1、中國石油大學(xué)（北京）化學(xué)工程學(xué)院題 目的發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用系 （院）化學(xué)工程學(xué)院專 業(yè)化學(xué)工程與工藝班 級學(xué)生姓名學(xué) 號本文主要論述了的發(fā)現(xiàn)歷史，發(fā)現(xiàn)人物；在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用以及表示形式；在概率統(tǒng)計、常微分方程中的應(yīng)用；在生活實際中的應(yīng)用以及作用. 通過對的歷史的學(xué)習(xí)和了解,在數(shù)學(xué)分析、概率統(tǒng)計、常微分方程和在生活實際中的應(yīng)用，使自己在以后的學(xué)習(xí)和工作中更加重視的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，并自覺的應(yīng)用有關(guān)的知識來解決理論及生活和實際中的問題，提高分析和解決問題的能力.關(guān)鍵詞：；數(shù)學(xué)分析；概率統(tǒng)計；常微分方程；生活實際；應(yīng)用第一章 的發(fā)現(xiàn)歷史以及發(fā)現(xiàn)人物 歷史上數(shù)的出現(xiàn)與關(guān)于對數(shù)的研究緊密相關(guān).17 世紀初，蘇格蘭數(shù)

2、學(xué)家John Napier等人發(fā)明了對數(shù).基于對數(shù)的理論，人們編制了對數(shù)表，制成了計算尺，使之成為數(shù)值計算的有效工具.當(dāng)時除了Napier對數(shù)之外，還有一種自然對數(shù)，自然對數(shù)的出現(xiàn)是歷史上第一件與數(shù)有關(guān)的事. 令人意外的是，不曾研究對數(shù)的數(shù)學(xué)家Jacob Bernoulli (雅可布·貝努力) ，卻首次給出了數(shù)的定義.他在 1683 年研究復(fù)利時，證明了當(dāng)趨于無窮時，數(shù)列這個極限介于2與3之間.這個極限值就是后來人們稱之為 的數(shù).當(dāng)然，Jacob Bernoulli當(dāng)時并沒有認識到這個極限與對數(shù)的關(guān)系，也沒有把兩者聯(lián)系在一起. 數(shù)作為一個數(shù)學(xué)常數(shù)第一次被正式提出是在1690年.那年，

3、著名數(shù)學(xué)家 Leibniz(萊布尼斯)在寫給Huygens的信中，提出了這個常數(shù).但他把它記為， 而不是.把這個常數(shù)記作，并對它作了全深入研究的數(shù)學(xué)家是Euler(歐拉) . 他從1727年就開始研究它，并記之為.他得到了眾多的發(fā)現(xiàn).在1748年出版的書無窮小分析引論中，他把自己的發(fā)現(xiàn)作了完整的敘述與總結(jié).他同樣把數(shù)定義為極限，并證明了.他取了上述公式的 20項進行計算，給出了數(shù)的前18位:.他定義了以 為底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(即自然對數(shù)).此外他還給出了數(shù)和以為底的數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式，以及它們的連分數(shù)展開式.第二章 在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用以及表示形式2.1 在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用在數(shù)學(xué)分析教科書

4、中，幾乎都會用較大的篇幅介紹和這個數(shù)學(xué)中最重要的基本極限之一.為什么數(shù)學(xué)分析系統(tǒng)介紹和呢?因為要介紹數(shù)列的極限和函數(shù)的極限，就必須面臨兩個最重要的極限：和.那么，這個極限又有什么用呢？讓我們舉出以下幾個著名的例子：例2.1 求，解 例2.2 求，解 設(shè)，得到和，就有， 例2.3 求.解 我們知道，在數(shù)學(xué)分析中，要牽涉到求導(dǎo)、微分、積分等，就必定會出現(xiàn)一些關(guān)于指數(shù)、對數(shù)的式子，必然涉及“底數(shù)”的問題，因此數(shù)學(xué)家們都希望選取使得這些式子具有最簡潔形式的底數(shù).那么，選什么數(shù)作底數(shù)好呢？我們來看一個實例.如果，那么.很顯然，只有當(dāng)?shù)臅r候才具有最簡潔的形式.同時，除1以外的任何數(shù)作底的代數(shù)函數(shù)，進行微積

5、分以后，都會出現(xiàn)以為底的函數(shù).在求導(dǎo)時我們學(xué)習(xí)過對數(shù)求導(dǎo)法，下面看一個具體實例：例2.4 設(shè) ，求.解 先對函數(shù)式取對數(shù)，得 再對上式兩邊分別求導(dǎo)數(shù)，得整理后得到從這個例題中我們能看出用對數(shù)求導(dǎo)法更為清晰，簡便.在微積分中，有許多公式，其中有“基本極限”、“重要極限”和“基本積分”.其中到處都有的身影.通常，微分學(xué)中列出6個基本極限，其中4個含有，簡直就是它的大半壁“江山”.而微分學(xué)中列出的重要極限中，下面6個也含有：在基本（不定）積分公式中，也有許多涉及，下面是其中5個積分后含的公式：在函數(shù)的冪級數(shù)展開中，我們知道的冪級數(shù)展開式是，利用它的展開式我們可以求非初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，下面看一個

6、例子：例2.5 用間接方法求非初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.解 以代替展開式的，得 ，再逐項求積就得到在上的展開式 在數(shù)學(xué)分析中，我們還學(xué)習(xí)過雙曲函數(shù)，從它們的表達式中我們不難看出里面都含有，那么，雙曲函數(shù)怎么會和“聯(lián)姻結(jié)盟”呢？我們首先來看一看雙曲函數(shù)是怎么定義的.在右圖2.1中， y N M （ 圖2.1） O A P x 設(shè)雙曲角是單位雙曲線的半徑和與雙曲弧之間那個扇形面積的兩倍.過作這條雙曲線的切線，交于，則等分別稱為雙曲正弦線、雙曲余弦線、雙曲正切線等，于是和的數(shù)量，就分別定義為雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切設(shè)的坐標是，并利用不定積分公式 就可以算出的面積曲邊的面積 這樣就有和由和，就分別得

7、到和進而得到和這樣就得到：式中的“1”是的長，當(dāng)時，由算出中的正值，這樣，雙曲函數(shù)就和“聯(lián)姻結(jié)盟”了.2.2 的表示形式在數(shù)學(xué)家的筆下，有關(guān)的式子就像魔術(shù)師手中的魔術(shù)，下面，我們再了解一下有關(guān)的幾種表示形式.第一種是的連分數(shù)表達式. 第二種是我們知道的的極限表達式.第三種是我們知道的的階乘表達式.第三章在概率統(tǒng)計、常微分方程中的應(yīng)用3.1 在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用 除了在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用，此外在概率統(tǒng)計、常微分方程中應(yīng)用也非常廣泛.在概率論中我們都學(xué)過普哇松分布.觀察某電話局在單位時間內(nèi)收到用戶的呼叫次數(shù)、某公共汽車站在單位時間里來站乘車的乘客數(shù)、宇宙中單位體積內(nèi)星球的個數(shù)、耕地上單位面積內(nèi)雜草的數(shù)目

8、等，如果相應(yīng)的變量用表示，那么實踐表明，的統(tǒng)計規(guī)律近似地為：其中是某個常數(shù)，易于驗證有這個分布稱作是參數(shù)為的普哇松分布，并常常記作.（普哇松定理） 在重貝努里試驗中，事件在一次試驗中出現(xiàn)的概率為（與試驗總數(shù)有關(guān)），如果當(dāng)時，（常數(shù)），則有這個定理有什么用呢？首先，它可以用來作近似計算.在二項分布中，要計算，當(dāng)和都比較大時，計算量是令人煩惱的，如果這時不太大（即較小），那么由普哇松定理就有（1）其中，而要計算，有專用的普哇松分布表可以查，這就方便多了.讓我們來看一個例子：例3.1 已知某種疾病的發(fā)病率為，某單位共有5000人，問該單位患有這種疾病的人數(shù)超過5的概率為多大？解 設(shè)該單位患有這種疾病

9、的人數(shù)為，則，其中，這時如果直接計算，計算量很大.由于很大，很小，這時不很大，可以利用普哇松定理，取，由（1）式就有查普哇松分布表可得，于是.從這個例子中，由于不太大，我們利用了普哇松定理作近似計算，比較方便的解決了問題.我們還可以利用普哇松分布來描述一家商店（每月）出售某種（非緊張）商品的件數(shù).讓我們來看下面的問題.一家商店采用科學(xué)管理.為此，在每一個月的月底要制訂出下一個月的商品進貨計劃，為了不是商店的流動資金積壓，月底的進貨不宜過多，但為了保證人們的生活需要和完成每月的營業(yè)額，進貨又不應(yīng)該太少！這樣的矛盾怎樣才能合理解決呢？請看下面的例子.例3.2 又該商店過去的銷售紀錄知道，某種商品每

10、月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的普哇松分布來描述，為了以以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進某種商品多少件？解 設(shè)該商店每月銷售某種商品件，月底的進貨為件，則當(dāng)時就不會脫銷，因而按題意要求為，因為已知服從的普哇松分布，上式也就是，有普哇松分布表知于是，這家商店只要在月底進貨某種商品15件（假定上個月沒有存貨，）就可以以上的把握保證這種商品在下個月內(nèi)不會脫銷.在概率論中我們學(xué)過這樣一個分布函數(shù)：我們稱為正態(tài)分布，常常簡單地記作.它的密度函數(shù)是，如果，我們常常稱分布是標準正態(tài)分布，相應(yīng)的分布函數(shù)記作，其表達式為. 正態(tài)分布是概率論中最重要的一個分支，高斯在研究誤差理論時曾用它來刻劃誤差，所以在許多著作

11、中也有稱為高斯分布的.許多實際問題中的變量，如測量誤差、射擊時彈著點與靶心間的距離、熱力學(xué)中理想氣體地分子速度、某地區(qū)成年男子的身高等都可以認為服從正態(tài)分布. 在常微分方程中，常系數(shù)線性微分方程可以用拉普拉斯變換法進行求解.由積分所定義的確定于復(fù)平面上的復(fù)變數(shù)的函數(shù)，稱為函數(shù)的拉普拉斯變換，其中于有定義，且滿足不等式，這里為某兩個正常數(shù)，我們將稱為原函數(shù)，而稱為像函數(shù).在這里，又奇跡般的出現(xiàn)了.3.2 在常微分方程中的應(yīng)用拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)的代數(shù)方程，通過一些代數(shù)運算，一般地再利用拉普拉斯變換表，即可求出微分方程的解.下面我們看幾個例子：例3

12、.3 求方程滿足初值條件的解.解 對方程兩邊施行拉普拉斯變換，得到方程的解的像函數(shù)所應(yīng)滿足的方程，由此，并注意到，得.查拉普拉斯變換表，可得和的原函數(shù)分別為和.因此，利用線性性質(zhì)，就求得的原函數(shù)為，這就是所要求得解.例3.4 求方程的滿足初值條件的解.解 對方程兩邊施行拉普拉斯變換得，由此得把上式右端分解成部分分式，對上式右端各項分別求出其原函數(shù)，則它們的和就是的原函數(shù)，這就是所要求的解.在討論常系數(shù)線性微分方程時，函數(shù)將起著重要的作用，這里是復(fù)值常數(shù).設(shè)是任一復(fù)數(shù)，這里是實數(shù)，而為實變量，我們定義由上述立即推得如果以表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，那么容易證明 此外，函數(shù)還有下面重要性質(zhì)： (1)； (

13、2),其中為實變量；（3）.第四章在生活實際中的應(yīng)用以及作用在自然科學(xué)中有著重要的地位和作用.如原子物理和地質(zhì)科學(xué)中考察放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律或地球年齡時要用到,在用齊奧爾科夫斯基公式算火箭速度時要用到，甚至算儲蓄最優(yōu)利息及生物增殖問題時用復(fù)利率,也“將一個數(shù)分成若干等份,要使各等份的乘積最大,怎么分 ?” 這個問題竟要和打交道！答案是,使等分的各份盡可能地接近. 如,因而把10分成4份,每份為 (接近),這時,是乘積最大的,若分成其它(如3或5)份數(shù),乘積都小于39.現(xiàn)在讓我們虛構(gòu)一個有關(guān)復(fù)利計算的故事.某處有一家銀行，它對客戶儲蓄的年利率是某客戶甲在年初存入1元，年終取出，其本利和為1+1=

14、2元某客戶乙在年初存入1元，而在年中時(假定恰好是1年之半時)取出，然后再將當(dāng)時的本利和一并存入該行，則他在年終取出時本利和應(yīng)為，多于客戶甲之所獲.某客戶丙在年初存入1元，然后以一季(一年的)為周期，每一季辦理一次存取手續(xù)，以獲得復(fù)利.這樣，客戶丙在年終時，本利和應(yīng)為，更多于某甲之所獲.某客戶丁在年初存入1元，然后要求銀行，以天為單位作復(fù)利計算，那么年終時，他所得本利和應(yīng)為.從理論上探討，如果計算復(fù)利的周期無限縮短，或者說如果銀行允許對客戶時時刻刻均以復(fù)利計息，依舊假定年利率為，那么年初1元的本金到了年終時其本利和應(yīng)為.上述極限很容易推廣成下列形式這個極限是微積分學(xué)中兩個重要極限之一.有了它，

15、立刻就推出，其中，為任意實數(shù).這個結(jié)果仍可用復(fù)利做出解釋：上式告訴我們，如果銀行的年利率不是 1，而是 ，在每時每刻以復(fù)利計息的條件下,那么年初的1元本金到了年終則其本利和為，這些故事當(dāng)然是虛構(gòu)的. 但自然界確實存著每時每刻“復(fù)利計息”的例子:比如放射物質(zhì)的衰變所遵從的規(guī)律就是，其中 為放射物的初始質(zhì)量,為放射物在時刻時的質(zhì)量，為一正的常數(shù).放射物質(zhì)的衰變,相當(dāng)于在前述例子中,利率為負數(shù)的情況, 初始值由1改為,而時間間隔從一年換從0到. 這樣,以為底的指數(shù)函數(shù)描述這自然現(xiàn)象時有特殊意義.奇跡般地出現(xiàn),還可舉出數(shù)學(xué)上最值得稱道的發(fā)現(xiàn)之一的“素數(shù)分布定理” .這定理是說:從1到任何自然數(shù)之間所含

16、素數(shù)的百分比,近似等于的自然對數(shù)的倒數(shù),且越大,這個規(guī)律越準確. 此外，在生活中我們還能看到的身影，螺線特別是對數(shù)螺線的美學(xué)意義可以用指數(shù)的形式來表達：其中，和為常數(shù)，是極角，是極徑，是自然對數(shù)的底.為了討論方便，我們把或由經(jīng)過一定變換和復(fù)合的形式定義為“自然律”.因此，“自然律”的核心是，其值為2.71828，是一個無限循環(huán)數(shù).“自然律”是及由經(jīng)過一定變換和復(fù)合的形式.是“自然律”的精髓，在數(shù)學(xué)上它是函數(shù)：，當(dāng)趨近無窮時的極限.人們在研究一些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究，當(dāng)趨近無窮時的極限.正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個相反方向發(fā)展（當(dāng)趨向正無窮大的時，上式的極限等于=2.71828，當(dāng)趨向負無窮大時候，上式的結(jié)果也等于=2.71828）得來的共同形式，充分體現(xiàn)了宇宙的形成、發(fā)展及衰亡的最本質(zhì)的東西.參考文獻：1陳仁政，張景中.不可思議的M.北京.科學(xué)出版社，2005.2R柯朗，F(xiàn)約翰.微積分與數(shù)學(xué)分析引論M.北京.科學(xué)出版社，2001.3華東師大.數(shù)學(xué)分析M.北京.高等教育出版社，2001.4賽蒙斯.微分方程-附歷史及應(yīng)用注記M.北京.人民教育出版社，1981.5