1、word數(shù)學(xué)中“單位1 的巧用筆者在幾年小學(xué)畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，深刻認(rèn)識(shí)到：分?jǐn)?shù)、百 分?jǐn)?shù)、工程問題，是小學(xué)生最難理解和難于掌握的內(nèi)容，而這三種內(nèi) 容的應(yīng)用題又是小學(xué)生更難的，而又必須掌握的知識(shí)之一。而單位“ 1好比是解答這難題的一把金鑰匙，利用得當(dāng)可幫助學(xué)生理解題 意、掌握解題思路、開展思維，提高學(xué)生解題能力和技巧，可起到事 半功倍的作用。因此，教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握單位“ 1的運(yùn)用 方法很有必要。首先要讓學(xué)生認(rèn)清單位“ 1，它不同于自然數(shù)中的“ 1，它可 表示數(shù)字“ 1，更重要的是它在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比類，工程問題應(yīng)用 題中表示“一個(gè)單位、一個(gè)整體，這在教學(xué)中就叫單位“1或“整 體1。故

2、單位“ 1可表示“一個(gè)總量、一個(gè)局部、一項(xiàng)工程的總 量、一批物件等。所有單位“ 1的量叫標(biāo)準(zhǔn)量，與它相比的叫比 擬量，在解答應(yīng)用題時(shí)，如單位“ 1的量，就用單位“ 1的量乘以 所求量對(duì)應(yīng)的分率；如求單位“ 1的量，就用量除以量的對(duì)應(yīng)分率。 由于用單位“ 1計(jì)算方法固定，故只要選好單位“ 1，就可知計(jì)算 方法，這就解決了學(xué)生不知用什么方法計(jì)算這一難題。而選擇單位“ 1一般以“總量、不變量、兩者相比的后項(xiàng)、幾分之幾的對(duì)象 為單位“ 1。下面談?wù)剢挝弧?1的運(yùn)用。一、單位“ T在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的運(yùn)用這類應(yīng)用題一般把總量看作單位“ 1例1： 一堆煤有50噸，用去3/5后，還剩多少噸?分析：此題應(yīng)把總量一

3、堆煤看作單位“ 1，用去的單位“ 1 的3/5，剩下的占單位“1的1-3/5剩下量對(duì)應(yīng)分率，由于 單位“ 1量而用乘法，求剩下量列式為：50X 1-3/5丨。例2： 一堆煤，第一次運(yùn)走總噸數(shù)的1/3，第二次運(yùn)走總噸 數(shù)的1/4，還剩65噸沒運(yùn)，求這堆煤有多少噸?分析：此題與例1一樣把總量看作單位“1，剩下的占單位“ 1的1-1/3-1/4 :，但這題求單位“ 1的量而用除法，列式為：65+ 1-1/3-1/4= 156 噸。由上兩例可知：當(dāng)總量變化時(shí)，單位“ T在解題過程中起了關(guān) 鍵作用。但當(dāng)總量不變，總量里的幾種局部量都變化時(shí)又怎樣解呢？例3：甲乙兩糧倉(cāng)，甲倉(cāng)存量噸數(shù)是乙倉(cāng)的5倍，如從甲倉(cāng)運(yùn)

4、出628噸糧存入乙倉(cāng)，如此乙倉(cāng)存糧是甲的5倍，甲倉(cāng)原有存糧多 少噸？ 分析：這題應(yīng)把兩倉(cāng)總存糧數(shù)看作單位“ 1，由于甲乙 兩倉(cāng)存糧數(shù)前后發(fā)生變化，原來甲占兩倉(cāng)總量的5/(15),后來甲占兩倉(cāng)總量的1/(15)，如此原甲比后甲多的628噸的對(duì)應(yīng)分率是5/6 -1/6。故總量是 628-： 5/6-1/6，而原甲倉(cāng)存糧為 628-： 5/6-1/6x 5/6。因此，當(dāng)總量不變，而分量都變化，還是用單位“ 1解題可起簡(jiǎn)便思路的作用如總量變，分量里有種變、有種不變的題呢？同樣可用單位“ 1法求解例4：甲乙兩人共儲(chǔ)蓄人民幣315元，甲儲(chǔ)蓄的錢數(shù)占兩人 總數(shù)的7/8 ,甲取出一局部存款支援“希望工程后，這

5、時(shí)甲占兩人 總儲(chǔ)量的5/11，這時(shí)甲乙兩人儲(chǔ)蓄總量是多少元？分析：此題與上題比，仍把總量看作單位“ T,但原來和現(xiàn)在“ T表示的量是 不同的，而乙在總量變化時(shí)自身不變，故應(yīng)以乙占前后單位“1的差，求出后來兩人總量。原來甲占7/8，乙占1-7/8，乙有錢315X 1-7/8；后來甲占5/11，乙占1-5/11，即后來兩人儲(chǔ)蓄 總量的1-5/11，是 315X 1-7/8+ 1-5/11。于是可見， 總量變化，同樣可用單位“1來求解，同樣單位“ 1起了解題中的 橋梁作用。二、單位“ 1在“比類應(yīng)用題中的運(yùn)用這類應(yīng)用題，一般先弄清是“誰比誰，把“后者看作單位“1的量1、“份數(shù)比類應(yīng)用題例1：某工廠四

6、月份燒煤120噸，比原計(jì)劃節(jié)約了 1/9，四月份原計(jì)劃燒煤多少噸?分析：此題是實(shí)際燒煤量與計(jì)劃量相比，故應(yīng)把計(jì)劃燒煤量看作單位“ 1，如此實(shí)際燒煤量相當(dāng)于計(jì)劃量的1 1/9丨， 求計(jì)劃量可列式為120- 1 1/9= 135噸，因此，單位“T 在份數(shù)比類應(yīng)用題中起關(guān)鍵作用。2、“差比類應(yīng)用題也可用單位“ T求解例1：甲數(shù)是40,乙數(shù)是80。求甲比乙多幾分之幾？求 乙比甲比少幾分之幾？這類應(yīng)用題可用公式“相差量+標(biāo)準(zhǔn)量，但上題、問的標(biāo)準(zhǔn)量發(fā)生變化，而計(jì)算結(jié)果不同。80 40+ 80= 1/2 ;80 40+ 40= 1。由上可知，單位“ T 在 “差比類分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解答中起了關(guān)鍵性的作用。3、“倍

7、比類分?jǐn)?shù)應(yīng)用題同樣可用單位“ 1求解例1：某校54人參加奧林匹克學(xué)校數(shù)學(xué)班學(xué)習(xí)，非錄取學(xué)生 人數(shù)比錄取學(xué)生數(shù)的5/2倍還多12人，問這所學(xué)校有幾個(gè)被錄??？分析：此題應(yīng)把被錄取人數(shù)看作單位“ 1，如非錄取學(xué)生人數(shù) 減少12人，如此非錄取人數(shù)剛好是錄取人數(shù)的5/2倍，如此總?cè)藬?shù)少12人后的人數(shù)對(duì)應(yīng)的分率是15/2，求錄取學(xué)生人數(shù)列式為：54 -12+ 15/2。這類應(yīng)用題關(guān)鍵是把“比類轉(zhuǎn)換成“一量是另 一量的倍數(shù)，再利用單位“ T求解。因此，單位“ T在“倍比 類應(yīng)用題解答中起了簡(jiǎn)便思路和計(jì)算過程的關(guān)鍵作用。三、單位“ T在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的運(yùn)用單位“ 1在百分?jǐn)?shù)就用題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中方法一樣。因?yàn)榘?/p>

8、百 分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)，就成了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。四、單位“ T在“工程問題中的運(yùn)用分?jǐn)?shù)工程應(yīng)用題同整數(shù)工程問題一樣，都可以工作總量作單位“ 1。工作總量可以是“一段路，一件工程，一塊地，一批物件等。 例1： 一段公路，甲隊(duì)單獨(dú)修要12天，乙隊(duì)單獨(dú)修要1 5天。甲隊(duì)先單獨(dú)修3天后，再兩隊(duì)合修要幾天？分析：此題應(yīng)把這段路工作總看作單位“ 1，甲隊(duì)每天完成單位“ T的1/12 , 乙每天完成單位“1的1/15。甲先修3天，如此已修1/12 X 3,這 時(shí)剩下這段路的1-1/12 X 3。兩隊(duì)合修一天可完成這段路的1/121/ 15，合修天數(shù)為：1-1/12 X 3+ 1/121/15= 5天，解這 題時(shí)，把這

9、段路看作單位“ 1起了關(guān)鍵作用。如用整數(shù)工程問題求 解，由于不知工作總量而不能求解。例2：有大小兩只木船，大船可以載重噸，小船的載重量是大船的2/7,大船8次運(yùn)完的貨物，小船幾次才能運(yùn)完？此題用整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題方法解可列式為：6.3 X 8+ 6.3 X 2/7= 28次。如用單位“ 1法求解，如此把大船8次運(yùn)的貨物看 作單位“ 1，大船每次運(yùn)單位“1的1/8，小船每次運(yùn)單位“ 1 的1/8 X 2/7 ,故小船運(yùn)完這批貨的次數(shù)為：1 + 1/8 X 2/7= 28次 當(dāng)以大船每次載重量看作單位“ 1時(shí)，如此這批貨物總量有8個(gè)單 位“ 1。小船每次載重量是單位“ 1的2/7,求小船運(yùn)的次數(shù)就是

10、8里面有多少個(gè)2/7,列式為：8-2/7 = 28次。由上可知，用單 位“T的方法求解比整數(shù)、小數(shù)法簡(jiǎn)便些。由上面的論證可知，單位“ 1在小學(xué)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、工程問題的應(yīng)用題解答過程中，起 了既簡(jiǎn)便運(yùn)算方法、過程，又便于學(xué)生掌握解題思路的關(guān)鍵作用。因 此，教學(xué)時(shí)，教會(huì)學(xué)生熟練利用單位“ 1，對(duì)加強(qiáng)學(xué)生解題能力和 技巧，提高教學(xué)質(zhì)量，可起事半功倍的作用。分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題公式分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的主要內(nèi)容之一，它是整、小數(shù)倍數(shù)關(guān) 系應(yīng)用題的繼續(xù)和深化，是研究數(shù)量之間份數(shù)關(guān)系的典型應(yīng)用題。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題涉 與的知識(shí)面廣，題目變化的形式多，解題的思路寬，既有獨(dú)特的思維模式，又有 根本的解題

11、思路。小學(xué)即將畢業(yè)階段，如何通過分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題方法的復(fù) 習(xí)，讓孩子們掌握一些根本解題方法， 感悟數(shù)學(xué)的根本思想，從而達(dá)到培養(yǎng)初步 的邏輯思維能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力之目的， 筆者根據(jù)長(zhǎng)期的教學(xué) 實(shí)踐和體會(huì)，總結(jié)出以下一些典型方法，以饗讀者。一、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想，畫線段圖能將題目中抽象的數(shù)量關(guān) 系，直觀形象地表示出來，進(jìn)展分析、推理和計(jì)算，從而降低解題難度。畫線段 圖常常與其它解題方法結(jié)合使用，可以說，它是學(xué)生弄清分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 題意、分析其數(shù)量關(guān)系的根本方法。1【例1】一桶油第一次用去-，第二次比第一次多用去20千克，還剩下225千克。原來這桶油有多少

12、千克？分析與解加千克剩下窗千克第一扶用去第二找用去從圖中可以清楚地看出：這桶油的千克數(shù)X 1- 1 1=20+2255如此這桶油的千克數(shù)為：20+22-： 1 - -=70千克55【例2】一堆煤，第一次用去這堆煤的 20%第二次用去290千克，這時(shí)剩下的 煤比原來這堆煤的一半還多10千克，求原來這堆煤共有多少千克？20X入加0千克10千克5m廠11丨F1百分析與解顯然，這堆煤的千克數(shù)X 1 20%- 50% =290+10如此這堆煤的千克數(shù)為：290+10-： 1 20%- 50% =1000千克二、對(duì)應(yīng)思想量率對(duì)應(yīng)是解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的根本思想，量率對(duì)應(yīng)是通過題中具體數(shù)量與抽象分 率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)

13、系來分析問題和解決問題的思想。 量率對(duì)應(yīng)常常和畫線段圖結(jié) 合使用，效果極佳?！纠?】縫紉機(jī)廠女職工占全廠職工人數(shù)的 ，比男職工少144人，縫紉機(jī)廠20共有職工多少人？分析與解77 13從線段圖上可以清楚地看出女職工占 ，男職工占1上二13，女職工比男職2020 20137 33工少占全廠職工人數(shù)的=-，也就是144人與全廠人數(shù)的相對(duì)應(yīng)。20 20 1010全廠的人數(shù)為：144十1 工=480人20 201【例4】菜農(nóng)X大伯賣一批大白菜，第一天賣出這批大白菜的從線段圖上可以清楚地看出240千克的對(duì)應(yīng)分率是第一天賣出 丄后余下的1 3 2。如此第一天賣出后余下的大白菜千克數(shù)為：5，第二天賣出余32

14、下的-，這時(shí)還剩下240千克大白菜未賣，這批大白菜共有多少千克？5分析與解2240 十1 -=400千克5. 1 .同理400千克的對(duì)應(yīng)分率為這批大白菜的1-，如此這批大白菜的千克數(shù)為：31400 十1 =600千克3三、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，可以這樣說，任何一個(gè)解題過程都離不開轉(zhuǎn)化。 它是把某一個(gè)數(shù)學(xué)問題，通過適當(dāng)?shù)淖兓D(zhuǎn)化成另一個(gè)數(shù)學(xué)問題來進(jìn)展思考、求解，從而實(shí)現(xiàn)從繁到簡(jiǎn)、由難到易的轉(zhuǎn)化。復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，常常含有幾個(gè)不 同的單位“T,根據(jù)題目的具體情況，將不同的單位“T轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“T, 使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。1、從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)，把分?jǐn)?shù)變成份數(shù)進(jìn)展“率的轉(zhuǎn)化【例5

15、】男生人數(shù)是女生人數(shù)的4，男生人數(shù)是學(xué)生總?cè)藬?shù)的幾分之幾？5分析與解男生人數(shù)是女生的4，是將女生人數(shù)看作單位“ T,平均分成5份，男生是這 5樣的4份，學(xué)生總?cè)藬?shù)為這樣的4+5份，求男生人數(shù)是學(xué)生總?cè)藬?shù)的幾分之 幾？就是求4份是4+5份的幾分之幾？44十4+5=-9【例6】兄弟兩人各有人民幣假如干元，其中弟的錢數(shù)是兄的-，假如弟給兄452兀，如此弟的錢數(shù)是兄的-，求兄弟兩人原來各有多少兀？3分析與解兄弟兩人的總錢數(shù)是不變量，把它看作單位“ T,原來弟的錢數(shù)占兩人總42錢數(shù)的亠，后來弟的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的 ，如此兩人的總錢數(shù)為：4 52 34 寧 =90元4 52 3弟原來的錢數(shù)為：90X=40

16、元4 5兄原來的錢數(shù)為：90 40=50元2、直接運(yùn)用分率計(jì)算進(jìn)展“率的轉(zhuǎn)化2 4【例7】甲是乙的2，乙是丙的1980- + 1 + =1500個(gè) 553、通過恒等變形，進(jìn)展“率的轉(zhuǎn)化【例9】甲的4等于乙的3，甲是乙的幾分之幾？57分析與解由條件可得等式：甲纟=乙 35 7，甲是丙的的幾分之幾？3 5分析與解2 44 2甲是乙的一，乙是丙的一，求甲是丙的的幾分之幾？就是求 一的一是多少？3 55 34 * 2 = 85 315【例8】某工廠計(jì)劃一月份生產(chǎn)一批零件，由于改良生產(chǎn)工藝，結(jié)果上半月生產(chǎn)3 1了計(jì)劃的-，下半月比上半月多生產(chǎn)了 -，這樣全月實(shí)際生產(chǎn)了 1980個(gè)零件,55一月份計(jì)劃生產(chǎn)

17、多少個(gè)？分析與解1 1丄是以上半月的產(chǎn)量為“ 1，下半月比上半月多生產(chǎn) 1，即下半月生產(chǎn)了計(jì)劃55的- 1 + 1二18。如此計(jì)劃的-+ 丨為1980個(gè)，計(jì)劃生產(chǎn)個(gè)數(shù)為：5525525方法仁等式兩邊同除以5得：甲X 5=3 7十5甲二乙X1825方法2：根據(jù)比例的根本性質(zhì)得：甲：乙弓：4化簡(jiǎn)得：甲：乙=15： 28即甲是乙的1825【例10】五2班有學(xué)生54人，男生人數(shù)的75唏口女生人數(shù)的80躺E參加了課外興趣小組，而未參加課外興趣小組的男、女生人數(shù)剛好相等，這個(gè)班男、女生各有多少人？分析與解由條件可得等式: 男生人數(shù)乂 1-75% = 女生人數(shù)乂 1-80%男生人數(shù)：女生人數(shù)=4: 5就是男

18、生人數(shù)是女生人數(shù)的| 女生人數(shù)：54亠1+4=3。人 男生人數(shù)：54- 30=24人四、變中求定的解題思想 分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有許多數(shù)量前后發(fā)生變化的題型，一個(gè)數(shù)量的變化，往 往引起另一個(gè)數(shù)量的變化，但總存在著不變量。解題時(shí)要善于抓住不變量為單位 “ 1，問題就會(huì)迎刃而解。1、局部量不變【例11】有兩種糖放在一起，其中軟糖占 |0，再放入16塊硬糖以后，軟糖占1兩種糖總數(shù)的丄，求軟糖有多少塊？4分析與解根據(jù)題意，硬糖塊數(shù)、兩種糖的總塊數(shù)都發(fā)生變化，但軟糖塊數(shù)不變，可以確定軟糖塊數(shù)為單位“ 1 ，如此原來硬糖塊數(shù)是軟糖塊數(shù)的1 寧衛(wèi)=匕倍。2020911參加16塊硬糖以后，后來硬糖塊數(shù)是軟糖塊數(shù)

19、的1 -丨十-=3倍，這樣164 411 16塊硬糖相當(dāng)于軟糖的3二工倍，從而求出軟糖的塊數(shù)。99119916 * 1 丨* 一 1 丨* =9塊4 420202、和不變1【例12】小明看一本課外讀物，讀了幾天后，已讀的頁數(shù)是剩下頁數(shù)的-，后81來他又讀了 20頁，這時(shí)已讀的頁數(shù)是剩下頁數(shù)的1，這本課外讀物共有多少頁？6分析與解根據(jù)題意，已讀頁數(shù)和未讀頁數(shù)都發(fā)生了變化， 但這本書的總頁數(shù)不變，可把總1頁數(shù)看作單位“ T,原來已讀頁數(shù)占總頁數(shù)的，又讀了 20頁后，這時(shí)已1 8讀頁數(shù)占總頁數(shù)的，這20頁占這本書總頁數(shù)的丨，如此這本1 6 16 18課外讀物的頁數(shù)為：1 120 十=630頁16 1

20、81【例13】兄弟三人合買一臺(tái)彩電，老大出的錢是其他兩人出錢總數(shù)的-，老二2出的錢是其他兩人出錢總數(shù)的1，老三比老二多出400元。問這臺(tái)彩電多少錢？3分析與解從字面上看1和1的單位“ 1都是其他兩人出錢的總數(shù)，但含義是不同的，1是2 321以老二和老三出錢的總數(shù)為單位“1， 1是以老大和老三出錢的總數(shù)為單位3“ 1。但三人出錢的總數(shù)彩電價(jià)格是不變的，把它確定為單位“T,老大1 1出的錢數(shù)相當(dāng)于彩電價(jià)格的 ，老二出的錢相當(dāng)于彩電價(jià)格的 ，老三出12131155的錢數(shù)相當(dāng)于彩電價(jià)格的1 丄 -=-，400元相當(dāng)于彩電價(jià)格的-12 1 3 1212=!。這臺(tái)彩電的價(jià)格為：13 61 1 1400 十

21、1-=2400元121313五、假設(shè)思想假設(shè)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，常用有推測(cè)性假設(shè)法和沖突式假設(shè)法。1、推測(cè)性假設(shè)法推測(cè)性假設(shè)法是通過假定，再按照題的條件進(jìn)展推理，然后調(diào)整設(shè)定內(nèi)容，從而得到正確答案。3【例14】一條公路修了 1000米后，剩下局部比全長(zhǎng)的-少200米，這條公路全5長(zhǎng)多少米？分析與解由題意知，假設(shè)少修200米，也就是修1000 200=800米，那么剩下局部正3 3好是全長(zhǎng)的-，因此已修的800米占全長(zhǎng)的1 -，所以這條公路全長(zhǎng)為：5 531000- 200-： 1 -=2000米52、沖突式假設(shè)法沖突式假設(shè)法是解應(yīng)用題中常用的一種思維方法。通過對(duì)某種量的大膽假設(shè)，再 依照

22、條件進(jìn)展推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾沖突，進(jìn)展比擬，作適當(dāng)調(diào)整，從而 找到正確答案的方法?！纠?5】甲、乙兩班共有96人，選出甲班人數(shù)的丄和乙班人數(shù)的-，組成224 5人的數(shù)學(xué)興趣小組，問甲、乙兩班原來各有多少人？分析與解11假設(shè)兩班都選出-，如此選出96 X -=24：人，假設(shè)比實(shí)際多項(xiàng)選擇出24- 22=244人。調(diào)整：這是因?yàn)榘堰x出乙班人數(shù)的 -假設(shè)為選出-，多算了 1 -丄=丄，由此可5 44520先算出乙班原來的人數(shù)。11196X - 22-：- -=40人445甲班原來的人數(shù)：96 40=56人【例16】某書店出售一種掛歷，每售出1本可得18元利潤(rùn)。售出一局部后每本2 減價(jià)10元出售，全部售完。減價(jià)出售的掛歷本數(shù)是減價(jià)前出售掛歷本數(shù)的-。3書店售完這種掛歷共獲利潤(rùn)2870元。書店共售出這種掛歷多少本？分析與解根據(jù)減價(jià)出售的掛歷本數(shù)是減價(jià)前出售掛歷本數(shù)的 -，我們假設(shè)減