1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上雞兔同籠問題（二）教學目標1. 熟悉雞兔同籠的“砍足法”和“假設法”.2. 利用雞兔同籠的方法解決一些實際問題，需要把多個對象進行恰當組合以轉化成兩個對象知識精講一、雞兔同籠這個問題，是我國古代著名趣題之一大約在年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個有趣的問題書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有個頭；從下面數(shù)，有只腳求籠中各有幾只雞和兔？ 你會解答這個問題嗎？你想知道孫子算經(jīng)中是如何解答這個問題的嗎？ 二、解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只

2、雞就變成了“獨腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多因此，腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差，就是兔子的只數(shù)，即（只）顯然，雞的只數(shù)就是（只）了 這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學家贊嘆不已除此之外，“雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路“假設法”假設法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設法能做到，假設里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到解雞兔同籠問題的基本關系式是：如果假設全是兔，那么則有：數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假

3、設全是雞，那么就有：兔數(shù)=（實際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)當頭數(shù)一樣時，腳的關系：兔子是雞的2倍當腳數(shù)一樣時，頭的關系：雞是兔子的2倍在學習的過程中，注重假設法的運用，滲透假設法的重要性，在以后的專題中，如工程，行程，方程等專題中也都會接觸到假設法例題精講兩個量的“雞兔同籠”問題變例【例 1】 某次數(shù)學競賽，共有道題，每道題做對得分，沒做或做錯都要扣分，小聰?shù)昧朔郑鰧α硕嗌俚李}？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 做錯 (道)，因此，做對的 (道)【答案】道【鞏固】 數(shù)學

4、競賽共有20道題，規(guī)定做對一道得5分，做錯或不做倒扣3分，趙天在這次數(shù)學競賽中得了60分，他做對了幾道題？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 假設他將所有題全部做對了，則可得100分，實際上只得了60分，比假設少了40分，做錯一題要少得8分，少得的40分中，有多少個8分，就是他做錯的題的數(shù)量，則知他做對了15道【答案】道【鞏固】 東湖路小學三年級舉行數(shù)學競賽，共道試題.做對一題得分，沒有做一題或做錯一題都要倒扣分.劉鋼得了分，問他做對了幾道題？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 這道題也類似于“雞兔同籠”問

5、題假設劉鋼道題全對，可得分（分），但他實際上只得分，少了（分），因此他沒做或做錯了一些題由于做對一道題得分，沒做或做錯一道題倒扣分，所以沒做或做錯一道題比做對一道題要少（分）分中含有多少個，就是劉鋼沒做或做錯多少道題所以，劉鋼沒做或做錯題為（道），做對題為（道）【答案】道【鞏固】 某次數(shù)學競賽，試題共有道，每做對一題得分，每做錯一題倒扣分。小紅最終得分，做對的題比做錯的題多_道?！究键c】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，3年級，第8題，假設思想方法【解析】 ，做錯道題，做對道題，對的比錯的多道。【答案】多道【鞏固】 次數(shù)學競賽有道試題，若小宇得70分，根據(jù)圖5中兩人的

6、對話可知小宇答對_題?！究键c】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，一試，第12題【解析】 設答對了道題，那么，所以，也就是小宇答對了8道題?！敬鸢浮款}【鞏固】 一次口算比賽，規(guī)定：答對一題得8分，答錯一題扣5分。小華答了18道題，得92分，小華在此次比賽中答錯了_ 道題?！究键c】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第12題【解析】 假設他全答對了，應該的18×8=144分，實際上少了144-92=52分，每答錯一道題少8+5=13分，答錯了52÷13=4道題?！敬鸢浮款}【例 2】 某工人與老板簽訂了一份30天

7、的勞務合同：工作一天可得報酬48元，休息一天則要從所得報酬中扣掉12元。該工人合同到期后并沒有拿到報酬，則他最多工作了_天?！究键c】和倍問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第5題【解析】 方法一：假設他沒有休息他會得（元），休息一天會少（元），所以他休息了（天），他工作了天方法二：工作一天休息4天剛好抵消，那么最后沒拿到錢，他只工作了30÷(4+1)=6天?！敬鸢浮刻臁纠?3】 春風小學3名云參加數(shù)學競賽，共10道題，答對一道題得10分，答錯一道題扣3分，這3名同學都回答了所有的題，小明得了87分，小紅得了74分，小華得了9分，他們三人一共答對了_道題.【

8、考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】假設思想方法【解析】 三人共得(分)，比滿分(分)少(分)因此三個人共做錯：(道)題，共答對了(道)題【答案】【例 4】 張明、李華兩人進行射擊比賽，規(guī)定每射中一發(fā)得20分，脫靶一發(fā)扣12分，兩人各射了10發(fā)，共得208分，其中張明比李華多64分，則張明射中_發(fā)?！究键c】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 張明得分（20864）2136分，根據(jù)雞兔同籠，張明脫靶（20×10136）（2012）2，射中8發(fā)?！敬鸢浮堪l(fā)【鞏固】 小明和小剛進行數(shù)學解題能力對抗賽，兩人商定，對一題得20分，

9、不答或答錯一題扣12分。兩人各解答了10道題，一共得208分，又知道小明比小剛多得64分。那么小剛做對了 道題。【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，高年級，初試，10題【解析】 小剛得了（分）,如果小剛道題都做對了，應得分，實際得分，所以錯了（道），做對了（道）?！敬鸢浮康馈眷柟獭?有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1題得5分，答錯(包含不答)1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分？ 【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞

10、】假設思想方法【解析】 法一：如果小明第一次測驗24題全對，得(分).那么第二次只做對(題)得分是(分).兩次相差(分).比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得(分)，而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加分.兩者兩差數(shù)就可減少(分).(題).因此，第一次答對題數(shù)要比假設(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對(題).第一次得分.第二次得分.法二：答對30題，也就是兩次共答錯(題).第一次答錯一題，要從滿分中扣去(分)，第二次答錯一題，要從滿分中扣去(分).答錯題互換一下，兩次得分要相差 (分).如果答錯

11、9題都是第一次，要從滿分中扣去.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了.因此，第二次答錯題數(shù)是(題).第一次答錯(題).第一次得分(分).第二次得分 (分).【答案】第一次得分分.第二次得分分.【例 5】 某旅游點有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣，兒童票的價格為30元，成人票的價格為40元，如果是團體還可以買平均32元一位的團體票，一個由8個家庭組成的旅游團（每個家庭由兩位大人，或兩個大人、一個小孩組成）來景點旅游，如果他們買團體票那么可以比他們各買各的少花120元，問這個旅游團一共有多少人？ 【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【

12、解析】 每個三口之家可以少花（元），每個二口之家可以少花（元），如果這8個家庭都是三口之家，那么一共少花（元），所以這8個家庭中有（個）家庭是二口之家，所以這個旅游團一共有（人）【答案】人【例 6】 一張數(shù)學試卷，只有道選擇題做對一題得分，做錯一題倒扣分；如不做，不得分也不扣分若小明得了分，那么他做對 題，做錯 題，沒做 題 【考點】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】假設思想方法，祖沖之杯【解析】 這道題不是普通的雞兔同籠問題，需要尋找一些特殊的線索 小明得了分，而且只有做對了題目才能得分，所以可以知道小明至少做對道題目，否則一定低于(分)； 再假設他做對題，發(fā)現(xiàn)即使另外四題都

13、錯，小明仍然有(分)，超過了分，所以小明至多做對道題目； 綜上，可以斷定小明做對了道題 至此本題轉化為簡單雞兔同籠問題 假設剩下題全部沒做，那么小明應得(分) 但是只得了分，說明又倒扣了分，說明錯了道題，道題沒做 所以小明做對了道題，做錯了道題，沒做道題【答案】對了道題，做錯了道題，沒做道題【例 7】 一批鋼材，用小卡車裝載要輛，用大卡車裝載只要輛已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝噸，那么這批鋼材有多少噸？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸利用假設法，假設只用輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大

14、卡車比每輛小卡車多裝噸，所以要剩下 (噸)根據(jù)條件，要裝完這噸鋼材還需要(輛)小卡車這樣每輛小卡車能裝(噸)由此可求出這批鋼材有噸【答案】噸【例 8】 下面是小波和售貨員阿姨的一段對話：小波：“阿姨，您好！” 售貨員：“同學，你好想買點什么？”小波：“我只有100元，請幫我安排買10支鋼筆和15本筆記本”售貨員：“好，每支鋼筆比每本筆記本貴2元，退你5元，請拿好再見”根據(jù)這段對話，則鋼筆每支是 元，筆記本每本是 元【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，4年級，第14題【解析】 一共花了元。如果是買本筆記本可以少花元，即元。所以每本筆記本元，每支鋼筆元【答案】元【例

15、 9】 買一些4分和8分的郵票,共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張,那么兩種郵票各買了多少張 【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 解一:如果拿出40張8分的郵票,余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多. (680-8×40)÷(8+4)=30(張), 這就知道,余下的郵票中,8分和4分的各有30張. 因此8分郵票有 40+30=70(張). 解二:譬如,假設有20張4分,根據(jù)條件"8分比4分多40張",那么應有60張8分.以"分"作為計算單位,此時郵票總值是 4×20+

16、8×60=560. 比680少,因此還要增加郵票.為了保持"差"是40,每增加1張4分,就要增加1張8分,每種要增加的張數(shù)是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張). 因此4分有20+10=30(張),8分有60+10=70(張).【答案】4分有30張,8分有70張.【例 10】 喜羊羊的存錢罐中只有5角和1元的硬幣共100枚，其中5角的硬幣比1元的硬幣多20元，喜羊羊的存錢罐中總共有_錢?！究键c】盈虧問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，4年級，第3題【解析】 元。枚，枚，元?！敬鸢浮吭纠?11】 小

17、同有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個；按錢數(shù)算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個1分幣小同共存了多少錢？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 假設去掉22個2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個5分幣比一個2分幣多3分，所以5分幣有（個），2分幣有（個）， （分）【答案】分【例 12】 現(xiàn)有大小油桶50個，每個大桶可裝油4千克，每個小桶可裝油2千克，大桶比小桶共多裝油20千克，問大小桶各多少個?【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 方法一：假設50個油桶都是大桶，則共

18、裝油千克，而這小桶所裝油則為0這樣大桶比小桶多裝200千克，比條件所給的差數(shù)多了千克，若在50個大桶中把一部分大桶換成小桶，則每拿一個大桶換成小桶，大桶裝的油就減少4千克，而小桶共裝的油就增加2千克，那么大桶比小桶多裝的數(shù)量就減少千克，所以小桶有：(個)，大桶有：(個).方法二：這道題也可以用另外一種假設；每個大桶比每個小桶多裝2千克，如果大小桶同樣多，大桶要比小桶共多裝20千克，則應該大小桶各個，現(xiàn)在共有50個桶，在剩下的個桶中，大小桶應裝同樣多的油，而每個大桶裝的油是每個小桶裝的倍，那么在這30個桶中，應該有個大桶，個小桶；所以可求出50個桶中，有大小桶各多少個解：(個) (個) (大桶)

19、(個) (大桶共有)(個) (小桶共有)【答案】大桶個，小桶個【例 13】 大、小猴共只，它們一起去采摘水蜜桃猴王不在時，一只大猴一個小時可采摘千克，一只小猴子一小時可摘千克；猴王在場監(jiān)督的時候，每只猴子不論大小每小時都可以多采摘千克一天，采摘了小時，其中第一小時和最后一小時猴王在監(jiān)督，結果共采摘了千克水蜜桃在這個猴群中，共有小猴子多少只？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 其實大猴子和小猴子就相當于雞兔問題中的雞和兔但是卻有猴王來搗亂，所以我們先讓猴王消失一天中，猴王監(jiān)視了小時，假設猴王一直都不在，同猴王在時相比，每只猴子每小時都會少采千克，那樣猴

20、群只能采摘(千克)；這是一天也就是小時的工作量，據(jù)此可以求出這群猴每小時采(千克)；假設都是大猴子，應該每小時采摘(千克)，比實際多采了(千克)而每只小猴子被假設成大猴子，會多采(千克)因此可以求出小猴子有：(只)【答案】只【例 14】 今年是1998年,父母年齡(整數(shù))和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年后(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當父的年齡是兄的年齡的3倍時,是公元哪一年？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 4年后,兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我

21、們可以把兄的年齡看作"雞"頭數(shù),弟的年齡看作"兔"頭數(shù).25是"總頭數(shù)".86是"總腳數(shù)".根據(jù)公式,兄的年齡是 (25×4-86)÷(4-3)=14(歲). 1998年,兄年齡是14-4=10(歲). 父年齡是 (25-14)×4-4=40(歲). 因此,當父的年齡是兄的年齡的3倍時,兄的年齡是 (40-10)÷(3-1)=15(歲),這是2003年. 【答案】年【例 15】 一份稿件,甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成,現(xiàn)在甲單獨打若干小時后,因有事由乙接著打完,共用了7小時.甲打字用了多少小時？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)),甲每小時打30÷6=5(份),乙每小時打30÷10=3(份). 現(xiàn)在把甲打字的時間看成"兔"頭數(shù),乙打字的時