0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _1【答案】-,4【解析】根據(jù)特稱命題是假命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可【詳解】第7 7頁(yè)共 1616 頁(yè)Q命題“x R, x2x a

12、 0是假命題，則命題“x R, x2x a 0是真命題，第8 8頁(yè)共 1616 頁(yè)1則n 1 4a 0，解得a -41則實(shí)數(shù)a的取值范圍是丄，4【點(diǎn)睛】本題主要考的是命題的真假判斷和應(yīng)用， 系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2X1414 .過(guò)拋物線y焦點(diǎn)F，向圓:8FP _【解析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用圓的方程求得圓心和圓的半徑, 求出焦點(diǎn)與圓心的距離，利用勾股定理可求得所求的距離【詳解】2Xo22由拋物線y得x28y，二焦點(diǎn)F(0,2)，設(shè)圓：x 3 y 316的圓心8為Q 3, 3，半徑為R 4，則| FQ |、32(2 3)2. 34，-|FP|，、34彳163 2，故答案為

13、：32. .【點(diǎn)睛】熟練掌握一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)2 2x 3 y 316作切線，切點(diǎn)為P，第9 9頁(yè)共 1616 頁(yè)本題考查拋物1515 .設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),直線與圓的位置關(guān)系,UULTAD1uuu求圓的切線長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題. .4101UUV AC, 若BC3uuu/DC R,【答案】-3-3【解析】直接利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)UUU/, ,AD1 uuv AB34UUU/-AC,3- -B B, C C,D D 三點(diǎn)共線 若BCuuv DCR ,uuv二ACuuvuuvACuavAD，【詳解】第 8 8 頁(yè)共 1616 頁(yè)3. .即答

14、案為-3.-3.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算及相關(guān)的恒等變換問(wèn)題.a1616 .在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若一bcosB，貝 U Ua a的值為_(kāi).3b【答案】79a【解析】分析：先根據(jù)正弦定理將條件1 2cosC化為角的關(guān)系，再根據(jù)cosBb求出cosC，代入即得結(jié)果 a詳解：因?yàn)橐? 2cosC,sin A 所以12cosCsin(B C)1 2cos Cbsin Bsin BsinC cosBsin B cosCsin B sin(CB) sin B C BB,C 2B.2因?yàn)閏osB ，所以cosCcos2B 2cos24B 12 11399點(diǎn)睛

15、：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條 件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的 三、解答題1717 已知二次函數(shù)f X同時(shí)滿足以下條件：(1)f 1 X f 1 X；(2)f X的最大值為 8 8;(3)f(X)= O的兩根的平方和等于 1010,求f X的解析式 【答案】fX2X24X6【解析】由(1)(1)可知函數(shù) f f(X)關(guān)于X 1對(duì)稱，根據(jù)(2)(2)有最大值 8,8,可設(shè)2f (X) a(x 1)8和f(x) 0的兩根平方和等于 10,10,由此即可求出 f(x)f(x)的解析式 化為：AuU=-=-AEV+ +1 uuvuuu1 u

16、uv4uuv1AC,與AD=- AB+ +4AC,33比較可1解1 2cosC，且第1111頁(yè)共 1616 頁(yè)由題意可知，f X的對(duì)稱軸為x 1,設(shè)fx a2x 18 a 0,即f xax22ax a 8, ,令fx 0,即ax22ax a80， 設(shè)此方程的兩根為 x x,x,x2，則x1x22,彳8%x21 1 -,-,a而為22x2xx222x1x24216a即42少10，則a 2故:fx2x24x 6. .【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，還有其解析式的求法，是一道基礎(chǔ)題，考查的二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)比較全面 . .1818 某房產(chǎn)銷售公司從登記購(gòu)房的客戶中隨機(jī)選取了5050 名客戶

17、進(jìn)行調(diào)查，按他們購(gòu)一套房的價(jià)格（萬(wàn)元）分成 6 6 組：50,100,100,150,150,200,200,250,250,300,300,350得到頻率分布直方圖如圖所示 用頻率估計(jì)概率. .房產(chǎn)銷售公司每賣出一套房，房地產(chǎn)商給銷售公司的傭金如下表（單位：萬(wàn)元）房?jī)r(jià)區(qū)間50,100100,150150,200200,250250,300300,350傭金收入1 12 23 34 45 56 6（1 1）求a的值;第1212頁(yè)共 1616 頁(yè)(2)(2) 求房產(chǎn)銷售公司賣出一套房的平均傭金；(3)(3)若該銷售公司平均每天銷售 4 4套房， 請(qǐng)估計(jì)公司月(按 3 30 0天計(jì))利潤(rùn)(利潤(rùn)=

18、=總 傭金銷售成本) 該房產(chǎn)銷售公司每月(按 3030 天計(jì))的銷售成本占總傭金的百分比按下表分段累計(jì)計(jì)算:月總傭金不超過(guò) 100100萬(wàn)元的部分超過(guò) 100100 萬(wàn)元至200200 萬(wàn)元的部分超過(guò) 200200 萬(wàn)元至300300 萬(wàn)元的部分超過(guò) 300300 萬(wàn)元的部分銷售成本占傭金比例5%10%15%20%【答案】(1 1)a 0.0060(2 2)3.2萬(wàn)元(3 3) 337.2337.2 萬(wàn)元【解析】(1 1)根據(jù)頻率直方圖由500.0008 0.002 0.0024 0.00400.0048 a 1，可求得a;(2)設(shè)賣出一套房的平均傭金為X萬(wàn)元，由各房?jī)r(jià)區(qū)間的傭金收入乘以各房?jī)r(jià)

19、區(qū)間的概率再求和可得平均傭金 . .(3) 總傭金減去各房?jī)r(jià)區(qū)間的銷售成本之和可得公司月利潤(rùn)【詳解】(1) 由50 0.0008 0.002 0.0024 0.0040 0.0048 a 1，得a 0.0060. .(2)設(shè)賣出一套房的平均傭金為X萬(wàn)元，則x 1 0.002 50 2 0.004 50 3 0.006 50 4 0.0048 50 5 0.0024 50 6 0.0008 503.2所以房產(chǎn)銷售公司賣出一套房的平均傭金為3.2萬(wàn)元；(3) 一個(gè)月的總傭金為3.2 4 30384萬(wàn)元，月利潤(rùn)為y 384100 5%100 10% 100 15%84 20%384 46.8337.

20、2萬(wàn)元，第1313頁(yè)共 1616 頁(yè)所以公司月利潤(rùn)為337.2337.2 萬(wàn)元. .6第1414頁(yè)共 1616 頁(yè)【點(diǎn)睛】本題考查完善頻率直方圖，根據(jù)頻率直方圖求得平均值和月利潤(rùn)等相關(guān)的問(wèn)題，于明確概率統(tǒng)計(jì)的計(jì)算原理，將生活實(shí)際中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的理論數(shù)據(jù)，屬于基礎(chǔ)題 1919 .某學(xué)生用 五點(diǎn)法”作函數(shù)f(x)= Asi n(3X+萼+ B(A 0,的圖像時(shí)，在列表過(guò)程中，列出了部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:x0 0223 3222x3712y3 3-1-1(1)(1)請(qǐng)根據(jù)上表求f x的解析式;將y f x的圖像向左平移個(gè)單位，再向下平移 1 1 個(gè)單位得到y(tǒng) g x圖像,1212若g 6(為銳角)，

21、求f的值 45【答案】(1 1)f x 2sin 2x 1(2 2)8 4 365【解析】 分析：(1)(1)根據(jù)最值求出 A.B,A.B,再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)得，方程組，解方程組得4方關(guān)系得sin2-，最后代入f得結(jié)果. .5詳解：31解：(1 1)B1 , A 3 1223712f x 2sin 2x61. .,(2)(2)根據(jù)平移規(guī)律得g x，代入g6解得cos245-，根據(jù)平5關(guān)鍵在第1515頁(yè)共 1616 頁(yè)題目中，所以也必須熟練掌握 無(wú)論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言. .2 22020已知橢圓 C C：務(wù)與1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2且離心率為丄2,a b2過(guò)

22、左焦點(diǎn)F1的直線 I I 與 C C 交于 A A , B B 兩點(diǎn)，VABF2的周長(zhǎng)為4,2-1求橢圓 C C 的方程；2當(dāng)VABF2的面積最大時(shí)，求 I I 的方程.2【答案】(1)(1)今y21； (2)(2)x 1. .c【解析】試題分析：1根據(jù)橢圓定義及ABF2的周長(zhǎng)為4、2得出a 2，利用 e e a知c ea 1，求出b21,進(jìn)而得到橢圓C的方程；2將三角形分割，以F1F2為底，A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高表示三角形面積, 運(yùn)用基本不等式求得結(jié)果解析：(1 1)由橢圓的定義知4a 4-、2,a 2, c _由e知c ea 1ab2a2c212所以橢圓C的方程為y212(2 2

23、)由(1 1)知F11,0 ,F21,0,F1F22(2)g x2sin 2 x1 1 2sin2x12 6g42sin 22又為銳角，二sin245f2sin 216c 4,33 12 一15 2526 .-5-cos2352 sin2 coscos2 sin 1668 4.35先平移，后伸縮”但先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡第1616頁(yè)共 1616 頁(yè)設(shè)A Xi, yi, B X2,y2,l：x my 12聯(lián)立x my 1與工y22坐標(biāo)差的絕對(duì)值，為簡(jiǎn)化計(jì)算，由于直線過(guò)橫坐標(biāo)上一定點(diǎn)，故設(shè)直線方程2當(dāng) a a 0 0 時(shí)，三種情況進(jìn)行討論，對(duì)a進(jìn)行參變分離，令h

24、x 4ln x x 2x, x 0,對(duì)其求導(dǎo)函數(shù)，分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，可求得a的范圍. .【詳解】44 x(1 1)依題意，當(dāng) a a 1 1 時(shí)，函數(shù)f x的定義域?yàn)?,，且f x - 1xx所以0 x 4, f x 0;x 4, f x 0,2 21得到m 2 y 2my 10,y1y22、2 ,m21m22SABF22.2m21m2222.21m21 2當(dāng)m211,m0時(shí)，SABF2最大為 血，l：x 1點(diǎn)睛: 在求過(guò)焦點(diǎn)的弦與另一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積時(shí)可以對(duì)其分割,轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)縱my 12121 .已知函數(shù)x 4a In x ax 1. .(1(1)若 a a

25、1 1，求函數(shù)f X的單調(diào)區(qū)間;(2(2)若函數(shù)x ax x1在(0,+?)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 【答案】(1 1) 函數(shù)fX在0,4上單調(diào)遞增，在4- -上單調(diào)遞減(2 2)【解析】(1 1) 依題意，當(dāng) a a 1 1 時(shí)，f x4 x，分析f x的正負(fù)，從而得x出函數(shù)f X單調(diào)區(qū)間;(2)由f xax x1，得4a | nx ax22ax 10，分當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)a 0時(shí),第1717頁(yè)共 1616 頁(yè)所以函數(shù)f x在0,4上單調(diào)遞增，在 4,4,上單調(diào)遞減；ax x1，故4aInx ax22ax 10，當(dāng)a 0時(shí)，顯然不成立;(2)因?yàn)閒 x第1818頁(yè)共 1616 頁(yè)所求a的取值范

26、圍是【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，解決不等式恒成立問(wèn)題中求參數(shù)的范圍，對(duì)不等式進(jìn)行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，運(yùn)用求導(dǎo)得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和最值，是常用的方法，屬于?？碱}，難度題. .2222 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線 C Cx 2cos的參數(shù)方程為( (是參數(shù)) )，直線I的極坐標(biāo)方程為y v3sin23. .(1) 求直線I的直角坐標(biāo)方程和曲線 C C 的普通方程；(2)設(shè)點(diǎn) P P 為曲線 C C 上任意一點(diǎn)，求點(diǎn) P P 到直線I的距離的最大值.x2v2JT5 4/3【答案】(1 1) L 1； (2 2)154 3432【解析】 試題分析：(1 1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式把直線 I I 的極坐標(biāo)方程化為 直角坐標(biāo)方程.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去 a 把曲線 C C 的參數(shù)方程化為直角坐 標(biāo)方程.0時(shí)，化為:14ln xa2x 2x:0 0 時(shí)，化為:x22x:當(dāng)x4ln x2x, x，則42xx2x22x2x1x2(0,1)時(shí),h (x)0時(shí)，x(1, h (x)0在0,1是增函是減函數(shù),h xmax因此不成立，要成立，只要1a3,所以cos第1919頁(yè)共 1616 頁(yè)(2 2)設(shè)點(diǎn) P(2cosP(2cos