1、第二章推理與證明理網(wǎng)絡(luò)明結(jié)構(gòu)推理與證明數(shù)學(xué)歸納法探題型提能力題型一合情推理與演繹推理1 歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到 特殊的推理，但二者都能由已知推測(cè)未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn) 一步證明.2演繹推理與合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式，也是公理化體系所采用的推理形式.另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性.例 1 (1)有一個(gè)奇數(shù)列 1,3,5,7,9 ，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù)1;第二組含兩個(gè)數(shù)3,5;第三組含三個(gè)數(shù)7,9,11;第四組含四個(gè)

2、數(shù)13,15,17,19;試觀察每組 內(nèi)各數(shù)之和f_歸納推理-類比推理合情推理三段論證明一_綜合法直接證明一-分析法間接證明一反證法推理演繹推理2(n)(n Nk)與組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系式為 _ .在平面幾何中，對(duì)于 RtABC ACLBC設(shè)AB= c,AC= b,BC= a,貝 U1a2+b2=c2；222cosA+ cos A 1;3A B為定點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA+ |PB= 2a|AB，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓;2由a1= 1,an+1= 3an 1，求出S,S2,S3,猜想出數(shù)列的通項(xiàng)an和S的表達(dá)式;3由圓x2+y2= 1 的面積S=nr2，猜想出橢圓的面積S=nab;科學(xué)家利用魚的沉浮原

3、理制造潛艇.答案設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,則S4,S8-S4, $2S, S6S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn,則T4,解析 等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為:I0I12I16比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn,則T4,-,二廠成等比數(shù)列.I4I-T12題型二綜合法與分析法RtABC勺外接圓半徑為r=a；b.把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論；如果你能證明，寫出證明過(guò)程；如果在直角三角形中你還發(fā)現(xiàn)了異于上面的結(jié)論，試試看能否類比到空間？(1)答案f(n) =n3解析由于 1 = 133+ 5 = -= 2,7 + 9 + 11

4、= 27 = 33,13+ 15+ 17+ 19 = 64 = 43,，猜想第n組內(nèi)各數(shù)之和f(n)與組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系式為f(n) =n3.(2)解 選取 3 個(gè)側(cè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對(duì)象.3 個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S,S2,S3,底面面積為S,貝US+S2+ &=S2.3 個(gè)兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為a,3,Y,則 COSa+ COS3+ COS 丫 =設(shè)設(shè)1.設(shè) 3 個(gè)兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長(zhǎng)分別為a,b,c,則這個(gè)四面體的外接球的半徑為R寸a2+b2+c22 反思與感悟(1)歸納推理中有很大一部分題目是數(shù)列內(nèi)容，通過(guò)觀察給定的規(guī)律，得到一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通

5、項(xiàng)公式是數(shù)列中的常見方法.(2)類比推理重在考查觀察和比較的能力，題目一般情況下較為新穎，也有一定的探索性.跟蹤訓(xùn)練 1(1)下列推理是歸納推理的是，是類比推理的是答案T8T12T4亍8T16，石成等比數(shù)列.112設(shè)等4綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法,但兩種證明方法思路截然相反,析法既可用于尋找解題思路，也可以是完整的證明過(guò)程,分析法與綜合法可相互轉(zhuǎn)換,相互5滲透，要充分利用這一辯證關(guān)系，在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運(yùn)用，轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途徑一般以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表示證明過(guò)程.例 2 用綜合法和分析法證明.證明（分析法）sina只要證明4sina

6、COSawa (0, n) , Sina0.1w1cosa-1cosa0,（綜合法）1 cosa+4(1cosa)4,1n(1 cosa0,當(dāng)且僅當(dāng) cosa= 2,即卩a= 3 時(shí)取等號(hào))2314cosa W.1cosaT a (0, n), Sina0.sina4sinacosa w.1cosasina2sin 2a w.已知a （0 ,n），求證:sina2sin 2a1-cosa要證明 2sin 2a w門門“成立.1cosa只要證明 4cos上式可變形為+4(1cosa)a+ 4(1 cos1 coscosa1cos當(dāng)且僅當(dāng) cosa= 1,na=亍時(shí)取等號(hào).-4W1COSa +4(

7、1cosa)成立.不等式 2sin 2a w嚴(yán)亠成立.1cosa61cosasin 2a + BsinB跟蹤訓(xùn)練 2 求證：2cos(a+B)=si nasina7證明 / sin(2a+3) 2cos(a+3)sina兩邊同除以 sina題型三反證法反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結(jié)論的反面出發(fā)引出矛盾，從而肯定命題的結(jié)論.反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價(jià)性，從邏輯角度看，命題：“若p則q”的否定是“若p則綈q”，由此進(jìn)行推理，如果發(fā)生矛盾，那么就說(shuō)明“若 以導(dǎo)出“若p則q”為真，從而達(dá)到證明的目的.1 +x1 +y例 3 若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+y2,求證：廠2 或廠2 中至

8、少有一個(gè)成立.1 +x1 +y證明 假設(shè) 2 和 2和-2同時(shí)成立.yx因?yàn)閤0 且y0,所以 1 +x2y且 1 +y2x,兩式相加，得 2 +x+y2x+ 2y，所以x+y2 矛盾.1 +x1 +y故- 2 與 一-2(b+d).求證：方程x2+ax+b= 0 與方程x2+cx+d= 0 中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.證明假設(shè)兩方程都沒有實(shí)數(shù)根，2 2 2 2 2 2則1=a 4b0 與2=c 4d0,有a+c2ac,從而有 4(b+d)2ac,即ac2(b+d)，與已知矛盾，故原命題成立.=sin(a+3)+a2cos(a+3)sin=sin(a +3)cosa +cos(3)sina 2c

9、os(a + 3)sina=sin(a +3)cosa cos(3)sin=sin(a+3) 一a=sin、il 2 a + 3sina2cos(a +sin3)=snap則綈q”為假，從而可8題型四數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種邏輯推理，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當(dāng)n=k+ 1 時(shí)結(jié)論正確”的過(guò)程中，必須用“歸納假設(shè)”，否則就是錯(cuò)誤的.例 4 用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n N+時(shí)，1 n+ 2 (n 1) + 3 (n 2) + (

10、n 2) 3+ (n11) 2+n 1 = gn(n+1) (n+ 2).1證明(1)當(dāng)n= 1 時(shí)，1= 1 2 3,結(jié)論成立.6(2)假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，1即 1 k+ 2 (k 1) + 3 (k 2) + (k 2) 3+ (k 1) 2+k 1 = ;k(k+ 1)(k+ 2).當(dāng)n=k+ 1 時(shí)，貝U1 (k+ 1) + 2 k+ 3 (k 1) + (k 1) 3+k 2+ (k+1)I=1 k+ 2 (k 1) + (k 1) 2+k 1+ 1 + 2+ 3 + +k+ (k+ 1)11k(k+ 1)(k+ 2) +-(k+ 1)(k+ 2)621=6(k+ 1)(k+ 2)

11、(k+ 3),即當(dāng)n=k+ 1 時(shí)結(jié)論也成立.綜合上述，可知結(jié)論對(duì)一切n N+都成立.1跟蹤訓(xùn)練 4 數(shù)列an滿足：a1= 1,an+1=尹卄 1.(1)寫出a2,a3,a4.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.1113解 (1)因?yàn)閍1= 1,an+1= ?an+ 1,所以a2=，a1+ 1 = + 1 =11 37a3= 5a2+ 1 = 2 + 1 = 4.11 715a4= 2a3+1= 2 4+1=8.2n 1證明方法一猜想 an= -.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，21 1、卄、1當(dāng)n= 1 時(shí)，a1= 2 一1= 1,滿足上式，顯然成立；k .2 192假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)ak=21，那么當(dāng)n=k+ 1 時(shí)

12、，1.12k 1.2k 1 .2k 1 + 2k2k+1 1、卄_ak+1= gak+1 = ? 1+ 1 = + 1 =2=2滿足上式， 即當(dāng)n=k+ 1 時(shí)猜想也成立,10方法二 因?yàn)閍n+1= ?an+ 1，所以an+1-2 = fan+ 1-2，即an+1-2=(an 2),即bn是以b1= - 1,1為公比的等比數(shù)列,呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1 歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到 特殊的推理，但二者都能由已知推測(cè)未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn) 一步證明.2演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式也 是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的， 前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性.3直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常把它們結(jié)合起來(lái)使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.4 數(shù)學(xué)