1、考點(diǎn)55 不等式選講一、選擇題1.（2013·安徽高考理科·4）“a0”“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的 （ ）A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解題指南】 畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合判斷?！窘馕觥窟xC.由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可得其圖象如圖所示，,由圖象可知選項(xiàng)C正確。二、填空題2. （2013·陜西高考理科·15）已知a, b, m, n均為正數(shù), 且ab1, mn2, 則(ambn)(bman)的最小值為. 【解題指南】利用柯西不等式求解.【解析】,且僅當(dāng)時(shí)取最小值 2.【答案】 2.3. （2013

2、83;陜西高考文科·15）設(shè)a, bR, |ab|>2, 則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式的解集是.【解題指南】利用絕對(duì)值不等式的基本知識(shí)表示數(shù)軸上某點(diǎn)到a，b的距離之和即可得解.【解析】函數(shù)的值域?yàn)椋?.所以，不等式的解集為R?！敬鸢浮?R.4.（2013·江西高考理科·15）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式的解集為_(kāi).【解題指南】根據(jù)絕對(duì)值的意義去絕對(duì)值符號(hào)求解.【解析】由絕對(duì)值的意義，等價(jià)于，即，即.【答案】.5. （2013·重慶高考理科·16）若關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式無(wú)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【解題指南】 利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解.【解析】不等式無(wú)解，即

3、因?yàn)?所以【答案】.6. （2013·湖北高考理科·13）設(shè)x，y，zR，且滿足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,則x+y+z=【解題指南】根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立的條件，求出相應(yīng)的x，y，z的值。【解析】由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2（x2+y2+z2）（12+22+32），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=，所以，x+y+z=【答案】.7. （2013·湖南高考理科·10）已知a,b,cR,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為.【解題指南】本題是利用柯西不等式求最值 【解析】因?yàn)?，所以【?/p>

4、案】 12.三、解答題8.（2013·遼寧高考文科·24）與（2013·遼寧高考理科·24）相同已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；已知關(guān)于的不等式的解集為，求的值?！窘忸}指南】利用絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為整式不等式問(wèn)題，是常用的化歸方法.【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由；當(dāng)時(shí)，由，不成立；當(dāng)時(shí)，由；綜上，所以，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為記則由得，即由已知不等式的解集為亦即的解集為所以解得24. 9.（2013·新課標(biāo)高考文科·24）與（2013·新課標(biāo)高考理科·24）相同已知函數(shù),（）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（）設(shè),且當(dāng))時(shí)，

5、,求的取值范圍.【解析】當(dāng)時(shí)，不等式化為.設(shè)函數(shù)，則其圖象如圖所示，從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.所以原不等式的解集是.（）當(dāng)時(shí)，.不等式化為.所以對(duì)都成立，故，即.從而的取值范圍為10. （2013·湖南高考理科·20）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”.某地有三個(gè)新建的居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20),B(-10,0),C(14,0)處.現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心.(1)寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑

6、”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明).(2)若以原點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū),“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置,使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小.【解題指南】(1)本題必須根據(jù)題目中圖的提示弄清“L路徑”是由直線段構(gòu)成,所以只能用絕對(duì)值來(lái)表示.(2)先寫(xiě)出點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”,則點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和的最小值為三個(gè)“L路徑”的最小值之和,再利用絕對(duì)值知識(shí)去處理.【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),(1)點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值為|x-3|+|y-20|,xR,y0,+).(2)由題意知,點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)

7、P分別到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度最小值之和(記為d)的最小值.當(dāng)y1時(shí),d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因?yàn)閐1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x-14|,(*)當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),不等式(*)中的等號(hào)成立,又因?yàn)閨x+10|+|x-14|24.(*)當(dāng)且僅當(dāng)x-10,14時(shí),不等式(*)中的等號(hào)成立.所以d1(x)24,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),等號(hào)成立,d2(y)=2y+|y-20|21,當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí),等號(hào)成立.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)時(shí),P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小,且最小值為45.當(dāng)0y1時(shí),由于“L路徑”不能進(jìn)入保

8、護(hù)區(qū),所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.此時(shí),d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y21.由知,d1(x)24,故d1(x)+d2(y)45,當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=1時(shí)等號(hào)成立.綜上所述,在點(diǎn)P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小.11.（2013·安徽高考理科·20）設(shè)函數(shù)，證明：（1）對(duì)每個(gè)，存在唯一的，滿足；（2）對(duì)任意，由（1）中構(gòu)成的數(shù)列滿足。【解題指南】 （1）利用導(dǎo)數(shù)證明在內(nèi)單調(diào)遞增，證明在內(nèi)有零點(diǎn)；

9、（2）利用（1）得的遞減函數(shù)，聯(lián)立與得的關(guān)系式，適當(dāng)放縮證明?！窘馕觥浚?）對(duì)每個(gè)，當(dāng)x>0時(shí)，內(nèi)單調(diào)遞增，由于，當(dāng)，又=，所以存在唯一的滿足。（2） 當(dāng)x>0時(shí)，故由內(nèi)單調(diào)遞增知，為單調(diào)遞減數(shù)列，從而對(duì)任意，對(duì)任意，由于式減去式并移項(xiàng)，利用得，因此，對(duì)任意，都有。12.（2013·福建高考理科·21）設(shè)不等式的解集為A,且（）求的值 （）求函數(shù)的最小值【解析】（）因?yàn)?，且，所以，且解得，又因?yàn)?，所以（）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)0即-1x2時(shí)取到等號(hào),所以f(x)的最小值為3.13. （2013·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·24）與（2013·新課標(biāo)全國(guó)高考理科