1、第一章 勾股定理知識點一：勾股定理定義 畫一個直角邊為3cm和4cm的直角ABC，量AB的長；一個直角邊為5和12的直角ABC，量AB的長發(fā)現32+42與52的關系，52+122和132的關系，對于任意的直角三角形也有這個性質嗎？直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）1如圖，直角ABC的主要性質是：C=90°，（用幾何語言表示）兩銳角之間的關系： ；若D為斜邊中點，則斜邊中線 ；若B=30°，則B的對邊和斜邊： ；（給出證明）三邊之間的關系： 。知識點二：驗證勾股定理 知識點三：勾股定理證明（等面積法）例1。已知：在ABC中，C=90

2、76;，A、B、C的對邊為a、b、c。 求證：a2b2=c2。證明：例2。已知：在ABC中，C=90°，A、B、C的對邊為a、b、c。求證：a2b2=c2。證明：知識點四：勾股定理簡單應用 在RtABC中，C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c(2) 已知：b=5，c=13，求a知識點五：勾股定理逆定理如果三角形的三邊長為，滿足，那么，這個三角形是直角三角形利用勾股定理的逆定理判別直角三角形的一般步驟： 先找出最大邊（如c） 計算與，并驗證是否相等。 若=，則ABC是直角三角形。若，則ABC不是直角三角形。1.下列各組數中，以a，b，c為邊的三角形不是Rt的是（）

3、A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24 C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三邊長為,則這個三角形是( )A. 等邊三角形 B. 鈍角三角形 C. 直角三角形 D. 銳角三角形3.已知 ,則由此為三邊的三角形是 三角形.知識點六：勾股數（1）滿足的三個正整數，稱為勾股數（2）勾股數中各數的相同的整數倍，仍是勾股數，如3、4、5是勾股數，6、8、10也是勾股數（3）常見的勾股數有：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25； 11、60、61；9、40、411.設、是直角三角形的三邊,則、不可能的是（ ）.A.3,5,4 B.

4、5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,151. 若線段a，b，c組成Rt，則它們的比可以是（）A.234 B.346 C.51213D.467知識點七：確定最短路線1. 一只長方體木箱如圖所示，長、寬、高分別為5cm、4cm、3cm,AB有一只甲蟲從A出發(fā)，沿表面爬到，最近距離是多少？2.如圖,一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路程（ 取3）是 .AB知識點八：逆定理判斷垂直1在ABC中，已知AB2BC2CA2，則ABC的形狀是( )A銳角三角形；B直角三角形；C鈍角三角形；D無法確定2如圖，正方形網格中的ABC，若小方格邊長為1，則ABC是(

5、)A直角三角形 B銳角三角形 C鈍角三角形 D以上答案都不對知識點九：勾股定理應用題1.在我國古代數學著作九章算術中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？2.如圖為某樓梯,測得樓梯的長為5米,高3米,計劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長度至少需要_米.3.一根直立的桅桿原長25m，折斷后，桅桿的頂部落在離底部的5m處，則桅桿斷后兩部分各是多長？4.某中學八年級學生想知道學校操場上旗桿的高度，他們發(fā)現旗桿上的繩子

6、垂到地面還多1米，當他們把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現下端剛好觸地面，你能幫他們把旗桿的高度和繩子的長度計算出來嗎？綜合練習一一、選擇題1、下面幾組數:7,8,9;12,9,15;m2 + n2, m2 n2, 2mn(m,n均為正整數,mn);,.其中能組成直角三角形的三邊長的是( ) A.; B.; C.; D.2已知一個Rt的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A.25B.14 C.7D.7或253.三角形的三邊長為,則這個三角形是( )A. 等邊三角形; B. 鈍角三角形; C. 直角三角形; D. 銳角三角形.4.ABC的三邊為a、b、c且(a+b)(a-b)=c2，則( )A.

7、a邊的對角是直角 B.b邊的對角是直角C.c邊的對角是直角 D.是斜三角形5.以下列各組中的三個數為邊長的三角形是直角三角形的個數有（ ）6、7、8，8、15、17，7、24、25，12、35、37，9、40、41A、1個 B、2個 C、3個 D、4個6.將直角三角形的三邊擴大相同的倍數后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不是直角三角形7.若ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則ABC是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.如圖，=90°，=5，=8，=11，則

8、的長為 （ ）A、10 B、11 C、12 D、139.如圖、山坡的高=5，水平距離=12，若在山坡上每隔0.65栽一棵茶樹,則從上到下共 ( )A、19棵 B、20棵 C、21棵 D、22棵10.RtABC中，=90°，、所對的邊分別是、，若=2，則+的值是 （ ）A、6 B、8 C、10 D、411.下列各組數據中，不能構成直角三角形的一組數是（）、9，12，15 B、，1， C、0.2，0.3，0.4 D、40，41，912.已知，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A

9、.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空題1.在RtABC中，C=90°，若a=5，b=12，則c=_；若a=15，c=25，則b=_；若c=61，b=60，則a=_；若ab=34，c=10則SRtABC=_2.現有長度分別為2、3、4、5的木棒，從中任取三根，能組成直角三角形，則其周長為 3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知兩邊求 ；勾股定理的逆定理的作用是用來證明 4.如圖中字母所代表的正方形的面積：= = 5.在ABC中，C90°，若 a5，b12，則 c 6.ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，則高AD= ，SABC = 。7.在RtA

10、BC中，有一邊是2，另一邊是3，則第三邊的平方是 。8.在ABC中，AC=17 cm，BC= 10 cm，AB=9 cm，這是一個_三角形（按角分）。9.已知一個三角形的三邊長分別是12cm，16cm，20cm，則這個三角形的面積為 。三、簡答題1.判斷正誤，并指出為什么？（1）ABC的兩邊為3和4，求第三邊 解：由于三角形的兩邊為3和4，所以它的第三邊c為5。（2）若已知ABC為直角三角形，則第三邊為52.在ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(mn)。 求證：ABC是直角三角形。3.求斜邊長17厘米，一條直角邊長15厘米的直角三角形的面積(畫圖求解)4.已知一艘輪船以

11、16的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開港口，以12的速度向東南方向航行，它們離開港口一個半小時相距多少千米？(畫圖求解)5.如圖，一根旗桿在離地面9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前有多高？6.如圖，在四邊形ABCD中，BAD =，DBC =，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD； 家庭作業(yè)：一、基礎達標:1. 下列說法正確的是（）A.若 a、b、c是ABC的三邊，則a2b2c2； B.若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2；C.若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2；D.若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c22.

12、ABC的三條邊長分別是、，則下列各式成立的是（）A B. C. D. 3直角三角形中一直角邊的長為9，另兩邊為連續(xù)自然數，則直角三角形的周長為（）A121 B120 C90 D不能確定4斜邊的邊長為，一條直角邊長為的直角三角形的面積是 ACB5假如有一個三角形是直角三角形，那么三邊、之間應滿足 ，其中 邊是直角所對的邊；如果一個三角形的三邊、滿足，那么這個三角形是 三角形，其中邊是 邊，邊所對的角是 6一個三角形三邊之比是，則按角分類它是 三角形7如圖，已知中，以直角邊為直徑作半圓，則這個半圓的面積是 8 一長方形的一邊長為，面積為，那么它的一條對角線長是 二、綜合發(fā)展:1如圖，一個高、寬的大

13、門，需要在對角線的頂點間加固一個木條，求木條的長2.一個三角形三條邊的長分別為，這個三角形最長邊上的高是多少？3m4m20m3如圖，小李準備建一個蔬菜大棚，棚寬4m，高3m，長20m，棚的斜面用塑料薄膜遮蓋，不計墻的厚度，請計算陽光透過的最大面積. 4如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達小樹和伙伴在一起？勾股定理綜合二1如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8?，F將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于 AC

14、DBE1題2已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（ ）cm2ABEFDC第2題 3已知：將正長方形紙片ABCD折疊兩次，第一次折痕為AC，第二次折痕為AE，且點D落在F處.若長方形長為4，寬為3，求DE.4已知：如圖，ABC中，C90º，AD是角平分線，CD15，BD25求AC的長分類討論思想1 在RtABC中，已知兩邊長為3、4，則第三邊的長為 2在RtABC中，已知兩邊長為5、12，則第三邊的長為 3等腰三角形的兩邊長為10和12，則周長為_，底邊上的高是_，面積是_。4.一個直角三角形，有兩邊長分別

15、為6和8，下列說法正確的是（ ）A. 第三邊一定為10 B. 三角形的周長為25 C. 三角形的面積為48 D. 第三邊可能為10確定三角形形狀1已知a、b、c是ABC的三邊，且a2c2b2c2a4b4，試判斷三角形的形狀2. 在ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，則ABC是否為直角三角形？為什么？3.若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則ABC為 三角形（填銳角、直角或鈍角）4.已知三角形的三邊分別是n-2，n，n+2，當n是多少時，三角形是一個直角三角形？最短距離問題ABCDL1.如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的

16、同側，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？2. 如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？ 3.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是 4.如圖，在直角ABC中，AB=4，BAC=45

17、°，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（ ）5.如圖，在正方形ABCD的邊AB上連接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角邊上連接正方形，無限重復上述過程，如果第一個正方形ABCD的邊長為1，那么第個正方形的面積為 綜合練習三一、選擇題1. 直角三角形一直角邊長為12，另兩條邊長均為自然數，則其周長為( ).（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能確定2. 直角三角形的斜邊比一直角邊長2 cm，另一直角邊長為6 cm，則它的斜邊長（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm（D）12 cm3. 已知一個Rt的兩邊長分別為3

18、和4，則第三邊長的平方是（）（A）25（B）14（C）7（D）7或254. 等腰三角形的腰長為10,底長為12,則其底邊上的高為( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D）645. 五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（ ） 6. 將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數, 得到的三角形是( )（A） 鈍角三角形 （B） 銳角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.7. 如圖小方格都是邊長為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是 ( )（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.58. 三角形的三邊長為,則這個三角形是

19、( )（A） 等邊三角形 （B） 鈍角三角形 （C） 直角三角形 （D） 銳角三角形.9.ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地.已知C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮元計算，那么共需要資金（ ）.（A）50元 （B）600元 （C）1200元 （D）1500元10.如圖EABCD，ABCD于B，ABD和BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的長為（ ）.（A）12 （B）7 （C）5 （D）13 （第10題） （第11題） （第14題）二、填空題11. 如圖為某樓梯,測得樓梯的長為5米,高3米,計劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長度至少需要_米.12. 在直角三角形中，斜邊=2，則=_.13. 直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數，則其周長為 .14. 如圖，在ABC中，C=90°，BC=3，AC=4.以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓的面積是_. （第15題） （第16題） （第17題）15. 如圖，校園內有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛_米.16. 如圖，ABC中，C=90°，A