1、范定方程與邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題，得到關(guān)于范定方程在邊界條件下一般解（本征函數(shù)解），加之初始條件得到一個(gè)物理問(wèn)題的解。1. Laplace 方程在球坐標(biāo)系中分離變數(shù)。（1） （2）分離得： （5）再次分離得：本征函數(shù)： （9）球諧方程 （10）作代換： （11）得： （12）即是l階連帶Legendre方程，m=0是Legendre方程.Legendre方程或連帶Legendre方程往往與的邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題，決定了l只能取整數(shù)。2. Laplace 方程在柱坐標(biāo)系中分離變數(shù)。 （13）分離變數(shù)： （14） （15）的本征函數(shù)： （9） （16） （17）得：（1） （20） （21）（2

2、） 令 （22） 得m階Bessel方程 （23）m階Bessel方程與齊次邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題。關(guān)于z: （24）（3） 令： （25）與圓柱的上下底面構(gòu)成本征值問(wèn)題。作代換： （26）得虛宗量Bessel方程： （27）.波動(dòng)方程輸運(yùn)方程（28） （29） （30） （31） 關(guān)于時(shí)間的解： .方程： （34）（）球系： （35） （2）分離得：若，令 （37）得：， （38）若得uler方程 （39）（）柱系： （40）的本征函數(shù)：or (9)令得： (43)再令得：，即是m階Bessel方程 (44)(41)式與處齊次邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題，決定的可能數(shù)值(43)或(44)式與處齊次

3、邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題， 決定可能是數(shù)值必然有，則為兩個(gè)本征值的合并，因此5.球內(nèi)軸對(duì)稱(chēng)（m=0,與無(wú)關(guān)）問(wèn)題一般解 （45）考慮到球心為有限值，即有限，（1） 常用的Legendre公式： （46）（2） 微分表示： （47）（3） 模： （48）（4） 母函數(shù)： （49）6一般球函數(shù) （50） （51）（1） 微分表示： （52）（2） 模： （53）（3） 廣義Fourier級(jí)數(shù)： （54）或 （55） 綜上所述：Laplace 方程在非對(duì)稱(chēng)情況下一般解為： （56）其中系數(shù)為 （57）其中 （58）（4）常用連帶Legendre多項(xiàng)式： （59）注：1.f(x)為奇函數(shù)，廣義Fouri

4、er展開(kāi)，l=2n2.f(2)為偶函數(shù)，廣義Fourier展開(kāi)，l=2n+17.柱函數(shù)（1）Bessel方程：， （60）虛宗量Bessel方程：， （61）球Bessel方程：， （62）（2）線(xiàn)性對(duì)立解（60）的解： （63） 或： （64）其中為Neumann函數(shù) （65）Hankel函數(shù)： （66）（3）漸進(jìn)行為AB； （67） ； （68）注：1.Hankel函數(shù)很好地描述波的發(fā)射問(wèn)題；2.實(shí)心柱問(wèn)題只取 3.空心柱問(wèn)題 不能排除Neumann 函數(shù) 4.柱外問(wèn)題 和或和都要保留(4)本征值問(wèn)題Bessel方程與柱側(cè)齊次邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題。只討論A 第一類(lèi)齊次邊界條件：，即。是第

5、n個(gè)零點(diǎn)本征值：，是第n個(gè)零點(diǎn)模： （69）B第二類(lèi)齊次邊界條件：，即。本征值：，是第n個(gè)零點(diǎn)。特別的，m=0：一般有： （70）模： （71）C.Fourier-Bessel 級(jí)數(shù) （72）常用下列積分幫助計(jì)算系數(shù)： （73）有： （74）D解的一般形式：， （75-1）， （75-2）（5）虛宗量Bessel方程，其解是m階虛宗量Bessel函數(shù) （76）和m階虛宗量Hankel函數(shù) （77）虛宗量Bessel方程與處齊次邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題。A 一般解或 （78）B 漸進(jìn)行為：； （79）（6）球Bessel方程，代換，A.線(xiàn)性獨(dú)立解在下列五種中任取兩種球Bessel函數(shù), （80）球Neumann函數(shù) （81）球Hankel函數(shù), （82） B.常用初等表示：<1>， （83）<2>, （84） <3>, (85) , (86) C.漸進(jìn)行為：，因此只取