1、數(shù)學(xué)物理方法1、 填空題1、 函數(shù)為：(x)= ；又稱為第二類歐拉積分的為：。2、 B函數(shù)（又稱為第一類歐拉積分）為：；B函數(shù)與函數(shù)之間的重要關(guān)系為：3、 勒讓德Pl(x)的母函數(shù)：（B卷）4、 貝塞爾Jn(x)的母函數(shù)：；其積分形式為：（B卷）5、 球階函數(shù)：6、7、 SL方程表現(xiàn)形式：8、 復(fù)數(shù)9、10、 復(fù)數(shù)11、 在可展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)： 12、 函數(shù)在z=0處的奇點(diǎn)類型為本性奇點(diǎn)，其留數(shù)為： 。13、 已知x為復(fù)數(shù)，則 0 。14、 函數(shù)的傅里葉變換為： 。15、 函數(shù)的傅里葉變換為： 。16、 數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的適定性是指解的 存在性 ， 唯一性 ， 穩(wěn)定性 。17、 的模為，主輻

2、角為： -1 。（B卷）18、若解析函數(shù)的虛部且，則解析函數(shù)為 。19、 0 。20、在的環(huán)域上，函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)為21、。22、 函數(shù)在的奇點(diǎn)類型為 可去奇點(diǎn) ，其留數(shù)為 0 。23、求解本性奇點(diǎn)留數(shù)的依據(jù)為 洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的負(fù)一次項(xiàng)系數(shù) 。24、在這個(gè)周期上，。其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為25、 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。則函數(shù)的傅里葉變換為26、的拉普拉斯變換為。27、 一根兩端(左端為坐標(biāo)原點(diǎn)而右端）固定的弦，用手在離弦左端長(zhǎng)為處把弦朝橫向撥開(kāi)距離，然后放手任其振動(dòng)。橫向位移的初始條件為 。28、。29、復(fù)數(shù)，。30、若解析函數(shù)的實(shí)部，則虛部 ，若，則實(shí)部為。31、 已知，為任一回路，n為任一整數(shù)

3、，不在l上，則 2i ( n = -1 且 l 包含) 或者0 (其它情況)。32、 在的環(huán)域上，函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)為_(kāi) 。33、 0 。34、 函數(shù)在的奇點(diǎn)類型為 本性奇點(diǎn) ，其留數(shù)為 。35、孤立奇點(diǎn)可分為三類，分別為 可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn) 。36、的拉普拉斯變換為。37、 一根兩端(左端為坐標(biāo)原點(diǎn)而右端）固定的弦，用手在離弦左端長(zhǎng)為處把弦朝橫向撥開(kāi)距離，然后放手任其振動(dòng)。橫向位移的初始條件為。二、判斷題（1）若函數(shù)   f(z )在z 點(diǎn)解析，則函數(shù) f (z)  在z 點(diǎn)可導(dǎo)，反之亦

4、然。  （×）（2）若函數(shù)   f(z )在z 點(diǎn)解析，則函數(shù) f (z)  在z 點(diǎn)可導(dǎo)。 （）（3）若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)必解析。 （×)（4）復(fù)通區(qū)域上的回路積分不一定為零。同樣，單通區(qū)域上的回路 積分也可以不為零。  （） （5）設(shè)z 為復(fù)數(shù)，則  。  （×）（6）設(shè)z為復(fù)數(shù)，則 （×）（7）數(shù)學(xué)物理方程的定解條件可以不含邊界條件但一定要有初始條件。 

5、（× ）（8）設(shè)z*為z的共軛復(fù)數(shù)，則。                        （ ）（9）z為復(fù)數(shù)，。 （×）（10）若函數(shù)f(z)在某區(qū)域上解析，則對(duì)該區(qū)域上的任一分段光滑曲線，都有ò。           

6、                            （×）（11）是二階線性齊次偏微分方程。 （×）三、證明題1、 解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，且其梯度向量相互正交。2、 用傅里葉變換方法解泊松方程解：設(shè)真空中靜電勢(shì)滿足上述方程即 令，并記，對(duì)方程進(jìn)行傅里葉變換的利用變換公式有，故由卷積定

7、理得3、 用格林函數(shù)法解泊松方程（B卷）解：其格林函數(shù)滿足的方程為采用球坐標(biāo)，并將坐標(biāo)原點(diǎn)放在源點(diǎn)上的距離，則當(dāng)時(shí)，方程化為齊次的，即，則得，取，不失一般性，得考慮的情況，則，而所以，即，所以四、解答題1、解析函數(shù)有幾個(gè)基本的性質(zhì)解：解析函數(shù)求積分為0（柯西定理）幾何性質(zhì)為保角變換實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)2、奇點(diǎn)分為幾類？如何判別？ 解：在挖去孤立奇點(diǎn)Zo而形成的環(huán)域上的解析函數(shù)F（z）的洛朗級(jí)數(shù)，或則沒(méi)有負(fù)冪項(xiàng)，或則只有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，或則有無(wú)限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，我們分別將Zo稱為函數(shù)F（z）的可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)及本性奇點(diǎn)。 判別方法：洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)法 A，先找出函數(shù)f(z)的奇

8、點(diǎn)； B，把函數(shù)在的環(huán)域作洛朗展開(kāi) 1） 如果展開(kāi)式中沒(méi)有負(fù)冪項(xiàng)，則Zo為可去奇點(diǎn)； 2）如果展開(kāi)式中有無(wú)窮多負(fù)冪項(xiàng)，則Zo為本性奇點(diǎn)； 3）如果展開(kāi)式中只有有限項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)，則 為極點(diǎn)，如果負(fù)冪項(xiàng)的最高項(xiàng)為 ，則 為m階奇點(diǎn)。3、數(shù)學(xué)物理泛定方程一般分為哪幾類？波動(dòng)方程屬于其中的哪種類型？解：數(shù)學(xué)物理泛定方程一般分為三種類型：雙曲線方程、拋物線方程、橢圓型偏微分方程。波動(dòng)方程屬于其中的雙曲線方程。4、寫(xiě)出(x）挑選性的表達(dá)式解：函數(shù) 函數(shù)的性質(zhì)，即挑選性的表達(dá)式為：5、泰勒定理與洛朗定理解：泰勒定理：設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，則在該區(qū)域

9、內(nèi)任意一點(diǎn)z=b的領(lǐng)域（含于內(nèi)），可展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)：稱為泰勒級(jí)數(shù)。其中系數(shù)稱為泰勒系數(shù)，且此展開(kāi)是唯一的。洛朗定理在環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)必可展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)，其中稱為洛朗展開(kāi)系數(shù)，為圓周，且此展開(kāi)是唯一的。6、 傅里葉變換公式解：7、 函數(shù)與B函數(shù)解：函數(shù)為：(x)= ；又稱為第二類歐拉積分的為：。B函數(shù)（又稱為第一類歐拉積分）為：。8、 三坐標(biāo)下的拉普拉斯方程表示方式解：柱坐標(biāo)下極坐標(biāo)下球坐標(biāo)下9、 格林兩大公式解：格林第一公式：格林第二公式：五、計(jì)算題1、 用留數(shù)定理計(jì)算解：若n則由柯西定理有；若，則為其奇點(diǎn)，于是若，則，為其階奇點(diǎn)，于是2、 應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)求積分正弦 解：或者等于3、 將在復(fù)平面中

10、以z=0為中心進(jìn)行洛朗展開(kāi)。（B卷）解：在復(fù)平面中僅有z=1和z=2兩個(gè)奇點(diǎn)（1）（2）（3）4、 利用傅里葉變換求無(wú)界桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題解：對(duì)上兩式一x為變量分別進(jìn)行傅里葉變換，并記則有 解得由傅里葉逆變換得而（注：）所以5、 利用格林函數(shù)法求二維泊松方程的基本解6、 在勻強(qiáng)電場(chǎng)E0中，放一接地的導(dǎo)電球，球的半徑等于a，求球外電場(chǎng)。（B卷）7、 將任意的二階常微分方程寫(xiě)成施劉型方程（P311P312）6、 論述題1、施-劉本征值的特點(diǎn)解：如果存在一階極點(diǎn)，則存在無(wú)限多本征值所有本征值m0本征函數(shù)帶權(quán)重正交歸一本征函數(shù)族具有完備性2、各種解數(shù)理方程的方法優(yōu)缺點(diǎn)，適用條件解：行波法：用于解無(wú)邊限條件的行波問(wèn)題分離變量法：適用范圍廣，可解各種定解問(wèn)題積分變換法：可以減少自變量的個(gè)數(shù)，