1、圓綜合的八大模型圓綜合的八大模型 專題訓練專題訓練圓的證明與計算是中考中的一類重要的問題，此題完成情況的好壞對處理后面問題的發(fā)揚有重要的影響，所以處理好此題比較關鍵。一、考題方式分析：主要以解答題的方式出現,第1問主要是斷定切線；第2問主要是與圓有關的計算：求線段長或面積；求線段比；求角度的三角函數值本質還是求線段比。模型一：從圓外作圓的兩條切線問題模型一：從圓外作圓的兩條切線問題【例【例1 1】20212021襄陽如圖，襄陽如圖，PBPB為為OO的切線，的切線，B B為切點，直線為切點，直線POPO交交于點于點E E、F F，過點，過點B B作作POPO的的垂線垂線BABA，垂足為點，垂足為

2、點D D，交，交OO于點于點A A，延伸，延伸AOAO與與OO交于點交于點C C，銜接，銜接BCBC，AFAF1 1求證：直線求證：直線PAPA為為OO的切線；的切線；2 2試探求線段試探求線段EFEF、ODOD、OPOP之間的等量關系，并加以證明；之間的等量關系，并加以證明；3 3假設假設BC=6BC=6，tanF= tanF= ，求，求cosACBcosACB的值和線段的值和線段PEPE的長的長【練習【練習1 1】20212021廣安如下圖，廣安如下圖，P P是是OO外一點，外一點，PAPA是是OO的切線，的切線，A A是切點，是切點，B B是是O O 上一點，上一點，且且PA=PBPA=

3、PB，銜接，銜接AOAO、BOBO、ABAB，并延伸，并延伸BOBO與切線與切線PAPA相交于點相交于點Q Q1 1求證：求證：PBPB是是OO的切線；的切線；2 2求證：求證：AQAQPQ=OQPQ=OQBQBQ；3 3設設AOQ=AOQ=，假設，假設 ，OQ=15OQ=15，求，求ABAB的長的長【練習【練習2 2】20212021年全國初中數學結合競賽試題此題總分值年全國初中數學結合競賽試題此題總分值2525分知點分知點C C在以在以ABAB為直徑為直徑的圓的圓O O上，過點上，過點B B、C C作圓作圓O O的切線，交于點的切線，交于點P P，連，連ACAC，假設，假設 ，求，求 的值

4、。的值。92OPACPBAC模型二：從圓外作圓的一條切線和一條割線含垂直問題【例【例2 2】如圖，】如圖，ABAB為為OO的直徑，半徑的直徑，半徑OCABOCAB，D D為為ABAB延伸線上一點，過延伸線上一點，過D D作作OO的切線，的切線，E E為切點，為切點，連結連結CECE交交ABAB于點于點F.F.1 1求證：求證：DE=DFDE=DF；2 2連結連結AEAE，假設，假設OF =1OF =1，BF =3BF =3，求，求 的值的值. .【處理問題的思想方法是】【處理問題的思想方法是】 tanA?O?C?F?E?D?B?A【練習【練習1 1】20212021四川樂山四川樂山2424，1

5、010分如圖，分如圖，D D為為 O O上一點，點上一點，點C C在直徑在直徑BABA的延伸線上，且的延伸線上，且CDA=CBD.CDA=CBD.(1)(1)求證求證:CD:CD是是OO的切線的切線; ;(2)(2)過點過點B B作作 O O的切線交的切線交CDCD的延伸線于點的延伸線于點E,E,假設假設BC=6,tanCDA= ,BC=6,tanCDA= ,求求BEBE的長的長23【練習【練習2 2】如圖，】如圖，ABAB為為OO的直徑，的直徑，C C、D D為為OO上的兩點，上的兩點，D D是弧是弧ACAC的中點，過的中點，過D D作直線作直線BCBC的垂線交直線的垂線交直線ABAB于點于

6、點E E，F F為垂足為垂足. .1 1求證：求證：EFEF為為OO的切線；的切線；2 2假設假設AC=6AC=6，BD=5BD=5，求，求sinEsinE的值的值. .?E?A?O?F?D?C?B模型三：過直徑的端點作圓的兩條切線問題【例【例3】2021山東濰坊，山東濰坊，23，11分如圖，分如圖，AB是半圓是半圓O的直徑，的直徑，AB=2.射線射線AM、BN為半為半圓的切線圓的切線.在在AM上取一點上取一點D，銜接，銜接BD交半圓于點交半圓于點C，銜接，銜接AC.過過O點作點作BC的垂線的垂線OE，垂足為點，垂足為點E，與與BN相交于點相交于點F.過過D點做半圓的切線點做半圓的切線DP，切

7、點為，切點為P，與，與BN相交于點相交于點Q.1求證：求證：ABCOFB；2當當ABD與與BFO的面積相等時，求的面積相等時，求BQ的長；的長；3求證：當求證：當D在在AM上挪動時上挪動時A點除外，點點除外，點Q一直是線段一直是線段BF的中點的中點.【處理問題的思想方【處理問題的思想方法是】法是】 【練習【練習1 1】20212021四川綿陽四川綿陽2222，1212如圖，在梯形如圖，在梯形ABCDABCD中，中，AB/CDAB/CD，BAD=90BAD=90，以，以ADAD為直徑的半圓為直徑的半圓O O與與BCBC相切相切. .(1)(1)求證：求證：OBOB丄丄OC;OC;(2)(2)假設

8、假設AD= 12AD= 12， BCD=60 BCD=60，O1O1與半與半O O 外切，并與外切，并與BCBC、CD CD 相切，求相切，求O1O1的面積的面積. .【練習【練習2 2】如圖，】如圖，ABAB是是OO的直徑，的直徑，BCABBCAB，過點，過點C C作作OO的切線的切線CECE，點，點D D是是CECE延伸線上一延伸線上一點，連結點，連結ADAD，且，且AD+BC=CD.AD+BC=CD.1 1求證：求證：ADAD是是OO的切線；的切線；2 2設設OEOE交交ACAC于于F F，假設，假設OF=3OF=3，EF=2EF=2，求線段，求線段BCBC的長的長. .?F?O?E?D

9、?C?B?A模型四：以等腰三角形的一腰為直徑作圓的問題【例【例4 4】如圖，】如圖，ABCABC中，中，ABABACAC，以，以ACAC為直徑的為直徑的OO與與ABAB相交于點相交于點E E，點，點F F是是BEBE的中點的中點1 1求證：求證：DFDF是是OO的切線的切線2 2假設假設AEAE1414，BCBC1212，求，求BFBF的長的長【處理問題的思想方法是】【處理問題的思想方法是】?O?F?E?D?C?B?A【練習【練習1 1】20212021貴州安順，貴州安順，2626，1212分知：如圖，在分知：如圖，在ABCABC中，中，BC=ACBC=AC，以，以BCBC為直徑的為直徑的OO

10、與邊與邊ABAB相交于點相交于點D D，DEACDEAC，垂足為點，垂足為點E E 求證：點求證：點D D是是ABAB的中點；的中點；判別判別DEDE與與OO的位置關系，并證明他的結論；的位置關系，并證明他的結論；假設假設OO的直徑為的直徑為1818，cosB = cosB = ，求，求DEDE的長的長31【練習【練習2 2】20212021肇慶如圖，在肇慶如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，以，以ABAB為直徑的為直徑的OO交交ACAC于點于點E E，交，交BCBC于點于點D D，銜接銜接BEBE、ADAD交于點交于點P P求證：求證：1 1D D是是BCBC的中點；的中點；2

11、 2BECBECADCADC；3 3ABABCE=2DPCE=2DPADAD【練習【練習3 3】如圖，等腰】如圖，等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，以，以ABAB為直徑作為直徑作OO交交BCBC于點于點D D，DEACDEAC于于E.E.1 1求證：求證：DEDE為為OO的切線；的切線；2 2假設假設BC= BC= ，AE=1AE=1，求，求 的值的值. . ?O?E?D?C?B?A4 5cosAEO模型五：過直徑的端點作一條或兩條垂線于圓的切線問題【例【例5 5】20212021西寧如圖西寧如圖1 1，ABAB為為OO的直徑，的直徑，C C為為OO上一點，假設直線上一點，假設直線

12、CDCD與與OO相切于相切于點點C C，ADCDADCD，垂足為，垂足為D D1 1求證：求證：ADCADCACBACB；2 2假設把直線假設把直線CDCD向下平行挪動，如圖向下平行挪動，如圖2 2，直線，直線CDCD交交OO于于C C、G G兩點，假設標題中的其他條兩點，假設標題中的其他條件不變，且件不變，且AG=4AG=4，BG=3BG=3，求，求tanDACtanDAC的值的值【練習【練習1 1】20212021安徽蕪湖，安徽蕪湖，2323，1212分如圖，知直線分如圖，知直線 交交OO于于A A、B B兩點，兩點，AEAE是是OO的直徑的直徑, ,點點C C為為OO上一點，且上一點，且

13、ACAC平分平分PAEPAE，過，過C C作作 ，垂足為，垂足為D.D.(1) (1) 求證：求證：CDCD為為OO的切線；的切線；(2) (2) 假設假設DC+DA=6DC+DA=6，OO的直徑為的直徑為1010，求，求ABAB的長度的長度. .【練習【練習2 2】直角梯形】直角梯形ABCDABCD中，中，BCD=90BCD=90，AB=AD+BCAB=AD+BC，ABAB為直徑的圓交為直徑的圓交BCBC于于E E，連，連OCOC、BDBD交于交于F.F.求證：求證：CDCD為為OO的切線的切線假設假設 ，求，求 的值的值53ABBEDFBF F O E C D B A模型六：和切線平行的弦

14、的問題【例【例6 6】20212021浙江義烏，浙江義烏，2121，8 8分如圖，知分如圖，知OO的直徑的直徑ABAB與弦與弦CDCD相互垂直，垂足為點相互垂直，垂足為點E. OE. O的切線的切線BFBF與弦與弦ADAD的延伸線相交于點的延伸線相交于點F F，且，且AD=3AD=3，cosBCD=cosBCD=1 1求證：求證：CDBFCDBF；2 2求求OO的半徑；的半徑；3 3求弦求弦CDCD的長的長. . 34FADEOCB【練習】【練習】20212021山東菏澤，山東菏澤，1818，1010分如圖，分如圖，BDBD為為OO的直徑，的直徑，AB=ACAB=AC，ADAD交交BCBC于點

15、于點E E，AE=2AE=2，ED=4ED=4， 求證：求證：1 1ABEABEADBADB； (2) (2)求求ABAB的長；的長； (3) (3)延伸延伸DBDB到到F F，使得，使得BF=BOBF=BO，銜接，銜接FAFA，試判別直線，試判別直線FAFA與與OO的位置關系，并闡明理由的位置關系，并闡明理由模型七：過弧的中點的半徑垂直于弦的問題【例【例7 7】ABPABP中，中，ABP=90ABP=90，以，以ABAB為直徑作為直徑作OO交交APAP于于C C點，弧點，弧 = = ，過，過C C作作AFAF的垂線，垂的垂線，垂足為足為M M，MCMC的延伸線交的延伸線交BPBP于于D.D.

16、1 1求證：求證：CDCD為為OO的切線；的切線；2 2連連BFBF交交APAP于于E E，假設，假設BE=6BE=6，EF=2EF=2，求，求 的值。的值。AFEFCFCB【練習【練習1 1】如圖，】如圖，ABAB是是OO上的直徑，上的直徑，E E是弧是弧BCBC的中點，的中點，OEOE交弦交弦BCBC于點于點D D，過點，過點C C作交作交ADAD的平行線交的平行線交OEOE的延伸線于點的延伸線于點F. ADO=B.F. ADO=B.1 1求證：求證：CFCF為為OO的切線；的切線；2 2求求sinBAD sinBAD 的值的值. .?D?A?O?F?E?C?B【練習【練習2 2】(202

17、1(2021調考：如圖，知調考：如圖，知ABCABC中，以邊中，以邊BCBC為直徑的為直徑的OO與邊與邊ABAB交于點交于點D D，點，點E E是弧是弧BDBD的中的中點，點，AFAF為為ABCABC的角平分線，且的角平分線，且AFECAFEC。1 1求證：求證：ACAC與與OO相切；相切；2 2假設假設ACAC6 6，BCBC8 8，求，求ECEC的長的長?O?F?H?E?D?C?B?A模型八：綜合性的問題【例【例8 8】20212021十堰如圖十堰如圖1 1，OO是是ABCABC的外接圓，的外接圓，ABAB是直徑，是直徑，ODACODAC，且，且CBD=BACCBD=BAC，ODOD交交O

18、O于點于點E E1 1求證：求證：BDBD是是OO的切線；的切線；2 2假設點假設點E E為線段為線段ODOD的中點，證明：以的中點，證明：以O O、A A、C C、E E為頂點的四邊形是菱形；為頂點的四邊形是菱形；3 3作作CFABCFAB于點于點F F，銜接，銜接ADAD交交CFCF于點于點G G如圖如圖2 2，求，求 的值的值【練習【練習1 1】20212021桂林如圖，在銳角桂林如圖，在銳角ABCABC中，中，ACAC是最短邊；以是最短邊；以ACAC中點中點O O為圓心，為圓心， AC AC長為半徑長為半徑作作OO，交，交BCBC于于E E，過，過O O作作ODBCODBC交交OO于于D D，銜接，銜接AEAE、ADAD、DCDC1 1求證：求證：D D是弧是弧AE AE 的中點；的中點；2 2求證：求證：DAO=B+BADDAO=B+BAD；3 3假設假設 ，且，且AC=4AC=4，求，求CFC