1、命題邏輯在數(shù)學解題中的應用學生姓名： 指導老師： 一、引言在一些數(shù)學競賽和考試中我們經(jīng)常會遇到一些很難推斷推理的題，它們一般是用自然語言表述的，容易引起歧義，這時如果用一般的推斷推理方法時，需要進行多個假設，即使通過很復雜的假設能夠推斷推理出結論，也不一定正確，而用我們所學的命題邏輯的知識進行系統(tǒng)的分析演算后，這些題就會很容易地得到解決，著名的數(shù)學家萊布尼茨說過“在人們有爭議的時候，只要把他們想說的話寫下，我們就可以簡單的說，讓我們進行演算，而無須進一步忙亂，就能看出誰是正確的?！蹦敲丛鯓討妹}邏輯來解決這些問題呢？我們中學所學過的證明題又是應用了什么樣的邏輯依據(jù)呢？在解決以上問題之前，先讓

2、我們來了解一下關于命題邏輯的一些相關知識。二、相關知識1命 題：在特定范圍、時間和空間內(nèi)，具有唯一確定的真假性的陳述句。也可以說是能夠判斷真假的陳述句。2 復合命題：由簡單命題用連結詞聯(lián)接而成的命題。 3聯(lián) 結 詞：將簡單命題聯(lián)結成復合命題的一種基本的詞語。主要有“否定” 、“合取” 、“析取” 、“蘊涵” 、“等價”這五種聯(lián)結詞。否定聯(lián)結詞有“非” 、“不是”等，如設是任一命題，復合命題“非”稱為的否定式，可以表示為“”，“ ”稱為否定聯(lián)結詞。合取聯(lián)結詞有“且” 、“并且” 、“而且”等，如設，是兩個命題，那么復合命題“并且”稱為與的和取式，可以表示為“”，“”稱為和取聯(lián)結詞。析取聯(lián)結詞有“

3、或”等，如設，是兩個命題，那么復合命題“或”稱為和的析取式，可以表示為“，“”稱為析取聯(lián)結詞。蘊涵聯(lián)結詞有“如果，那么” 、“如果，則”等，如設，是兩個命題，那么復合命題“如果，那么”，可以表示為“”，“”稱為蘊涵聯(lián)結詞。等價聯(lián)結詞有“當且僅當”， 如設，是兩個命題，那么復合命題“當且僅當”，可以表示為“”，“”稱為等價聯(lián)結詞。4命題公式：將命題常項和命題變項用聯(lián)結詞和圓括號按一定邏輯關系聯(lián)系起來的符號串（也就是說命題公式不是單個命題而是幾個命題通過聯(lián)結詞聯(lián)接起來的一串的命題）。若、為命題公式，那么，等，也為命題公式。5重 言 式：若為一命題公式，如果在它的各種賦值下取值都為真。三、命題邏輯在

4、數(shù)學推斷、推理題中的應用在解決推斷、推理題過程中，一般情況下我們會按照正常思維的方式來假設推斷推理，但是常常會覺得思維混亂，推斷推理復雜，有時候需要假設很多，所以很容易出錯，但是如果用數(shù)學中的命題演繹推理就會事半工倍，推理思路清晰，方法簡單明了，可以更容易且準確的解決這些問題。數(shù)理邏輯中的命題邏輯是最簡單也是最基礎的，也是運用非常廣泛，數(shù)理邏輯是研究命題間的推理，“命題”是研究的最小的單位，而命題邏輯在推斷、推理題中的應用主要特征就是“形式化”，也就是將研究對象“數(shù)學推理”形式化。形式化分為兩步：1.將推理系統(tǒng)符號化；2.符號化的命題和語言表述的公理和推理規(guī)則形成一個形式系統(tǒng)。最后這種形式系統(tǒng)

5、可按照命題演繹推理的方法進行推斷或推理。（一）在推斷題中的應用例1某公司為了提高工作人員的專業(yè)工作能力，故決定派出幾名優(yōu)秀的工作人員出國考察學習，甲、乙、丙、丁、戊是公司從眾多申請者中選出的幾名比較合格的人員，但為了不影響正常工作需要，他們五個不能全去，所以這次選派必須滿足以下條件：如果甲被派出國學習，則乙也要被派出國學習；丁、戊兩人中必有人被選派出國學習；乙、丙兩人中有且僅有一人被選派出國學習；丙、丁兩人要么都派去，要么都不去；若戊被派出學習，那么甲、乙也將被派出。為了合理安排工作，那么根據(jù)這些條件這個公司應該從這五人中怎樣挑選，挑選誰進行出國學習呢？方法一：一般的推斷方法分析：此題是為了推

6、斷出幾個人派出，誰應該派出，而且肯定有人被派出，但派出人數(shù)和人物不固定，那么我們就必須一個一個假設，看怎樣的假設才是合理的。假設如果甲一定被派出，那么根據(jù)條件我們可以推斷出乙一定也被派出，又由可以推斷出丙、丁都不去，那么根據(jù)條件又可推斷出戊一定去，經(jīng)過以上推斷我們可得出一種選派方案：甲、乙、戊被派出學習，丙、丁不會被派去。假設如果乙一定被派出，那么由條件可以推斷出丙、丁一定不被派出，而又由可以推斷出戊一定被派出，那么由條件又可以推斷出甲、乙也將會派出，經(jīng)過以上推斷我們也可得一種選派方案：甲、乙、戊被派出學習，丙、丁不會被派去。假設如果丙一定被派出，那么由條件可以推斷出丁一定也被派出，由條件可以

7、推出乙一定不被派出，而又條件可以推出戊可能派出，也可能不派出，假設如果戊被派出的話，由條件可以推出甲、乙一定也被派出，這就與前面的推理相矛盾，所以戊一定不被派出，因此由以上推斷可以得到一種選派方案：丙、丁被派出，甲、乙、戊不被派出。假設如果丁一定被派出，那么由條件可以推斷出丙一定派出，乙一定不被派出，又條件可以推出甲、戊一定也不被派出，所以由以上推斷可得出一種派出方案：丙、丁被派出，甲、乙、戊不被派出。假設如果戊一定被派出，那么由條件可以推斷出甲、乙一定也被派出學習，而又由可以推斷出丙、丁一定不被派出，所以由以上的推斷可以得出一種派出方案：甲、乙、戊被派出學習，丙、丁不會被派去。由以上的分析我

8、們可以得出此公司只有兩中派出方案：一種是甲、乙、戊被派出學習，丙、丁不會被派去；另一種是丙、丁被派出，甲、乙、戊不被派出。方法二：用命題邏輯推斷的方法分析：如果要推斷他們五人誰去，又有怎樣的派出方案，我們只需將必要的命題符號化，再根據(jù)所給條件寫出各個命題公式,那么我們只需將變換成析取范式的形式，那么此題就可以解決。將命題符號化：令:甲一定被派出學習；:乙一定被派出學習；:丙一定被派出學習；：丁一定被派出學習； ：戊一定被派出學習那么各條件可符號化為： ；由于各條件都是已知的，所以它們的合取式一定為真。設：=（）（）（）（）（）要想得到派出方案，只需求出的析取范式，那么求的析取范式的主要步驟是：

9、 由上面的推斷可以很容易得出只有兩種方案：一種是甲、乙、戊被派出學習，而丙、丁不會被派出；另一種是丙、丁被派出，而甲、乙、戊不被派出。（二）在推理題中的應用在推理題中用到命題演繹推理，而其中應用的各種推理規(guī)則大多是依靠推理定理完成的。常用的推理定理有：1. 附加2. 化簡3. 假言推理4. 拒取式5. 析取三段論6. 假言三段論例2某大學為慶祝建校60周年，特別舉行了“唱響未來”歌唱比賽，同學們踴躍參加，比賽圓滿結束，比賽情況如下：若趙獲得了冠軍，那么錢或孫獲得了亞軍；若孫獲得了亞軍，那么趙一定不能獲得冠軍；若李獲得了亞軍，那么錢一定不能獲得亞軍；最后趙獲得了冠軍那么有人說“李一定未獲得亞軍”

10、問：這個人說的對嗎？并加以證明。方法一：一般的推理方法分析：一般做這樣的推理題，想要推出所得的結論是否正確，我們首先得應用所給條件中最明了的，這道題中所給的條件我們可以看出“最后趙獲得了冠軍”，很明顯的告訴了我們可以從這里著手。因為“最后趙獲得了冠軍”，那么我們可以根據(jù)這條來推，由條件“若趙獲得了冠軍，那么錢或孫獲得了亞軍”，我們可以知道錢或孫獲得了亞軍。假設錢獲得了亞軍，那么我們可以由“若李獲得了亞軍，那么錢一定不能獲得亞軍”推出李沒有獲得亞軍。所以這個假設可以推出這道推理題的推理結果是正確的。假設孫獲得了亞軍，那么我們可以由“若孫獲得了亞軍，那么趙一定不能獲得冠軍”推出趙一定不能是冠軍，這

11、就與所給條件“最后趙獲得了冠軍”相矛盾了，所以這樣的假設不成立。所以只能是錢得亞軍，而李一定未獲得亞軍。方法二：用命題邏輯推理的方法分析：當遇到這樣的推理題時，如果用命題演繹推理，只需將一些命題符號化，然后應用一些推理定律，就可推出結果。將命題符號化：令:趙獲得了冠軍；:錢獲得了亞軍；:孫獲得了亞軍；：李獲得亞軍前提條件：，.結論： 證明： 前提條件引入 前提條件引入 假言推理 的化簡 的化簡 前提條件引入 拒取式 拒取式 前提條件引入 拒取式由此可以很明確的看出，上面的條件推出這個結論是正確的，李一定未獲亞軍。上面的例1和例2分別用兩種不同的方法解答，一種是我們常用的一般方法，一種就是應用了

12、命題邏輯的相關知識，從中我們可以看出：在一些推斷推理題中，如果我們應用一般的方法，那么得進行多次假設，而且每次假設都得重新思考每句話之間的關系，得重新進行推斷，這樣進行的次數(shù)越多，那么思維也會越發(fā)混亂，因此這樣的推斷推理也將會浪費更多的時間，即使推出了結果也不一定正確，而如果應用命題邏輯來做的話，只需將必要的命題符號化，然后根據(jù)已知條件寫出各個命題公式，聯(lián)立公式進行一些等值變換或應用已知條件進行演繹推理，且不需要再反復推斷推理就可以推出我們所想要的結論，所以思路及推斷推理過程清晰，只需熟練掌握一些公式就可以又快又準確的解決這些推斷推理題。四、命題邏輯數(shù)學證明題中的應用在數(shù)理邏輯中，證明是一個描

13、述推理過程的命題公式序列，其中的每個命題公式或者是已知的前提，或者是由前提條件通過一些推理規(guī)則而得到的結論。在我們解題過程中經(jīng)常會遇到各種各樣的數(shù)學證明題，而用來證明它們的方法也非常多，可歸根就底來看這些方法實際上大多數(shù)都是命題邏輯的一些推理理論。下面就通過一些實例來分析常見的數(shù)學證明方法的邏輯依據(jù)。（一） 直接證明法 直接證明法就是根據(jù)已知條件來直接推出結論的方法。例1如圖1，四棱錐中，底面為矩形，側面底面， CDEAB 圖1 圖2（I）證明：；證明:（I）如上圖2，取中點，連接交于點，又面面，面，即，面，邏輯分析：在這道高考證明題中，主要用到了命題邏輯證明方法中的直接證明法，這也是證明中最

14、常用的一種方法。將命題符號化：令底面為矩形，側面底面，所以整個證明過程可以看作為已知前提，為要證結論，若為正確的，則從前提推出結論的證明過程是正確的。這種方法的邏輯依據(jù)為：像這種證明方法，也就用到了命題邏輯判斷推理是否正確的方法，就是判斷重言蘊涵式的方法，即蘊涵式為推理的形式結構，為推理的前，為推理的結論，若為重言式，則從前提推出結論的推理正確。（二） 附加前提證明法 附加前提證明法就是將要證明結論中的條件作為已知前提條件來用的直接證明法。例2已知在數(shù)列中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，證明：若的倒數(shù)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列。證明：由已知，有 （1）由，得由（1）得代入，得整理得即 所以成等比數(shù)列邏

15、輯分析：從這道題中我們可以看出這不是我們所看到的一般證明的形式，也就是說不是從一些已知的前提直接來證明的，而它所需證明的是一個“若,則”的形式，即可符號化為蘊涵式“”，這時下面的證明卻把這個要證明的蘊涵式的條件作為了已知的前提條件去用，像這樣的證明方法也就是命題邏輯中的附加前提證明法。這種證明方法的邏輯依據(jù)為：設是個前提條件，是結論,那么推理形式結構為： 就是這道證明題的推理形式。對進行下列等值演算： . 在中我們可以清楚的看到原來結論中的前提條件已經(jīng)變成了整個證明中的大前提條件，而它的地位和已經(jīng)相同，這樣就演變成了我們所一般用到的直接證明法，同時可以得到要證明式是重言式的話，只要證明式是重言

16、式就可以。因此，按進行推理時，稱為附加條件，那么像這樣的應用附加條件證明的方法方法就是附加條件證明法。 (三)歸謬法（反證法） 歸謬法就是將結論的否定作為前提條件引入推出矛盾，從而證明原推理過程正確的方法。例3證明:若且，那么中至少有一個不小于0.證明：假設都小于0，也就是說： 那么= 這與相矛盾， 所以假設不成立， 所以中至少有一個不小于0.邏輯分析：一般的當一道證明題用直接證明的方法不方便證明時，我們就會選擇應用反證法，而這種方法也就是間接證明法，在命題邏輯中也就是歸謬法。歸謬法是將命題通過變換成它的等價命題，一般從結論的否定出發(fā)，通過推理來證明結論的否不成立，從而說明結論成立。而當我們在

17、所要證明的命題中出現(xiàn)像“至少”、“至多”、“僅有”、“都是”、“都不是”等表示的太絕對的字眼時,我們常用歸謬法來證明。這道證明題的證明過程用命題邏輯的方法可寫成下面的形式：將命題符號化：令:;:;:;：；:中至少有一個不小于0（那么：都小于0）前提: 結論：證明： 前提引入 否定結論引入 假言推理 前提引入 附加 前提引入 析取三段論 合取顯然為矛盾式,所以前面的證明結論是正確的。這種證明方法的邏輯依據(jù)為：設是個命題公式，相容的: 若合取式是可滿足式,則是相容的;不相容的: 若合取式是矛盾式,則是不相容的;在例3中我們用直接證明法的推理形式結構應該是,但是解題時設的是,并將其做為前提條件,這就

18、用到了可見如果是不相容的,那么說明就是重言式,所以與它等價的也為重言式,因此推理是正確的。即是的邏輯結論。而在這樣的推理過程中，可以發(fā)現(xiàn)我們要證明是不相容的，是另外加上去的條件，而這種將結論的否定作為附加條件引入來推導出矛盾的證明方法就是歸謬法。五、總結數(shù)理邏輯在數(shù)學中有著非常重要的地位，因為它是我們做任何數(shù)學題的基礎，貫穿在整個數(shù)學的學習過程中，而命題邏輯作為其中的一部分，可以算是最簡單，但是卻是應用最廣泛的，謂詞邏輯是它的推廣，由于比較難，所以在中學數(shù)學中應用比較少。研究命題邏輯，主要是研究其嚴密推理方法，而命題邏輯主要應用在數(shù)學中的推斷推理題和證明題中。在推斷推理題中，可以應用命題邏輯首先先將命題符號化，這樣可以將命題簡單化；然后就可以應用等值演算和推理定理推出其結果或證明推理過程是否正確。這樣就比一般的推理方法思路更清晰，推理更嚴密，也更便于人理解。在證明題中，我們常用的直接證明法和間接證明法其實就是用到命題邏輯中的一般證明法的蘊涵式為推理的