1、 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下） 河海大學(xué)理學(xué)院河海大學(xué)理學(xué)院整理課件第四節(jié) 以2L為周期的傅氏級(jí)數(shù) 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件一、以2L為周期的傅氏級(jí)數(shù)定理定理式式為為則則它它的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)收收斂斂定定理理的的條條件件滿(mǎn)滿(mǎn)足足的的周周期期函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)周周期期為為,)(2Dirichletxfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 為為其其中中系系數(shù)數(shù)nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2, 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln.),()(上上也也行行定定義義在在llxf 高等數(shù)學(xué)（下）高

2、等數(shù)學(xué)（下）整理課件證明證明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 設(shè)設(shè).2)(為為周周期期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其其中中,:連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂于于自自己己結(jié)結(jié)論論仍仍是是.的的平平均均值值間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂于于左左右右極極限限 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件dxllxnxlFallncos)(1dxlxnxflllcos)(1)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其

3、其中中l(wèi)xz 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件,)()2(為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果xf則有則有,cos2)(10 nnlxnaaxf為為其其中中系系數(shù)數(shù)na),2, 1 ,0( n,)()1(為為奇奇函函數(shù)數(shù)如如果果xf則有則有,sin)(1 nnlxnbxf為為其其中中系系數(shù)數(shù)nb),2 , 1( n.), 0()(上上也也行行定定義義在在lxf,sin)(20dxlxnxflbln dxlxnxflaln 0cos)(2 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件二、典型例題k2 xy2044 例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是是周周期期為為 4 的的周周期期函函數(shù)數(shù),它它在在)2 , 2 上上的

4、的表表達(dá)達(dá)式式為為 20020)(xkxxf, 將將其其展展成成傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).解解., 2 滿(mǎn)滿(mǎn)足足狄狄氏氏充充分分條條件件 l 2002021021kdxdxa,k 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk12sin) 1(1 2)(nnxnnkkxf),4,2,0;( xx na), 2 , 1( n)1(1nnk.2k 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件解解,10 xz作變量代換作變量代換155 x, 55 z)(xf),(zFz ,55)(，定定義義在在函函數(shù)數(shù) zzF)10()( TzF作作周周期

5、期延延拓拓然然后后將將,收斂定理的條件收斂定理的條件這拓廣的周期函數(shù)滿(mǎn)足這拓廣的周期函數(shù)滿(mǎn)足 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 505sin)(52dzznzbn ,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件三、小結(jié)利用變量代換求傅氏展開(kāi)式利用變量代換求傅氏展開(kāi)式; ;求傅氏展開(kāi)式的步驟求傅氏展開(kāi)式的步驟; ;1.1.畫(huà)圖形驗(yàn)證是否滿(mǎn)足狄氏條件畫(huà)圖形驗(yàn)證是否滿(mǎn)足狄氏條件( (收斂域收斂域, ,奇偶性奇偶性););2.2.求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù); ;3.3.寫(xiě)出傅氏級(jí)數(shù)寫(xiě)出傅氏級(jí)數(shù), ,并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于).(xf以以2 2l l為周期的傅氏系數(shù)為周期的傅氏系數(shù); ; 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件XT.22)(202)(. 1展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)將將 lxlxlplxpxxM)., 3 , 1(2)1(), 4 , 2(02221 nnplbnbnnn )2()