1、數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）張敏王苗苗目錄目錄1DEADEA簡介及其基本模型簡介及其基本模型3系統(tǒng)的系統(tǒng)的DEADEA有效性有效性2DEADEA擴展模型擴展模型(BCC)(BCC)4DEADEA方法小結方法小結01DEADEA簡介及其基本模型簡介及其基本模型簡介簡介在人們的生產(chǎn)活動和社會活動中常常會遇到這樣的問題：經(jīng)過一段時間之后，需要對具有相同類型的部門或單位（稱為決策單元）進行評價，其評價的依據(jù)是決策單元的“輸入”數(shù)據(jù)和“輸出”數(shù)據(jù)，輸入數(shù)據(jù)是指決策單元在某種活動中需要消耗的某些量，例如投入的資金總額，投入的總勞動力數(shù)，占地面積等等；輸出數(shù)據(jù)是決策單元經(jīng)過一定的輸入之后，產(chǎn)生的表明該活動成效的某

2、些信息量，例如不同類型的產(chǎn)品數(shù)量，產(chǎn)品的質(zhì)量，經(jīng)濟效益等等再具體些說，譬如在評價某高校各個學院的時候，輸入可以是學院的全年的資金，教職員工的總人數(shù)，教學用占用教室的總次數(shù)，各類職稱的教師人數(shù)等等；輸出可以是培養(yǎng)博士研究生的人數(shù)，碩士研究生的人數(shù)，大學生本科生的人數(shù)，學生的質(zhì)量（德，智，體），教師的教學工作量，學校的科研成果（數(shù)量與質(zhì)量)等等根據(jù)輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)來評價決策單元的優(yōu)劣，即所謂評價部門（或單位）間的相對有效性簡介簡介1978年，著名運籌學家、美國德克薩斯大學教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“Measuring the efficie

3、ncy of decision making units”（決策單元的有效性度量），刊登在權威的“歐洲運籌學雜志”上。正式提出了運籌學的一個新領域：數(shù)據(jù)包絡分析，其模型簡稱 C2R 模型。該模型用以評價部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）。簡介簡介數(shù)據(jù)包絡分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價同類型組織（或項目）工作績效相對有效性的特殊工具手段。這類組織例如學校、醫(yī)院、銀行的分支機構、超市的各個營業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個指標，當各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計量時，容易計算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進行績效排序。C

4、 C2 2R R模型模型在 D E A 中 一 般 稱 被 衡 量 績 效 的 組 織 為 決 策 單 元（decision making unitDMU）。設：n 個決策單元（ j = 1，2，n ） 每個決策單元有相同的 m 項投入（輸入）（i = 1，2，m ） 每個決策單元有相同的 s 項產(chǎn)出（輸出） （r = 1，2，s ） Xij 第 j 決策單元的第 i 項投入 yrj 第 j 決策單元的第 r 項產(chǎn)出 衡量第 j0 決策單元是否DEA有效C C2 2R R模型模型定義： 1 2 3 j n v1 1 x11 x12 x13 x1j x1n v2 2 x21 x22 x23 x2

5、j x2n . . . . . . . vi . . . . . Xij . . . . . . . . vm m xm1 xm2 xm3 xmj xmn y11 y12 y13 y1j y1n 1 u1 y21 y22 y23 y2j y2n 2 u2 . . . . . . . . . . . yrj . . ur . . . . . . . ys1 ys2 ys3 ysj ysn s usn個決策單元（DMU）權系數(shù)m種輸入權系數(shù)s種輸出應用案例應用案例 對生產(chǎn)水平的相對有效性分析 某公司有甲、乙、丙三個企業(yè)，為評價這幾個企業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x x1 1、流動

6、資金x x2 2、職工人數(shù)x x3 3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y y1 1、利稅總額y y2 2）的有關數(shù)據(jù)如下表： 企業(yè)指標甲乙丙x1（萬元）41527x2 （萬元）1545x3 （萬元）824y1 （萬元）602224y2 （萬元）1268C C2 2R R模型模型對于第j個決策單元DMUj都有相應的效率評價指數(shù)： 11,1,2,sTrrjrrjmnTjiijiu yhjnv xu yv x我們總可以適當?shù)娜嘞禂?shù)v v和u u，使得hj1, j=1,，n應用案例應用案例對于第一個企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2,投入綜合值4v1+15v2+8v3，其中u1、u2 、v1 、 v2 、v3分別

7、為產(chǎn)出與投入的權重系數(shù)。我們定義第一個企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比即vvvuuh32121181541260類似，可知第二、第三個企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：vvvuuh3212122415622vvvuuh4527824321213C C2 2R R模型模型 對第j0個決策單元進行效率評價，一般說來，hj0越大表明DUMj0能夠用相對較少的輸入而取得相對較多的輸出。 這樣我們?nèi)绻麑UMj0進行評價，看DUMj0在這n個DMU中相對來說是不是最優(yōu)的，我們可以考察當盡可能的變化權重時， hj0的最大值究竟是多少。C C2 2R R模型模型如以第j0個決策單元的效率指數(shù)為目標，以所有決策單元的

8、效率指數(shù)為約束，就構造了如下的CCR（C2R）模型：1111max. .1,1,2,0,0srrjorjomiijoisrrjrmiijiu yhv xu ystjnv xuv應用案例應用案例我們限定所有的hj值不超過1，即 ，這意味著，若第k k個企業(yè)h hk k=1=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對有效的，若h hk k11，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。因此，建立第一個企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：即即12112360124158maxuuhvvv12212322611542uuhvvv12312

9、324812754uuhvvv121123601214158uuhvvv這是一個分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。1maxhjC C2 2R R模型模型上述規(guī)劃模型是一個分式規(guī)劃，使用CharnesCooper變化，令： 可變成如下的線性規(guī)劃模型P：01Tjt vxtutwv0011TjTjt wxv x由C C2 2R R模型模型（P）s001s11010,1,2,.,. .1,0,1,2,. ;1,2,.,smaxjrrjrmiijrrjirmiijiirjnstimryhywxwxw應用案例應用案例則此分式規(guī)劃可化為如下的線性規(guī)劃：1121212312123121231231231

10、2max6012601241582261542. . 2482754415810,0,0,0,0hwwwwwws twwwwwwwwwC C2 2R R模型模型 利用線性規(guī)劃的最優(yōu)解來定義決策單元j0的有效性，從模型可以看出，該決策單元j0的有效性是相對其他所有決策單元而言的。 對于CCR模型可以用規(guī)劃P表達，而線性規(guī)劃一個重要的有效理論是對偶理論，通過建立對偶模型更容易從理論和經(jīng)濟意義上作深入分析。C C2 2R R模型模型0101m in,1, 2 , .,1, 2 , ., s. .0 ,1, 2 ,Dnjijijnjrjrjjimrs tjnvxxyy無 約 束規(guī)劃P的對偶規(guī)劃為規(guī)劃D

11、：（D）應用案例應用案例其對偶問題為：123123123123123123m in41 52 741 5451 58248. .6 02 22 46 01 2681 20 ,0 ,0DVs t無 約 束C C2 2R R模型模型為了討論和計算應用方便，進一步引入松弛變量s s和剩余變量s s，將上面的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，可變成：（D）D101m i n= V. .-0 ,1 , 2 ,0 ,0njj0jnjjjjs tyjnxsxysss無約束，應用案例應用案例其對應的標準對偶規(guī)劃為：1123212331231123212312312312min4152741545158248. . 60

12、2224601268120,0,0,0,0,0,0,0DsssstsssssssV無約束02小結小結工作步驟工作步驟特點特點應用領域應用領域工作步驟工作步驟建立輸入輸出指標體系進行DEA評價分析確定評價目的確定DMU選擇DEA模型滿意？調(diào)整輸入輸出指標體系給出綜合評價分析結論YN特點特點DEA的優(yōu)點吸引了眾多的應用者，應用范圍已擴展到美國軍用飛機的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面目前，這一方法應用的領域正在不斷地擴大。它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項目評價）；研究在做決策之前去預測一旦做出決策后它的相對效果如何，即多目標決策（例如建立新廠后，新廠相對于已

13、有的一些工廠是否為有效)。DEA模型甚至可以用來進行政策評價。特點特點適用于多輸出-多輸入的有效性綜合評價問題，在處理多輸出-多輸入的有效性評價方面具有絕對優(yōu)勢。DEA方法并不直接對數(shù)據(jù)進行綜合，因此決策單元的最優(yōu)效率指標與投入指標值及產(chǎn)出指標值的量綱選取無關，應用DEA方法建立模型前無須對數(shù)據(jù)進行無量綱化處理（當然也可以）。特點特點 無須任何權重假設，而以決策單元輸入輸出的實際數(shù)據(jù)求得最優(yōu)權重，排除了很多主觀因素，具有很強的客觀性。DEA方法假定每個輸入都關聯(lián)到一個或者多個輸出，且輸入輸出之間確實存在某種聯(lián)系，但不必確定這種關系的顯示表達式。應用領域應用領域 （1）主要有以下幾個應用領域：刻

14、畫生產(chǎn)函數(shù)、經(jīng)濟效率評價、區(qū)域經(jīng)濟研究、資源配置、技術進步與可持續(xù)發(fā)展、績效評估、物流與供應鏈管理、銀行評價、組合有效性評價以及風險評估領域。（2）它的第一個成功案例是對弱智兒童開設的公立學校項目的評價。（3）值得關注的幾個方向：數(shù)據(jù)挖掘和知識發(fā)現(xiàn)領域、考慮決策單元內(nèi)部結構和外部關系、DEA方法與偏序集理論、基于樣本單元評價、 DEA方法與復雜系統(tǒng)研究。03系統(tǒng)的系統(tǒng)的DEADEA有效性有效性 DEA DEA有效性的定義、有效性的定義、 判定、判定、 相對有效面、相對有效面、 DEA DEA有效性的含義有效性的含義思路思路分式規(guī)劃線性規(guī)劃對偶規(guī)劃對偶標準規(guī)劃決策單元決策單元 k k0 0 為為

15、DEADEA有效的定義有效的定義0( ):TpPMaxV Y00, (1,2, ).1,0TTkkTknst XY X 定義1 如果線性規(guī)劃(P)的最優(yōu)解滿足下列條件 VP = 0T Y Y0 = 1 則稱決策單元 k0 為弱DEA有效。 定義2 如果線性規(guī)劃(P)的最優(yōu)解滿足條件 VP = 0T Y Y0 = 1 ，并且 00, 00 則決策單元 k0 為DEA有效。 決策單元決策單元 k k0 0 為為DEADEA有效的定義有效的定義():DDMinV01. .nkkks tXsX0,1, 2, ;,0kknss01nkkkYsY定理1 關于對偶規(guī)劃(D)，有 如果(D)的最優(yōu)值VD=1，

16、則決策單元k0為弱DEA有效；反之亦然； 如果(D)的最優(yōu)值VD=1，并且每個最優(yōu)解都滿足條件： s s0- = 0, s s0+ = 0 ，則決策單元k0為DEA有效；反之亦然。DEADEA有效性的判定有效性的判定在實際應用中，無論利用(P)還是(D)，上述判斷都并非易事。 為了方便地使判定決策單元DEA 有效，查恩斯和庫伯引用了非阿基米德無窮小量的概念。從而，可以利用單純形方法求解線性規(guī)劃問題，來判定決策單元的DEA有效性。 設 是非阿基米德無窮小量，在廣義實數(shù)域內(nèi)， 表示一個小于任何正數(shù)且大于零的數(shù)，考慮帶有非阿基米德無窮小量 的C2R模型： 0():TPPMaxVY00, (1,2,

17、, )1.TTkkTTTTTknst X Y Xee():()TTDDMinVeses01. .kkkks tXsX0,1,2, ;,0kknss01nkkkYsYDEADEA有效性的判定有效性的判定 其中其中Te =(1,1, =(1,1, ,1),1)是元素均為是元素均為l l的的 m m 維向量，維向量，e eT T=(1,1,=(1,1,1),1)是元素均為是元素均為l l的的 s s 維向量。維向量。 定理2 設為非阿基米德無窮小量，線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)解為 0,s s0-, s s0+, 0，有 若0 =1，則決策單元k0為弱DEA有效； 若0 =1，并且s s0-=0 0, s

18、s0+ =0 0，則決策單元k0為DEA有效。 若1,則DMUj0不為弱DEA有效； 利用模型一次計算就能夠判定決策單元是否DEA有效。在實際操作中，只要取 足夠小，例如取 = 10-6。用單純形法求解，通?？衫镁€性規(guī)劃軟件( 如QSB，Lindo等 )，在計算機上實現(xiàn)。 DEADEA有效性的判定有效性的判定例：設有4個決策單元，2個投入指標和1個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。判定各個決策單元是否 DEA 有效。1234決策單元投入111334 2 231321121 1 1產(chǎn)出DEADEA有效性的判定有效性的判定解： 決策單元1所對應的線性規(guī)劃（D），取 = 10-6，為（D D ）：

19、）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.ts.t. . 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = = 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 3= 3 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1

20、0 0利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(1,0,0,0)=(1,0,0,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1=1因此，決策單元因此，決策單元1 1為為DEADEA有效。有效。 同樣地，經(jīng)過判定，決策單元2，3均為DEA有效。 決策單元4所對應的線性規(guī)劃（D），取 = 10-6，為（D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.ts.t. . 1 1 + 3+ 3

21、 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = 4= 4 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 2= 2 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(0,3/5,1/5,0)=(0,3/5,1/5,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 2

22、0-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=3/5=3/51 1因此，決策單元因此，決策單元4 4不是不是DEADEA有效。有效。決策單元在決策單元在DEADEA相對有效面上的投影相對有效面上的投影對于 來調(diào)整，使決策單元從非DEA有效變到DEA有效。() :()TTDDM in Veses01. .nkkks tXsX0 ,1, 2 ,;,0kknss01nkkkYsY定義定義2.3 2.3 設設 是線性規(guī)劃問題是線性規(guī)劃問題 的最優(yōu)解，令的最優(yōu)解，令 稱稱 為決策單元為決策單元j j0 0對應的對應的 在在DEADEA的相對有效面上的相對有效面上的投影。的投影。 D0

23、0, s s0000000jjjjxxsyys00(,)jjxy00(,)jjxy對于帶有非阿基米德無窮小量 的線性規(guī)劃：D決策單元在決策單元在DEADEA相對有效面上的投影相對有效面上的投影定理定理2.4 2.4 設設 其中，其中， 是決策單元是決策單元j j0 0對應的線性規(guī)劃問題對應的線性規(guī)劃問題 的最的最優(yōu)解，則優(yōu)解，則 相對于原來的相對于原來的n n個決策單元來說是個決策單元來說是DEADEA有有效的。效的。DEA方法通過投影來分析決策單元非有效的原因和程度，預測決策單元可能達到的有效程度，發(fā)現(xiàn)各決策單元調(diào)整投入規(guī)模的正確方向和程度，調(diào)整弱DEA有效的決策單元使變得DEA有效，為管理

24、提供重要的決策信息。0000000jjjjxxsyys00, s s00(,)jjxyD決策單元在決策單元在DEADEA相對有效面上的投影相對有效面上的投影一般地，記000000000010,0,jjjjjjjxxxxsyyys分別稱為輸入剩余和輸入虧空。即00,jjxy分別表示當決策單元j0要想轉變?yōu)镈EA有效時的輸入與輸出變化的估計量。若原來的 非DEA有效，則通過對其投影，可以在不減少輸出的前提下，使原來的輸入有所減少（當 時），或在不增加輸入的前提下，使輸出有所增加（當 時）。00jx00jy00jjxy（,）決策單元在決策單元在DEADEA相對有效面上的投影相對有效面上的投影例：設有

25、7個工廠（DMU），每個工廠有兩種投入（輸入）、一種產(chǎn)出（輸出），為方便討論，其中輸入輸出已按相同比例擴大至輸出均為120，如下表：DMUDMU1DMU2DMU3DMU4DMU5DMU6DMU7x119155610540 x2101530451715y120120120120120120120現(xiàn)以輸入1、輸入2與輸出量為坐標，在輸入輸出空間中標出這7個DMU，為7個點，再將它們投影到輸入平面上，如下圖：決策單元在決策單元在DEADEA相對有效面上的投影相對有效面上的投影可以看到，DMU3、DMU5、DMU1、DMU6、DMU7最靠近坐標軸，再加上從DMU3、DMU7引出的垂線、水平線，即得到一

26、個由部分DMU組成的分段線性的“最小凸包”。決策單元在決策單元在DEADEA相對有效面上的投影相對有效面上的投影在與原點連線的意義下，如果DMU離“最小凸包”越遠，有效性就越差。“最小凸包”是在有限多個實際生產(chǎn)觀測值基礎上構成的前沿面，如果實際觀測數(shù)據(jù)足夠多，那么不僅可得到這樣的折線，而且能夠得到更為光滑的曲線邊界。若DMUj0位于前沿面上，則其有效，否則，此DMUj0與原點連線必與前沿面有一交點，可用原點與此點的連線段和原點與DMUj0的連線段之比作為其有效性度量，這一交點實際即為此DMUj0在前沿面上的投影。由于上述基本思路是以實際樣本點的外包絡面為基礎，因此這一方法被稱為“數(shù)據(jù)包絡分析”

27、。顯然，DEA的工作對象不是單個的DMU，而是由多個同類型的DMU組成的集合。DEADEA有效性的經(jīng)濟意義有效性的經(jīng)濟意義什么是技術有效？什么是規(guī)模有效？例：下表給出3個DMU的輸入、輸出數(shù)據(jù)。DMUDMU1DMU2DMU3x245y213.5首先了解一下生產(chǎn)函數(shù)的概念。生產(chǎn)函數(shù)表示在生產(chǎn)處于( )Yy x最理想狀態(tài)下，輸入量為x時，所能獲得的最大輸出。生產(chǎn)函數(shù)的導數(shù) 稱為邊際成本函數(shù)，而生產(chǎn)規(guī)模遞增是指邊際成本函數(shù)為增函數(shù)，即其導數(shù) ，或生產(chǎn)函數(shù)曲線既凸且增，其本質(zhì)是隨著輸入的增加，1單元的輸入將生產(chǎn)多于1單元的輸出。生產(chǎn)規(guī)模遞減是邊際成本函數(shù)為減函數(shù)，現(xiàn)將生產(chǎn)可能集、各DMU及其投影、對應

28、的生產(chǎn)函數(shù)表示如下圖所示：( )Yy x( ) 0Yy xDEADEA有效性的經(jīng)濟意義有效性的經(jīng)濟意義A、C位于生產(chǎn)函數(shù)曲線上，故均為技術有效，即對于輸入x不可能有更大的輸出。C位于凹的一段上，C為規(guī)模遞減，若B與其投影B的連線與生產(chǎn)曲線相交于D，則D位于凸的一段生產(chǎn)函數(shù)曲線上，為規(guī)模遞增。DEADEA有效性的經(jīng)濟意義有效性的經(jīng)濟意義 對于A、B、C的CCR模型的最優(yōu)解按照 的次序依次為A（1，0，0，1，0，0），B（1/4，1/2，0，1/2，0，0），C（7/10，3，0，7/4，0，0）?？梢夾為DEA有效（CCR）的，所以既為規(guī)模有效，又為技術有效；而B、C均為非DEA有效（CCR）

29、的。 對B， ，對C， 故二者規(guī)模收益遞減，這是由二者投資規(guī)模過大引起的。*(,1,2,3)jjss3*1121jj3*11512jj對于經(jīng)濟管理，這些信息及其有用。DMU1不能再增加輸入，因為其已經(jīng)是規(guī)模有效的；而B、C因為輸入過多，造成生產(chǎn)規(guī)模過大，效率不高；若此時還有DMU位于生產(chǎn)曲線的OA段，則可進一步增加輸入，因為此時為規(guī)模遞增，增加輸入可形成規(guī)模效應，取得更好的規(guī)模效益。DEADEA有效性的經(jīng)濟意義有效性的經(jīng)濟意義可見，在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟含義 是：既為“技術有效”，也為“規(guī)模有效”。DEA有效的含義與經(jīng)濟含義對應關系如下：技術有效，規(guī)模有效DEA有效不為技術有效，也

30、不為規(guī)模有效不為DEA有效技術有效，不為規(guī)模有效不為DEA有效DEADEA有效性的經(jīng)濟意義有效性的經(jīng)濟意義我們能夠用CCR模型判定是否同時技術有效和規(guī)模有效：（1）*1，且s s*0 0，s s*-0 0。則決策單元j0為DEA有效，決策單元的經(jīng)濟活動同時為技術有效和規(guī)模有效；（2）*1，但至少某個輸入或者輸出大于0，則決策單元j0為弱DEA有效，決策單元的經(jīng)濟活動不是同時為技術效率最佳和規(guī)模最佳；（3）*1，決策單元j0不是DEA有效，經(jīng)濟活動既不是技術效率最佳，也不是規(guī)模最佳；DEADEA有效性的經(jīng)濟意義有效性的經(jīng)濟意義（1）如果存在j*（j1，2，n）使得j*1，則DMU為規(guī)模收益不變；（2）如果不存在j*（j1，2，n）使得j*1，若 ，則DMU為規(guī)模收益遞增；（3）如果不存在j*（j1，2，n）使得j*1，若 ，則DMU為規(guī)模收益遞減；*111njj*111n