1、數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程教材及參考書目教材及參考書目 （3）姜禮尚，數(shù)學(xué)物理方程講義，（1）王元明，管平，數(shù)學(xué)物理方程，（2）谷超豪等，數(shù)學(xué)物理方程，高等教育出版社，2005 （第二版）高等教育出版社，2007 （第三版）東南大學(xué)出版社， 1991.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系 課程的主要內(nèi)容課程的主要內(nèi)容數(shù)學(xué)和物理密不可分，數(shù)學(xué)對(duì)于物理的影響是 數(shù)學(xué)物理方程的定義數(shù)學(xué)物理方程的定義 用微分方程來描述給定的物理現(xiàn)象和物理規(guī)律。三種方程、 四種求解方法、 二個(gè)特殊函數(shù)分離變量法行波法積分變換法格林函數(shù)法波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)方程位勢(shì)方程貝塞爾函數(shù)勒讓德函數(shù)深遠(yuǎn)的。

2、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 哈密爾頓算子或梯度算子，讀作nabla ijkxyz 2222222zyx22222yuxuuuugradAAdivAArot拉普拉斯算子 微積分知識(shí)回顧微積分知識(shí)回顧與梯度算子有關(guān)的場(chǎng)論運(yùn)算 平面上的拉普拉斯算子 常微分方程的求解：常見的一階方程、可降階高階方程、二階線性方程 傅里葉級(jí)數(shù)理論：傅里葉級(jí)數(shù)及其系數(shù)、正弦級(jí)數(shù)、余弦級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 拉普拉斯方程： 熱傳導(dǎo)方程： 波動(dòng)方程： 02 uuatu22uatu2222三類偏微分方程三類偏微分方程 兩種特殊函數(shù)兩種特殊函數(shù) 貝塞爾方程 0)(222 ynxyxyx勒讓德方程 0)

3、1(2)1 (2 ynnyxyx)(xJn)(xPn琴弦的振動(dòng)；桿、膜、液體、氣體等的振動(dòng)；電磁場(chǎng)的振蕩等 熱傳導(dǎo)中的溫度分布；流體的擴(kuò)散、粘性液體的流動(dòng) 空間的靜電場(chǎng)分布；靜磁場(chǎng)分布；穩(wěn)定溫度場(chǎng)分布 的解：貝塞爾函數(shù) 的解：勒讓德函數(shù) （位勢(shì)方程的一種）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、典型方程的推導(dǎo)一、典型方程的推導(dǎo)第一章第一章 方程的推導(dǎo)與分類方程的推導(dǎo)與分類三、定解條件與定解問題三、定解條件與定解問題四、二階線性偏微分方程的分類和化簡(jiǎn)四、二階線性偏微分方程的分類和化簡(jiǎn) 二、偏微分方程的基本概念二、偏微分方程的基本概念 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常見數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出常見

4、數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出確定所要研究的物理量u，比如位移、場(chǎng)強(qiáng)、溫度 根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程 通過合理的數(shù)學(xué)近似對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)物理方程定解問題的提法數(shù)學(xué)物理方程定解問題的提法泛定方程（波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、拉 普拉斯方程）定解問題定解問題：定解條件（初始條件，邊界條件）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一一、典型方程的推導(dǎo)典型方程的推導(dǎo)條件：條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近作微小橫振動(dòng)。不受外力影響。例例1 1、弦的振動(dòng)、弦的振動(dòng)研究對(duì)象：研究對(duì)象：線上某點(diǎn)在 t 時(shí)刻沿縱向的位移。( , )u x t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 弦振動(dòng)的相關(guān)模擬弦振動(dòng)的相關(guān)模擬機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

5、下頁 返回 結(jié)束 簡(jiǎn)化假設(shè)：簡(jiǎn)化假設(shè)：(2)橫向振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(1)弦柔軟，弦上任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛頓運(yùn)動(dòng)定律：牛頓運(yùn)動(dòng)定律：sinsinTTgdsma橫向：coscosTT縱向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx其中：ddsx22( , )mdsu x tat在一平面內(nèi)在一平面內(nèi)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x t

6、Tg xxxxt22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx2222( , )( , )Tux tu x tgxt一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2Ta 令：令：-非齊次方程非齊次方程自由項(xiàng)gxuatu22222-齊次方程齊次方程忽略重力作用：22222xuatu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2 2、熱傳導(dǎo)、熱傳導(dǎo)所要研究的物理量：所要研究的物理量：溫度 ),(tzyxu根據(jù)熱學(xué)中的傅里葉實(shí)驗(yàn)定律根據(jù)熱學(xué)

7、中的傅里葉實(shí)驗(yàn)定律在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時(shí)刻t1到t2通過S 流入V的熱量為 21 1 d dttSQk uSt 高斯公式（矢量散度的體積分等于21 21 d dttVQkuVt dd duQkS tnd dku nS t d dk uS t 熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均 勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場(chǎng)MSSVn該矢量的沿著該體積的面積分）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21 21 d dttVQku V t ),(1tzyxu),(2tzyxu221( , , , )( , , , ) dVQcu x y z tu x y z tV21QQ

8、流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化 2211 2 d dd dttttVVuku V tcV tt 2ukutcfuatu22流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：21 d dttVuct Vt21 d dttVucV tt 22au熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程熱場(chǎng)熱場(chǎng)MSSVn如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導(dǎo)方程非齊次熱傳導(dǎo)方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從麥克斯韋方程出發(fā)：從麥克斯韋方程出發(fā)：c0DHJtBEtDB 在自由空間：在自由空間：HBED00HEtHEtEHc0, 0J例例3 3、時(shí)變電磁場(chǎng)、時(shí)變電磁場(chǎng)H電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度電感應(yīng)強(qiáng)度電感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)

9、度DBE機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 EJc00HEtHEtEH對(duì)第一方程兩邊取旋度，)(EtH根據(jù)矢量運(yùn)算：2()HHH 2()HHtt222tHH由此得：得：即： 同理可得：2221EEt 電場(chǎng)的三維波動(dòng)方程電場(chǎng)的三維波動(dòng)方程222222221()HHHHtxyz 磁場(chǎng)的三維波動(dòng)方程磁場(chǎng)的三維波動(dòng)方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4 4、靜電場(chǎng)、靜電場(chǎng)電勢(shì) u 確定所要研究的物理量：確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：Eu/ E)(uE/2 u02 u對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)：uu2/ 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 泊松方程泊松方程 （位勢(shì)方程）（位勢(shì)方程）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

10、下頁 返回 結(jié)束 (有源有源)(無源無源)二、偏微分方程的基本概念二、偏微分方程的基本概念 定義：定義：一個(gè)含有多元未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，稱為偏微分方程。偏微分方程。一般形式：121 112,( , ,)0nnxxxx xF x xx u uuuu其中u為多元未知函數(shù)， F 是12,nxxxu有限個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的已知函數(shù)。以及u的注意：注意：在偏微分方程中可以不含未知函數(shù)u ，但必須含有未知函數(shù) u 的偏導(dǎo)數(shù)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義：定義：偏微分方程中未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為偏微分方程的階。偏微分方程的階。定義：定義：如果一個(gè)偏微分方程對(duì)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)都是一次

11、的，及其系數(shù)僅依賴于自變量，就稱為線性偏微分方程。線性偏微分方程。0,uutx例如：（一階線性）22,uauft（二階線性）20uuutx（一階非線性）330uuuutxx（三階非線性）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 波動(dòng)方程：2( , )ttxxua uf x t熱傳導(dǎo)方程：2( , )txxua uf x t位勢(shì)方程：( , )0,( , )( , )0,xxyyf x yLaplaceuuf x yf x yPoisson方程方程二階線性偏微分方程的一般形式：21,11( ,).nnijini jiijiuuabcuf xxx xx 其中 ，ijjiaa當(dāng) 時(shí)，稱方程為非齊次方程。非

12、齊次方程。當(dāng) 時(shí)，稱方程為齊次方程齊次方程0f 0f 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 L是線性偏微分算子線性偏微分算子，B是線性定解條件算子線性定解條件算子,.iiiiLufBug1,iiifc f1,iiiuc u疊加原理疊加原理 幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)特別地：,.LufBug1.iiigc g(級(jí)數(shù)收斂且可以逐 項(xiàng)所需要的微分)（級(jí)數(shù)收斂）0,0.iiLuBu0,0.LuBu1,iiiuc u機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 古典解（經(jīng)典解）：古典解（經(jīng)典解）：設(shè) 是空間 的一個(gè)區(qū)域，如果 是在 中定義的足夠光滑的函nR12(

13、 ,)nuu x xx數(shù)（例如 N 次連續(xù)可微），且將它代入方程能使其在 中恒等地成立，則稱 u是方程在 中的一個(gè)經(jīng)典意義下的解，稱為古典解。古典解。廣義解：廣義解：有時(shí)為了研究問題的需要，還可用多種方法擴(kuò)充解的概念，研究所謂廣義解。廣義解。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、定解條件與定解問題三、定解條件與定解問題同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。初始條件：初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。其他條件：其他條件：能夠用來說明某一具

14、體物理現(xiàn)象情況的條件。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 初始時(shí)刻的溫度分布：B B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件、熱傳導(dǎo)方程的初始條件 0(, )|()tu M tMC C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件A A、 波動(dòng)方程的初始條件波動(dòng)方程的初始條件 0 0|( )( )ttuxuxt初始條件初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 邊界條件邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A A、 波動(dòng)方程的邊界條件波動(dòng)方程的邊界條件(1) 已知端點(diǎn)處的位移：（a=

15、0 或 a=l )( , )( )u a th t或：|( ),x auh t第一類邊界條件當(dāng) 時(shí)，表示弦線的端點(diǎn)固定。（經(jīng)常采用）（經(jīng)常采用）( )0h t (2) 已知端點(diǎn)處受到垂直于弦線的外力: (a=0 或 a=l )|( ), |( ) ,x ax auuTg tTg txx或|( ). 0 x auh ttx當(dāng)( )0h t 時(shí)，表示端點(diǎn)不受到垂直于弦線的外力自由端自由端第二類邊界條件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3)已知端點(diǎn)處的位移和受到垂直于弦線的外力的一( ), 0 x ax auTk ug ttx( )x auuh tx第三類邊界條件個(gè)線性組合：（a=0 或 a=l

16、 )當(dāng)( )0h t 時(shí)，表示端點(diǎn)固定在一個(gè)彈簧的支承上彈性支承端彈性支承端機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 B B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1)已知溫度在邊界上的值|( , , , )suf x y z t(S為給定區(qū)域v 的邊界)第一類邊界條件當(dāng) 時(shí)，表示物體表面恒溫。.fconst(2) 已知物體通過邊界的熱量( , , , ),sukf x y z tnn是邊界 的外法向，當(dāng) 時(shí)，表示熱量流入，0f 當(dāng) 時(shí)，表示熱0f 第二類邊界條件量流出，當(dāng) 時(shí)，表示邊界絕熱。0f （Dirichlet）（Neumann）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3)熱交換狀態(tài)：牛

17、頓冷卻定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)從物體通過邊界上單牛頓冷卻定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。溫差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 1( , , , )SSuuuf x y z tn1kk第三類邊界條件與周圍介質(zhì)有熱交換1k交換系數(shù)；1u周圍介質(zhì)的溫度，（Robin）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 C C、拉普拉斯方程的邊界條件、拉普拉斯方程的邊界條件: :與與 A A、 B B類似。類似。 當(dāng) 時(shí)，稱邊界條件為為非齊次的。非齊次的。當(dāng) 時(shí)，稱邊界條件為齊次的。齊次的。0f 0f

18、在邊界條件表達(dá)式中機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1、定解問題、定解問題 把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題定解問題。2 2、定解問題的適定性、定解問題的適定性 解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性：定解條件微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng)的(1)初始問題初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題(2)邊值問題邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題(3)混合問題混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題解的存在性解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性解的唯一性：是否只有一解；微小變動(dòng)。定解問題的概念定解問題的概念機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

19、 四、二階線性偏微分方程的分類和化簡(jiǎn)四、二階線性偏微分方程的分類和化簡(jiǎn) 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程一般形式：兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程一般形式：fcuububuauauayxyyxyxx212212112fcbbaaa,21221211其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。 (1.4.1)方程(1.4.1)的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)1112222xxxyyya ua ua u(1.4.2)稱為它的主部。主部?，F(xiàn)在研究在什么樣的自變量變換下，方程的主部可以得到簡(jiǎn)化，111222,aaa不同時(shí)為零。并且稱 為方程的判別式。為方程的判別式。2121122aa a 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

20、結(jié)束 (一)設(shè)( x0 ,y0)是區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)作下面的自變量變換( , ), ( , )x yx y(1.4.3) 在高等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)知道：如果上述變換二次連續(xù)可微，且雅可比行列式( , )( , )xyxxDJD x y (1.4.4)在(x0 , y0)點(diǎn)不為零，那么在點(diǎn)(x0 , y0)的鄰域內(nèi)，變換(1.4.3)是可逆的，即存在( , ), ( , )xxyy (1.4.5)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 也就是說，方程(1.4.1)可以采用新的自變量,，*111222122a ua ua ub ub uc uf(1.4.6)具體地用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則具體地用復(fù)合

21、函數(shù)的求導(dǎo)法則 ,xxxuuu ,yyyuuu222 ,xxxxxxxxxxuuuuuu ()xyxyxyyxxyuuuu ,xyxyuu222 ,yyyyyyyyyyuuuuuu 于是得到：于是得到：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *22111112222xxyyaaaa *12111222()xxxyyxyyaaaa *22221112222xxyyaaaa 注意到第一個(gè)和第三個(gè)等式形式完全相同，注意到第一個(gè)和第三個(gè)等式形式完全相同，因此，如果我們能選擇到方程2211122220 xxyyaaa (1.4.7)的兩個(gè)函數(shù)無關(guān)的解12( , ) , ( , ) ,x yx y將變換取為1

22、2( , ) , =( , ) ,x yx y 那么方程(1.4.6)的系數(shù)*112200aa；機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方程(1.4.7)的化為2111222()20, (0)xxyyyaaa因?yàn)檠刂€ ，有( , )x yC( , )dd ,xydx yxyd ,dxyyx 代入（1.4.7)，得到即：22111222d2d dd0ayax yax(1.4. 8)事實(shí)上，若 是（1.4.7）的解，則( , )x y( , )x yC必定是（1.4.8）的解，反之亦然。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 稱方程(1.4.8)為方程(1.4.1)的特征方程特征方程。而其積分曲線為方

23、程(1.4.1)的特征曲線。特征曲線。（ 為方程的判別式）為方程的判別式）2121122aa a 不難證明：*2*2*121122 , ()Jaa a 因此在(1.4.3）下， 的符號(hào)保持不變。 顯然方程(1.4.8)可以分解為兩個(gè)方程2121211221121212112211()dd()ddaaa ayxaaaa ayxa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21211220 ,aa a 1）在(x0 , y0 )的鄰域內(nèi)積分曲線存在實(shí)12( , ) , ( , ) ,x yCx yC12, 并且線性無關(guān)。取變換12( , ) ,( , ) .x yx y那么方程(1.4.6)的系數(shù)*112

24、200aa；方程(1.4.6)可以化為uAuBuCuD(1.4.9), ,A B C D其中均為 的已知函數(shù)。, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在(1.4.9)中再作自變量變換：1() ,21() .2stst那么方程(1.4.1)最終可以化為 1111t ts stsuuAuBuCuD(1.4.10)1111,A B C D其中 均為 的已知函數(shù)。, s t弦振動(dòng)方程是(1.4.10)的特例：1110ABC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21211220 ,aa a 2）在(x0 , y0 )的鄰域內(nèi)積分曲線存在實(shí)1( , ) ,x yC2并且線性無關(guān)。取變換12( , ) ,(

25、, ) .x yx y那么方程(1.4.6)的系數(shù)*110,a 于是方程(1.4.6)可以化為uAuBuCuD(1.4.11), ,A B C D其中均為 的已知函數(shù)。, 其中與1*0, 從而*120,a( 此時(shí) )*220a機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在(1.4.11)中再作函數(shù)變換：0 1exp( , )d,2vuB 那么方程(1.4.1)最終可以化為(1.4.12)111,A C D其中 均為 的已知函數(shù)。, 熱傳導(dǎo)方程是(1.4.12)的特例： 111, 0AC 111vA vC vD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21211220 ,aa a 3）在(x0 , y0 )的

26、鄰域內(nèi)解，但有共軛復(fù)數(shù)解方程無實(shí)12( , )( , )( , ).x yx yix yC取變換（容易證明此變換可逆）12( , ) ,( , ) .x yx y那么方程(1.4.6)的系數(shù)*1122120, 0aaa方程(1.4.1)可以化為uuAuBuCuD(1.4.13), ,A B C D其中均為 的已知函數(shù)。, 拉普拉斯方程是(1.4.12)的特例：0ABCD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (二)由前面的討論可知，方程(1.4.1)通過自變量的可逆變換化為那一種標(biāo)準(zhǔn)形式，決定于它的主部系數(shù)111222 , , ,aaa若在區(qū)域中某一點(diǎn)(x0，y0)滿足：, 02211212aaa則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是雙曲型的雙曲型的. ., 02211212aaa則稱方程