1、實用標準文檔蒙日圓及其證明甘志國（已發(fā)表于河北理科教學研究，2015（5）:11-13）22高考題 （2014年高考廣東卷文科、理科第20題）已知橢圓Cixy+nMa>b>0）的a b一個焦點為（J5,0）,離心率為 .3（1）求橢圓C的標準方程；（2）若動點P（x0,y0）為橢圓C外一點，且點p到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點 p 的軌跡方程.22答案：（1） 土+_y_=1 ； （2）x2 +y2 =13.94這道高考題的背景就是蒙日圓.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學2 必修 A版（人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷）第22頁對畫法幾何的創(chuàng)始人蒙日（G.Mo

2、nge, 1745-1818）作了介紹.以上高考題第（2）問的一般情形是 22定理1 曲線與+2=1的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是圓 a bx2 y2 二a2 b2.定理1的結論中的圓就是蒙日圓.先給出定理1的兩種解析幾何證法：定理1的證法1當題設中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時，可得點P的坐標是（±a, b）,或（+a,-b）.當題設中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設點 P的坐標是（x0 ,y0）（x0 ±a,且y0 #幼）,所以可設曲線的過點 P 的切線方程是y - y0 =k(x - x0)(k =0).L 22上+L=1由a

3、2b2,得y y0 =k(x x0)(a2k2 b2)x2 -2ka2(kx0 -y0)x a2(kx0 -y0)2 -a2b2 =0由其判別式的值為0,得222-22_22_(Xo -a2)k2-2x0y0k y0b2 =0(x0 -a2:0)因為kpA,kpB是這個關于k的一元二次方程的兩個根，所以kPAy02 b2PB =22xo a由此，得2 . 2一22kpA kpB = -1 ：= x ' y0 a b進而可得欲證成立.定理1的證法2 當題設中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時，可得點P的坐標是（土a, b）,或（±a,-b）.當題設中的兩條互相垂直的

4、切線中的斜率均存在且均不為0時，可設點 P的坐標是X2X y2y1=1 .所以:a b（4必） #1a,且y0 #劃，所以可設兩個切點分別是A（Xi, y） B（“g區(qū)”y?*0）.得直線 AB：W+%2y=1,切線 PA:空+邛 =1,PB a ba bkPAkPBb2x1 j b2x2 'a2yi 人 a2y24b x1x2=-4a y2yi V2 %丫2-x1 x2x1 x2b4-4 koA koB - - kpAkpB22因為點（xi, yi）（i =1,2）既在曲線+上=1上又在直線 a b十仁J&x +紗:a b2 a2b2上，所以a4(yo -b2)幺 I +2a

5、2b2xoyo 之 十b4(xo -a2)=0lx J<xi )所以* W取24/22、b (xo -a )272- a (yo -b )b4-4akPAkPB文案大全2.2kPAkPB_ yo -b一 22xo -a由此，可得PA_ PB= %2 yo2 =a2 b2進而可得欲證成立.再給出該定理的兩種平面幾何證法，但須先給出四個引理引理1 （橢圓的光學性質(zhì)，見普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修 2-1 A版 （人民教育出版社，2。7年第2版，2。14年第1次印刷）第76頁）從橢圓的一個焦點發(fā)出的光 線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上（如圖1所示）.圖1證明 如圖2所示

6、，設P為橢圓(其左、右焦點分別是 F3F2)上任意給定的點，過點P作/F1PF2的外角平分線所在的直線 1(/3=/4).先證明1和相切于點P,只要證明l上異于P的點P'都在橢圓的外部，即證 PFi +|P52 >PFi +PF2 :圖2在直線PFi上選取點F',使PF=PF2 ,得麗尸匕蛇52,所以|pF'=PF2|,還 得PFPF2| |PFi| -.-|PF ' . FiF 1 |FiP PF | |PFi - PF2再過點P作/EPF2的平分線PA(/i=/2),易得PA_Ll ,入射角等于反射角，這就 證得了引理1成立.引理2過橢圓(其中心是點O

7、,長半軸長是a)的任一焦點F作橢圓的任意切線l的 垂線，設垂足是 H,則OH| =a.證明 如圖3所示，設點F',F分別是橢圓的左、右焦點，A是橢圓的切線l上的切點，又設直線 FH,FA交于點B.圖3),進而可得AFAH由引理1,得NFAH =/lAF' = /BH (即反射角與入射角的余角相等9 ZiBAH ,所以點 H是FB的中點，得 OH是ZBFF'的中位線.又AF = AB ,所以1.1.OH =q(FA AB) =q(FA AF)=a.引理3平行四邊形各邊的平方和等于其兩條對角線的平方和證明 由余弦定理可證(這里略去過程).弓I理4 設點P是矩形ABCD所在平

8、面上一點，則 pA2 +pc2 =pB2 + pd 證明如圖4所示，設矩形ABCD的中心是點O.圖4由引理3,可得_22_222222PA PC =2(OA OP)=2(OB OP ) = PB PD即欲證成立.注 把引理4推廣到空間，得到的結論就是：底面是矩形的四棱錐相對側棱長的平方和 相等.定理1的證法3 可不妨設a >0,b >0 .當a =b時，易證成立.下面只證明a>b的情形.如圖5所示.設橢圓的中心是點 O,左、右焦點分別是 Fi,F2 ,焦距是2c,過動點P的 兩條切線分別是 PM ,PN .圖5連ZOPP ,作OG_LPM,OH _LPN ,垂足分別是G,H

9、.過點Fi作FQ_LPM ,垂足為D,由引理2得OD =a.再彳F1K 1OG 于 K .記 /OF1K =日，得 DG = FiK| =ccos9 .一222ccc由 Rt ZiODG，得 OG = OD DG =a2 c2 cos2 9 .又作F2E _LPN,F2L _LOH ,垂足分別為E,L .在 Rt AOEH中，同理可得OH |2 =OE2 -HE|2 =a2c2sin2e.若PM _L PN ,得矩形OGPH ,所以OP = OG| "OH =(a2 -c2 cos2 u) (a2 -c2sin2 1) =a2 b2(2)若 OPOP2 =(a2 -c2 cos29)

10、 +(a2 -c2 sin2 9) = OG2 + OH 一 22，所以 GP = OH .由 OG _LPM ,得 OP =OG +GP同理，有OG = HP ,所以四邊形 OGPH是平行四邊形，進而得四邊形OGPH是矩形，所以PM _ PN .由,(2)得點P的軌跡方程是x2 +y2 =a2 +b2.定理1的證法4 可不妨設a >0,b >0 .當a =b時，易證成立.下面只證明a>b的情形.如圖6所示.設橢圓的中心是點 O,左、右焦點分別是 巳下2,焦距是2c,過動點P的兩 條切線分別是PA, PB ,兩切點分別為 A, B .分別作右焦點F2關于切線 PA, PB的對

11、稱點 M , N ,由橢圓的光學性質(zhì)可得三點F1, A, M共線（用反射角與入射角的余角相等）.同理，可得三點F1, B, N共線.圖6由橢圓的定義，得 MF1 = AF1 +|AF2 =2a, NF1| =|BF1| +| BF2| =2a ,所以MF1| =|NF1 .由。是F1F2的中點，及平行四邊形各邊的平方和等于其兩條對角線的平方和，可得PF12 +|PM 2 = PF1 2 +|PF2|2 =2(OF2 2 + OP2) =2(c2 +|OP2)若 PA_L PB ,得/MPF1 +/NPF1 =2(/APF2 +/BPF2) =1801 即三點 M ,P,N 共線.又 PM I

12、=|PF2 =|PN ,所以 PF1 1 MN ,進而得4a2 =|MF12 =|PF1|2+ PM 2 =2(c2 + OP2)OP2 =a2 +b2 22,9 一 (2)若 OP =a +b ,得22222222112PF1 +PM| =2(c2+OP ) =2(c2+a2+b2)=4a2 =|MF1所以PF1 , PM同理，可得PFi .L PN .所以三點M , P,N共線.m1 ,、一得/APB =/APF2 +NBPF2 = (/MPF2 +/NPF2) = 90: 即 PA± PB. 2由(1),(2)得點P的軌跡方程是x2 +y2 =a2 +b2.定理1的證法5 (該

13、證法只能證得純粹性)可不妨設a >0,b >0 .當a =b時，易證成立.下面只證明ab的情形.如圖7所示，設橢圓的中心是點O,左、右焦點分別是 巳下2,焦距是2c,過動點P的兩條切線分別是 PA, PB ,切點分別是 A, B .設點Fi關于直線PA, PB的對稱點分別為 f/,F2'，直線FiF：與切線PA交于點G ,直線F1F2與切線PB交于點H .圖7得 AR，AF BF2= BfJ ,再由橢圓的定義，得 F1 F2 =F；F2 =2a ,所以 OG =OH|=a.一一.一2222c因為四邊形PGF1H為矩形，所以由引理 4得OF/ +OP =OG +OH| =2a

14、 ,所以OP2 =a2 +b2,得點P的軌跡方程是x2 +y2 =a2 +b2.讀者還可用解析幾何的方法證得以下結論：22定理2 (1)雙曲線 與-4= 1(a >b >0)的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓 a b222.2x y 二a -b ；2(2)拋物線y = 2 px的兩條互相垂直的切線的交點是該拋物線的準線222定理3 (1)橢圓與+%=1(abA0)的兩條斜率之積是 一號 的切線交點的軌跡方a ba2x y程是2 a2 b222（2）雙曲線2- yr =1（a >0,b >0）的兩條斜率之積是-b2的切線交點的軌跡方程是a ba=2.2 y_ b2222

15、2定理4過橢圓xy +2r =2（ab >0）上任一點P（x0, y0）作橢圓 與+4 = 1的兩條a2 b2a2b2切線，則（1）當X0 = ±a時，所作的兩條切線互相垂直；b2（2）當X0 #±a時，所作的兩條切線斜率之積是ba22定理5 （1）橢圓x2+與=1（a >b>0）的兩條斜率之積是 入（入#0）的切線交點的軌跡 a br是：當九=一1時，即圓x2+y2 =a2+b2（但要去掉四個點（土a,b）,（土a,b）；22當九<0且九# 1時，r即橢圓 一x- +-y2 =1 （但要去掉四個點2b2b2 - a2a -（土a,b）,（±

16、;a,4）；b .當九=時，即兩條直線ab .一y = ± x在橢圓a22與+32 =1（a>b>0）外的部分（但a b要去掉四個點（土a,b）, （土a,北）；b2當0 <九M=時，V即雙曲線a2y 22b - 1 a222=1在橢圓三十與=1（abA0）b22a2 b2- -a外的部分（但要去掉四個點（土a, b）, （土a, -b）；一 b2當九 2時,a2222F即雙曲線 一-2 -2y2 =1在橢圓 + 4 =1（a a b a 0）外2 b a -ba ba -的部分（但要去掉四個點（土a, b）, （士a, -Jb）.22（2）雙曲線 與%=l（a b 0）的兩條斜率之積是 九（九#0）的切線交點的軌跡 是: a b當九二1時，即圓x2 +y2 =a2 b2；22當A0時，即雙曲線x 2 y一- =1 ；2 b-a2 b2a222當 九丈 一1或 一1 九父一F時， 即橢圓 一-2 +y2 = 1 ；a2b - a -ba當b2. .一 F 九C 0時，不存在. a2（3）拋物線y =2px的兩條斜率之積是九（九。0）的切線交點的軌跡是:當九0時，即直線x = -p當九：0時，的方程為x P、 y1>Aj.（北京市海淀區(qū)2015屆高三第一學期期末文科數(shù)學練習第14題