1、2.3變量間的相關(guān)關(guān)系1.某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負(fù)相關(guān),則其回歸方程可能是()A.=-10x+200B.=10x+200C.=-10x-200D.=10x-200解析:由y與x負(fù)相關(guān),排除B,D,而C中=-10x-200<0不符合題意.答案:A2.對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,10),得散點圖(1);對變量u,v有觀測數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,10),得散點圖(2).由這兩個散點圖可以判斷()A.變量x與y正相關(guān),u與v正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)解析:題圖(1)

2、中的數(shù)據(jù)y隨著x的增大而減小,因此變量x與變量y負(fù)相關(guān);圖(2)中的數(shù)據(jù)v隨著u的增大而增大,因此u與v正相關(guān).答案:C3.某市居民20072011年家庭年平均收入x(單位:萬元)與年平均支出Y(單位:萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示:年份20072008200920102011收入x11.512.11313.315支出Y6.88.89.81012根據(jù)統(tǒng)計資料,居民家庭年平均收入的中位數(shù)是,家庭年平均收入與年平均支出有線性相關(guān)關(guān)系. 解析:由題表可知,該市居民20072011年家庭年平均收入呈遞增趨勢,其中位數(shù)是13,家庭年平均收入與年平均支出有正線性相關(guān)關(guān)系.答案:13正4.下表是某地的

3、年降雨量與年平均氣溫的一組數(shù)據(jù),兩者具有線性相關(guān)關(guān)系嗎?求回歸直線方程有意義嗎?年平均氣溫/12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量/mm748542507813574701432解:以x軸為年平均氣溫,y軸為年降雨量,可得相應(yīng)的散點圖如圖所示:因為圖中各點并不在一條直線的附近,所以兩者不具有線性相關(guān)關(guān)系,沒必要用回歸直線進(jìn)行擬合,即使用公式求得回歸直線方程也是沒有意義的.5.一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進(jìn)行了10次試驗,收集數(shù)據(jù)如下:零件數(shù)x/個102030405060708090100加工時間y/分62687581899

4、5102108115122(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系?(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求:y關(guān)于x的回歸直線方程;x關(guān)于y的回歸直線方程.解:(1)畫出散點圖如圖所示.由圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)列表、計算:i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200=55,=91.7,=38500,=87777,xiyi=55950設(shè)所求的回歸直線方程為x+,則由上表可得0.668,91.7-0.668×55=54

5、.96.故所求的回歸直線方程為=0.668x+54.96.設(shè)所求回歸直線方程為y,則1.495,55-1.495×91.7-82.09.故所求回歸直線方程為=1.495y-82.09.6.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x+;(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤,試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?(參考數(shù)值

6、:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)解:(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù),可得散點圖如圖所示:(2)由對照數(shù)據(jù),計算得=86,=4.5,=3.5,已知xiyi=66.5,所以,由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為=0.7,=3.5-0.7×4.5=0.35.因此,所求的線性回歸方程為=0.7x+0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗,得降低的生產(chǎn)能耗為90-(0.7×100+0.35)=19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).7.為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系,下表記錄了小李某月1號到5號每天

7、打籃球時間x(單位:小時)與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系:時間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為,用線性回歸分析的方法,預(yù)測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為. 解析:這5天的平均投籃命中率為=0.5,=3,(xi-)(yi-)=(1-3)×(0.4-0.5)+(2-3)×(0.5-0.5)+(3-3)×(0.6-0.5)+(4-3)×(0.6-0.5)+(5-3)×(0.4-0.5)=0.1,(xi-)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,=0.

8、01,=0.5-0.03=0.47.所以回歸直線方程為=0.01x+0.47.當(dāng)x=6時,=0.01×6+0.47=0.53.答案:0.50.538.調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元),調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程:=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知,家庭年收入每增加1萬元,年飲食支出平均增加萬元. 解析:由題意知0.254(x+1)+0.321-(0.254x+0.321)=0.254.答案:0.2549.高三·一班學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間x(單位:h)與

9、數(shù)學(xué)成績y(單位:分)之間有如下數(shù)據(jù):x24152319161120161713y92799789644783687159某同學(xué)每周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間為18h,請預(yù)測該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績.解:兩個有相關(guān)關(guān)系的變量之間的關(guān)系可以用線性回歸方程來表示,而對總體的預(yù)測可由回歸直線方程幫助解決.用科學(xué)計算器計算得回歸直線方程為=3.53x+13.44.當(dāng)x=18時,=3.53×18+13.4477.故預(yù)計該同學(xué)數(shù)學(xué)成績約為77分.10.某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù):年份20022004200620082010需求量/萬噸236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需

10、求量與年份之間的回歸直線方程x+;(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2012年的糧食需求量.解:(1)由所給數(shù)據(jù)看出,年需求量與年份之間是近似直線上升,下面來配回歸直線方程,為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下:年份-2006-4-2024需求量-257-21-1101929對預(yù)處理后的數(shù)據(jù),容易算得=0,=3.2.=6.5,=3.2.由上述計算結(jié)果,知所求回歸直線方程為-257=(x-2006)+=6.5(x-2006)+3.2,即=6.5(x-2006)+260.2.(2)利用直線方程,可預(yù)測2012年的糧食需求量為6.5(2012-2006)+260.2=6.5×6+260.2=299

11、.2(萬噸)300(萬噸).11.(2012福建高考,文18)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù):單價x/元88.28.48.68.89銷量y/件908483807568(1)求回歸直線方程x+,其中=-20,;(2)預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元?(利潤=銷售收入-成本)解:(1)由于(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5,(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80,所以=80+20×8.5=250,從而回歸直線方程為=-20x+250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元,依題意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20+361.25,當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時,L取得最大值.故當(dāng)單價定為8.25元時,工廠可獲得最大利潤.12.在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線實驗,得到腐蝕深度y與腐蝕時間t之間對應(yīng)的一組數(shù)據(jù):時