1、用數(shù)形結(jié)合的方法求解導(dǎo)數(shù)問題的探討 大港區(qū)油田第一中學(xué) 楊玉萍內(nèi)容摘要數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用這種方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.從2000年新課程改革開始，導(dǎo)數(shù)的考查重點已經(jīng)由原來的考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，躍升為考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，特別是近幾年的高考題目更是將導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、三角、不等式、向量等問題綜合，導(dǎo)數(shù)作

2、為數(shù)學(xué)工具的作用越來越明顯。本文通過對近幾年高考導(dǎo)數(shù)問題的研究，結(jié)合具體實例提出了用數(shù)形結(jié)合求解導(dǎo)數(shù)問題的新思路。容易看出通過對導(dǎo)函數(shù)的研究可以得出原函數(shù)的大致圖形，再利用圖形去幫助我們分析和解決相關(guān)導(dǎo)數(shù)問題，這正是體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)解題的重要方法-數(shù)形結(jié)合法，本文對此進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù)、應(yīng)用、圖象、數(shù)形結(jié)合。正 文 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用這種方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形

3、象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.分析近幾年26個省市的高考試題不難發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)與概率等新增內(nèi)容在高考試題中所占的比重越來越大而且綜合程度也越來越高。尤其是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用已經(jīng)由單純的求導(dǎo)數(shù)、極值、最值問題演變?yōu)閷?dǎo)數(shù)與函數(shù)、三角、不等式、向量等問題的綜合。導(dǎo)數(shù)作為解題工具的作用也越來越明顯。以往我們談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用往往局限于運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值。但隨著導(dǎo)數(shù)問題研究的深入，導(dǎo)數(shù)除了研究單調(diào)區(qū)間，求極值，求最值，還涉及了函數(shù)恒成立問題，研究方程的根的情況等，越來越多的情況表明導(dǎo)數(shù)在函數(shù)圖形問題方面的應(yīng)用非常重要，出現(xiàn)的比例也相當(dāng)?shù)母?，所以?dǎo)數(shù)作為求解函數(shù)問題的

4、圖形工具，即導(dǎo)數(shù)的圖形應(yīng)用也就成了我們研究的一個重點。一運用導(dǎo)數(shù)知識可以作出函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求解相關(guān)問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)以后，作為教師，首先要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值等來繪制出函數(shù)的大致圖象。例如2005年全國高考題：設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)。（1）求的極值。（2）當(dāng)a 在什么范圍內(nèi)取值時曲線與軸僅有一個交點。解（1），令得或。 當(dāng)變化時，的變化情況如下表：x1 + 0 0 + a-1 所以的極大值是，極小值是。 （2） 有了第一問的解作為鋪墊，我們很容易由單調(diào)性與極值作出函數(shù)的大致圖象如下： 所以，欲使函數(shù)與軸僅有一個公共點，則函數(shù)的圖象需向上或向下作一個平移使得極大值點對應(yīng)

5、圖象在軸下方或極小值點對應(yīng)圖象在軸上方。如圖所示： 由圖可知要使函數(shù)圖象和軸只有一個交點只需或，于是輕松可得的取值范圍為。本小題主要考察了導(dǎo)數(shù)的概念與運算并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法。其中運用數(shù)形結(jié)合的方法為我們解決問題提供了方便。類似的問題出現(xiàn)在06年四川的高考題中：已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)（）對滿足的一切的值，都有，求實數(shù)的取值范圍；（）設(shè)，當(dāng)實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點。解：（）略。（）當(dāng)時，的圖象與直線只有一個公共點當(dāng)時，列表： 極大極小利用上表可作出函數(shù)大致圖形如下： 由圖可知要使的圖象與直線只有一個公共點只需： 或 的取值范圍是本小題主要考察函數(shù)的單調(diào)性

6、、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識，以及推理能力、運算能力和數(shù)形結(jié)合的解題能力。很顯然利用導(dǎo)數(shù)作出函數(shù)圖形可以很快的幫助我們解決問題，而且也可以加深學(xué)生對問題的理解。二運用導(dǎo)數(shù)的圖象應(yīng)用可以在解題中起到化繁為簡，以易馭難的目的。如04年高考浙江試題：已知為實數(shù)，。（1）求導(dǎo)數(shù)（2）若求在上的最大值和最小值（3）若在和上都是遞增的，求的取值范圍。解：（1）由原式得 （2）由得，此時有， ，由得或，又， ，所以在上的最大值為，最小值為。（3）原高考答案為：的圖象為開口向上且過點的拋物線，由條件得 即 于是得。此題這樣做是運用二次函數(shù)的圖象特征，通過數(shù)形結(jié)合的方法，雖找到了答案但也不勝其煩，較難理解。

7、筆者認(rèn)為，如果利用導(dǎo)數(shù)知識作出原函數(shù)的大致圖形來求解可能更為簡便。分析如下：由于原函數(shù)為三次函數(shù)，且必有兩根即極值點，又分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)時必然有，所以函數(shù)圖形大致可為：欲使在和上都遞增，則有成立即同時。易解得。顯然經(jīng)過這樣一處理，本題就顯得易于理解和掌握了。此外對于一些較難的導(dǎo)數(shù)問題，我們也可以通過數(shù)形結(jié)合的方法達(dá)到分組轉(zhuǎn)化幫助解題的目的。例如：設(shè)函數(shù) （,且），當(dāng) x=-1時取得極大值2。 用關(guān)于a的代數(shù)式分別表示 b,c . 求a的取值范圍解：,由已知可得：即 由可知。于是，令的得或。要使有極大值，則原函數(shù)圖形可有如下兩種情形： 于是有或輕松可推得。三利用數(shù)形結(jié)合思想方法研究方程解的問題利用數(shù)形

8、結(jié)合思想方法研究方程解的問題是數(shù)形結(jié)合中比較常見的題型,也是近幾年高考中常考的一種題型.在利用數(shù)形結(jié)合思想方法研究方程解的問題時,.常用數(shù)形結(jié)合法，等價轉(zhuǎn)化法，導(dǎo)數(shù)法來研究函數(shù)法。已知函數(shù)（I）求在區(qū)間上的最大值（II）是否存在實數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。解：（I）當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，綜上，（II）函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有三個不同的交點。當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)或時，當(dāng)充分接近0時，當(dāng)充分大時，要使的圖象與軸正半軸有三個不同的交

9、點，必須且只須即所以存在實數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有且只有三個不同的交點，的取值范圍為注：結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出草圖，可使問題獲得直觀解決。最后對于近兩年的高考試題中出現(xiàn)的已知導(dǎo)函數(shù)的圖形來分析函數(shù)的單調(diào)性和極值的問題，如05年江西：已知函數(shù)的圖象如右圖所示，則下面四個圖象中的圖象大致是（ ）以及06年湖北省八校聯(lián)考：設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如左圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f ¢(x)可能為（）這些都是典型的利用導(dǎo)函數(shù)或原函數(shù)圖象性質(zhì)來求函數(shù)的單調(diào)性和極值的問題。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。利用數(shù)形結(jié)合求解導(dǎo)數(shù)問題也正好體現(xiàn)了這一點。近年來導(dǎo)數(shù)問題正成為高考的熱點，導(dǎo)數(shù)和三角、立