1、懸臂梁固有頻率的計(jì)算試求在x。處固定、x l處自由的等截面懸臂梁振動(dòng)的固有頻率(求解前五階)解：法一：歐拉-伯努利梁理論懸臂梁的運(yùn)動(dòng)微分方程為:4w(x,t) 2w(x,t)EI-+ A L 0xt懸臂梁的邊界條件為：w(x, 2dww0) 0(1), (x 0)0(2),-2dxx2w0(3),一(EI f x lxx0(4)；x l該偏微分方程的自由振動(dòng)解為w(x, t)W(x)T，將此解帶入懸臂梁的運(yùn)動(dòng)微分方程可得到W(x)C1cos x C2 sin4x C3cosh x C4 sinh x, T (t) Acos wt Bsinwt；其中將邊界條件(1)、(2)帶入上式可得 C1c3

2、 0, C2 c4 0；進(jìn)一步整理可得W(x)C1 (cos x cosh x) C2(sin x sinh x)；再將邊界條件(3)、(4)帶入可得C1 (cos l cosh l) C2(sin l sinh l) 0；C1( sin l sinh l) C2(cos l coshl) 0要求Ci和C2有非零解，則它們的系數(shù)行列式必為零，即(cos l cosh l)(sin l sinh l)(sin(cosl sinh l)l cosh l)=0所以得到頻率方程為:cos(l)cosh( nl) 1 .該方程的根nl表示振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率:2 EI 1wn( nl) (4)2,nAl1

3、,2,滿足上式中的各nl (n 1，2,)的值在書P443表中給出,現(xiàn)羅列如下：1l 1.875104, 2l 4.694091,3l 7.854757, 4l 10.995541,5l14.1372 ;若相對于n的5值表示為C2n ,根據(jù)式中的C1nC2n可以表示為C2ncosC1n( sinnl c0sh nl)；因 nl sinh nl此Wn(x) C1n (cos nx cosh nx)cos nlcosh nlsin nl sinhnl(sin n x sinhnx) ,n1,2,.由此可得到懸臂梁的前五階固有頻率,分別將 n=1,2,3,4,5帶入可得:2 EI 12 4.6940

4、912(4)2,2Al42 EI 13 7.854757 (卞)2,4 10.9955412(-EI)2,Al5 14.13722(法二、鐵摩辛柯梁梁理論1.懸臂梁的自由振動(dòng)微分方程:EI 4w(x,t)EI4x2w(x,t)t2EI(1 )kG4 w2 -2x t2I 4w kG-tT邊界條件:w(x0) (x0)0(1)0(2);設(shè)方程的通解為:w(x, t)Csin lx x一 coswnt;易知邊界條件1）滿足此通解，將通解帶入上面的微分方程可得到頻率方程為:4w4*w2(122 2n rl20；其中Ia'且；若轉(zhuǎn)A動(dòng)慣量與剪切變形的影響均忽略,上式的頻率方程簡化為22nEI

5、n2A l2當(dāng) n=1,2,3,4,5時(shí)可分別求得固有頻率為:W1包二，w2A l2EI 9 2A l2”,w3w4EI 16A lEI 25 2A l2 °2J W5多自由度系統(tǒng)頻率的計(jì)算方法等效質(zhì)量：連續(xù)系統(tǒng)懸臂梁簡化為5個(gè)相等的集中質(zhì)量mlm2m3m4m51.鄧克萊法鄧克萊公式為:1aiim)1a22 m2La55 m5，13其中 an ,a22375EI813375EI ,a33913125EI ,a446413, a55375EI133EImlm2m3m4mm5;將其代入上式可求得系統(tǒng)的基頻為:w1 ； 2.887(EIAl1,此基頻比用伯努利-歐拉梁求得的一階固有頻率2

6、EI 511.875104 (4)2A1 偏小，誤差為,與鄧克萊法的推導(dǎo)預(yù)期相符。2.瑞利法系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣分別為m00000m0001M00m005000m 00000 ml3l34l311 l37l 3375EI150EI375 EI750 EI375 EIl38l314 l 34 l326l3150EI375EI375 EI75 EI375 EI4l314l39l327l318l3K375EI375EI125 EI250 EI125 EI11l34l327 l 364l388l3750EI75EI250 EI375 EI375 EI7l326l318 l 388l3l3

7、375EI375EI125 EI375 EI3EI517798627932221270004500225854181181862791117211244719450015750586193181181EI32221124471562212616314221549332224427000945002616338279825001811812231181450015750142218250060291811814418 130取靜變形曲線為假設(shè)陣型，設(shè)A (40 141 279 436 600)T 有AT MA 649418mAT KA1122000EI,A M13MA28401503m275EI

8、所以R (A)AT KA 8.64EIT4-AT MA l4,R (A)ATMAATM MA8.57EI4l，此基頻比用伯努利-歐拉梁求得的一階固有頻1 1.8751042(-)2率Al偏大，誤差為%與瑞利法的推導(dǎo)預(yù)期相符。3.里茨法系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣由上面給出，設(shè)陣型為i (1 2 3 4 5)T,2 (1 3 5 7 9)T;*則可求出M ,K分別為* TM = TM55m 95m95m 165m78375EI 57375EIK TK181l3181l357375EI 78375EI181l3181l3* _*_ _ *2 _* 一-* 一將M ,K 代入(k w m )a 0 得

9、K* w*2M所以系統(tǒng)前兩階主陣型的近似為以及A*(1)0;可以求得：0.578，a*(2)10.291.00001.59152.18312.77463.36621.00000.6303A(1)= A*(1) =0.422 0.2607 人= A*=0.71-0.1090-0.47874.雅克比法動(dòng)力矩陣為l3ml3m413m11l3m7l3m375EI150EI375EI750EI375EIl3m8l3m1413m413m26l3m150EI375EI375EI75EI375EI413m1413m9l3m2713m18l3m375EI375EI125EI250EI125EI11l3m34l m2713m64l3m88l3m750EI75EI250EI375EI375EI713m2613m1813m88l3ml3m375EI375EI125EI375EI3EIM,由雅可比法求解其特征值和特征向量為：其固有頻率2.9300000 18.7000 一 000 52.70 * E3 0 陣型為000 100 "m 00000 158.11T0.0459 0.1669 0.3387 0.5