1、函數(shù)的最大（?。┲捣炙袑W(xué)數(shù)學(xué)組 李治汶一、溫習(xí)舊知一、溫習(xí)舊知一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1， x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有 f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1， x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2) ，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。增函數(shù)圖像減函數(shù)圖像-6-4-20246-10-50510()yx xRxy結(jié)論一：y=x2的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)(0,0). y=-x2的圖象上有一個(gè)最高點(diǎn)(0,0)，y=x的圖象沒有最低點(diǎn)也沒有最高點(diǎn).在函

2、數(shù)圖象中，不是所有的函數(shù)圖象都有最高點(diǎn)或者最低點(diǎn).二、新知探討二、新知探討問題一：這些圖象都有最低點(diǎn)或者最高點(diǎn)嗎？051015202530-10-505102()yxxRx-30-25-20-15-10-50-10-505102()yx xRxyy問題二：對于函數(shù)y=-x2的圖象，存在一個(gè)最高點(diǎn)(0,0)，你對這個(gè)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是怎么理解的？結(jié)論二：圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值.-30-25-20-15-10-50-10-505102()yx xR x（0,0）y問題三:在y=-x2圖象中，對于任意的x R，函數(shù)值是否都小于某一個(gè)常數(shù)？如果小于某個(gè)常數(shù)，我們怎么用數(shù)學(xué)語言描述它？-30-

3、25-20-15-10-50-10-505102yx 結(jié)論三：我們已經(jīng)知道y=-x2 的最高點(diǎn)是(0,0)，所以對于任意的x R，函數(shù)值都小于一個(gè)常數(shù)0。數(shù)學(xué)語言描述：對于任意的xR，f(x) f(0) 。yx-35-30-25-20-15-10-50510-10-50510問題四：如果函數(shù)y=f(x)圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)是(x0, y0)，我們又怎么來描述呢？結(jié)論四：對于任意的x R ，都有yy0，即f(x)f(x0)yx在數(shù)學(xué)中，最高點(diǎn)(x0, y0)的縱坐標(biāo)就稱為函數(shù)f(x)的最大值，誰能給出函數(shù)最大值的定義？最大值定義：最大值定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足

4、： 對于任意的xI，都有f(x)M； 存在x0 I，使得f(x0)=M；那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。問題五：研究函數(shù)最大值時(shí)，函數(shù)圖象的最高點(diǎn)是否必須存在，最高點(diǎn)是否必須在函數(shù)圖象上？結(jié)論五：函數(shù)圖象的最高點(diǎn)必須存在，只有函數(shù)圖象存在最高點(diǎn)時(shí)，函數(shù)才存在最大值，并且最高點(diǎn)必須在函數(shù)圖象上。最小值定義：最小值定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： 對于任意的x I，都有f(x)M； 存在x0I，使得f(x0)=M；那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。你能根據(jù)函數(shù)最大值的定義，歸納出函數(shù)最小值的定義嗎？函數(shù)最大值和最小值的幾何意義:函數(shù)最大值的幾何意義：函數(shù)

5、圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)。函數(shù)最小值的幾何意義：函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)。注意： M是一個(gè)函數(shù)值，它是值域內(nèi)的一個(gè)元素，如f(x)=-x2的最大值為0，有f(0)=0。 對于定義域內(nèi)的全部元素都有f(x) M（或者f(x) M）成立。例：“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一，制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂。如果煙花距地面的高度h(m)與時(shí)間t(s)之間的關(guān)系為h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）？從圖象可以看出，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度。

6、-505101520253035012345tho解：對于函數(shù)h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，由于a=-4.9，所以函數(shù)圖象開口向下，當(dāng) 時(shí)有最高點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值2bta 24 ( 4.9) 18 14.7294 ( 4.9)h 于是，煙花沖出1.5s是它爆裂的最佳時(shí)刻，這時(shí)距地面的高度約為29m。注意：對于我們熟悉的一些函數(shù)，在求其最值的時(shí)候，可以先畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求最值。14.71.52 ( 4.9)t 例：已知函數(shù)， 求函數(shù)的最大值和最小值.2( )(2,6)1f xxx解：設(shè)x1， x2是區(qū)間2,6上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1x2，則121222()(

7、)11fxfxxx21122(1)(1)(1)(1)xxxx21122()(1)(1)xxxx由2 x1 x2 6，得x2- x1 0，(x1 -1)(x2-1) 0于是 f(x1) - f(x2) 0即 f(x1) f(x2) 所以，函數(shù) 在區(qū)間2,6上是減函數(shù)。2( )1f xx因此，函數(shù) 在區(qū)間2,6的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值，即在x=2時(shí)取得最大值，最大值是2，在x=6時(shí)取得最小值，最小值是0.4。2( )1f xx00.511.522.501234567xyo課堂練習(xí)：1函數(shù)f(x)(2x2)的圖象如下圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別為()Af(2)，f(-2) Bf( )，f(-1)Cf( )，f( ) Df( )，f(0)121212322y 在區(qū)間2,4上的最大值、最小值分別是()2xA1， B. ，1C. ， D. ，121212121414這節(jié)課我們收獲了什么？1. 函數(shù)最大（?。┲档亩x。2. 求函數(shù)最值的一般方法：對于熟悉的一