1、傅里葉變換的根本性質(zhì)一傅里葉變換建立了時(shí)間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系.在實(shí)際信號(hào)分析中,經(jīng)常 需要對(duì)信號(hào)的時(shí)域和頻域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個(gè)清楚而深入的理解.因此有必要討論傅里葉變換的根本性質(zhì),并說(shuō)明其應(yīng)用.一、線性傅里葉變換是一種線性運(yùn)算.假設(shè)1 - -,J 工,一二：妨+奶9 哂Jm +&冕口時(shí)3-56其中a和b均為常數(shù),它的證實(shí)只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出.例3-6利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號(hào)的頻譜函數(shù)以網(wǎng)由式3-55得F(J喇-?1 + (sgn( /)= x 2*比對(duì)+ X 二咫風(fēng)回+ 2222 JtDJqj、對(duì)稱(chēng)性- 2石 f-魴3-56那么證實(shí)由于2型Q =儂

2、dm2/1)=F(jW/J-TO將上式中變量田換為x,積分結(jié)果不變,即2(-r) =戶O閑薪J再將t用中代之,上述關(guān)系依然成立,即2(- =J-CD最后再將x用t代替,那么得2小匚致?tīng)t式尸所以,.證畢假設(shè)丁是一個(gè)偶函數(shù),即八/,相應(yīng)有/(-聞,那么式(3-56)尸5)2(由)臼57)成為可見(jiàn),傅里葉變換之間存在著對(duì)稱(chēng)關(guān)系,即信號(hào)波形與信號(hào)頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系,其幅度之比為常數(shù) 2北.式中的一陽(yáng)表示頻譜函數(shù)坐標(biāo)軸必須正負(fù)對(duì)調(diào).例如：/(0 =和)-巴J聞=195) = 1 - 2就3 = 2點(diǎn)況的例3-7假設(shè)信號(hào)丁的傅里葉變換為2試求/.0解 將3G中的曰換成t,并考慮尸(J為田的實(shí)

3、函數(shù),有2-小420|c| r/2該信號(hào)的傅里葉變換由式(3-54)可知為式改) = 2叫網(wǎng)拳根據(jù)對(duì)稱(chēng)性尸?2厘一間一 、/ = A Sa A再將了一劭中的一田換成t,那么得.2/為抽樣函數(shù),其波形和頻譜如圖3-20所示.-r/20r/2產(chǎn).可A三、折疊性T) /=那么空聞-齊口可次泄笑函數(shù)/.陛虛函數(shù)四、尺度變換性了西Q L斤J3為大于零的實(shí)常數(shù)3-59a a證實(shí)因a0,由方 = ?3嗎令熊二加,那么加三成,代入前式,可得,/卜乃 a a a證畢尸/田函數(shù)/或表示了沿時(shí)間軸壓縮或時(shí)間尺度擴(kuò)展a倍,而1那么表示E沿頻率軸擴(kuò)展或頻率尺度壓縮a倍.該性質(zhì)反映了信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與其占有頻帶成反比,信號(hào)

4、持續(xù)時(shí)間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù),反之亦然.加=, 例3-8E H c/4 口 “a,求頻譜函數(shù)Hi .九9=*解前面已討論了E |t| . 尸 * 2. cur. 巾、2 - cur1 、,由1/ - j dx siti( ) H-網(wǎng) 乂 0 5( sm( )- 跖(),血 2tqj 22 /(/)-( f(x)dx 一 一sin( ) + zSot(O)/田)=建 3 43rjo i 2Jtu 21/r(1/r)r/2-r/20-r/2 0 TilS3 -23十、頻域積分性111曲尸.吟加C3-65)九二2例3-15、 工,求取丁明解：由于sin( f)-值-2JJ(U + 1

5、)=冗5(m+1)一 3(卬-1)根據(jù)頻域積分性三 一五K3缶-1限=u +1 ug -1十一、時(shí)域卷積定理假設(shè)八俗一珞網(wǎng)A一片.助r fiQ沖力3 s E j由年式j(luò)由3-ss那么證實(shí)：網(wǎng)工工尸力加=工力詞產(chǎn)島=r /i4r/式6如4卜=JF-VKh LgIJJ工.用U二有仃二尸式助八/於=F*j及G砌證畢例3-16圖3-24a所示的三角形函數(shù)可看做為兩個(gè)如圖3-24b所示門(mén)函數(shù)5卷積.試?yán)脮r(shí)域卷積定理求其頻 譜函數(shù)百J.由時(shí)域卷積定理匈=癡所以那么對(duì)稱(chēng)性N J 孰切 就2一 2用$卻一助 =_2月即也,、2ggn(/) 4-4 J由= r就 乳j 1 - r)A例3-17 一個(gè)信號(hào)/的希

6、伯特變換丁是丁團(tuán)和危的卷積,即n j、1 =尸一 c 一J陶& FQ吟過(guò)傅里葉變換的根本性質(zhì)三十二、頻域卷積定理假設(shè) 工.一.;一式.4 fij 魴* F式洞C3-67那么八九鉛一 F&R磴邑5聞例3-18利用頻域卷積定理求的傅里葉變換囚J匈解：由于WQ 一由對(duì)稱(chēng)性Jt Q 2延內(nèi)一 口 n -283UR 9 硒+ -LJ0所以根據(jù)頻域卷積定理,5G ,有9聞三一j2比修西+一2 腐L je_. . 1 . - 1 ,JJTtJ (聞 + $ (四)*一 = J屬 5(GJ)+ S ( * ()戶田二/七d-VO十三、帕塞瓦爾定理ZC) - 4(/助 /式.一/ UM可推廣匚水京=?口吐口而創(chuàng)

7、“曲=5匚同.砌I,曲假設(shè)工為實(shí)函數(shù),那么L號(hào)* =(3-08)3-693-70假設(shè)工,力為實(shí)函數(shù),那么網(wǎng)(J)Fm(j/)d的(3-71J 二貼me 般聞加例3-19求Lo&? 31A田二竺2s雙師2/沏(田解：因4 2gj一一工二由帕塞瓦爾定理可得| 醞,田川四二G式.仃式上期=啟十四、奇偶性假設(shè)/C/時(shí)=尸詠加三尺4/,那么1當(dāng)力為實(shí)函數(shù)時(shí),那么/田=|尸.助|二斤一伊由=-伊一切R心二品明陽(yáng)切= -N-田(3-72)假設(shè),為實(shí)偶函數(shù),即.=,T,那么3-73=聲3 = 匈陽(yáng)切=01假設(shè),.為實(shí)奇函數(shù),即=,那么(3-74)2當(dāng)丁為虛函數(shù),即/=時(shí),那么F 山-F9皿-婀一切R公-一式一

8、曲 工田二工一團(tuán)j0-75)傅里葉變換的性質(zhì)表格性質(zhì)名稱(chēng)時(shí)域頻域1.線性41何+優(yōu).明.助+響.山2.對(duì)稱(chēng)性足2次一出3.折疊性八T)現(xiàn)-麗4.尺度變換性3):G身) aa5.時(shí)移性力士幻6,頻移性斤/3千5)7.時(shí)域微分一(9網(wǎng)改)8,頻域微分上了十踐j心9.時(shí)域積分士絲十欣網(wǎng)0笛3)j團(tuán)10.頻域積分-f FO岫11.時(shí)域卷積凡()曲*式12.頻域卷積zm4戔.&尸/口印)2國(guó)13.帕塞瓦爾定理周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)雖然不滿足絕對(duì)可積的條件,但其傅里葉變換是存在的.由于周期 信號(hào)頻譜是離散的,所以它的傅里葉變換必然也是離散的, 而且是由一系列沖激 信號(hào)組成.下面先討論幾種常見(jiàn)的周期信

9、號(hào)的傅里葉變換,然后再討論一般周期 信號(hào)的傅里葉變換.一、復(fù)指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換對(duì)于復(fù)指數(shù)信號(hào)(3-765上“4- 2網(wǎng)改由叱)由于1-2陽(yáng)瓦,由頻移性必一 2足皮中十%)_復(fù)指數(shù)信號(hào)是表示一個(gè)單位長(zhǎng)度的相量以固定的角頻率 0隨時(shí)間旋轉(zhuǎn),經(jīng) 傅里葉變換后,其頻譜為集中于 ,強(qiáng)度為2笈的沖激.這說(shuō)明信號(hào)時(shí)間特性的 相移對(duì)應(yīng)于頻域中的頻率轉(zhuǎn)移.、余弦、正弦信號(hào)的傅里葉變換Z (f) - cos tuu；對(duì)于余弦信號(hào) 二其頻譜函數(shù)窿及田_礙)+2堿的+8)&-77)h (0 = sin 叱f =對(duì)于正弦信號(hào)二-3& ,二:W它們的波形及其頻譜如圖3-25所示國(guó)(匈=陽(yáng)曰明29勺+嗎乂 2j累方的=C

10、O嗎f貿(mào)四十/)一長(zhǎng)中4)竹.創(chuàng)4) 二 WA1m為 CMA三、單位沖激序列 赤的傅里葉變換假設(shè)信號(hào),為單位沖激序列,即/&)=多(2)=工 -nT)(3-70)a 1那么其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為一3-B0J對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換,并利用線性和頻移性得 (Jo?) = Z 2與 以卬一落 Q) = 0存(381)D=式中 7 0可見(jiàn),時(shí)域周期為T(mén)的單位沖激序列,其傅里葉變換也是周期沖激序列,而 頻域周期為0 ,沖激強(qiáng)度相等,均為口 .周期單位沖激序列波形、傅里葉系數(shù)居與頻譜函數(shù)網(wǎng)的如圖3-26所示.-2T-T0 T 2T3四、般周期信號(hào)的傅里葉變換對(duì)于一般周期為T(mén)的周期信號(hào),其指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為

11、對(duì)上式兩邊取傅里葉變換,并利用其線性和頻移性,且考慮到 凡與時(shí)間無(wú) 關(guān),可得F(jh)=工-沼C) = 23r 凡2(卬一/C1)(3-82)5S,rDK(D式(3-82)說(shuō)明,一般周期信號(hào)的傅里葉變換(頻譜函數(shù))是由無(wú)窮多個(gè)沖激函數(shù) 組成,這些沖激函數(shù)位于信號(hào)的各諧波頻率福cs=ai士2.處,其強(qiáng)度為相應(yīng) 傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)外的2兄倍.可見(jiàn),周期信號(hào)的頻譜是離散的.但由于傅里葉變換是反映頻譜密度的概念, 因此周期信號(hào)丁的傅里葉變換尸(J的不同于傅里葉系數(shù)片,它不是有限值, 而是沖激函數(shù),這說(shuō)明在無(wú)窮小的頻帶范圍(即諧頻點(diǎn))取得了無(wú)窮大的頻譜值.例3-20圖3-27(a)表示一周期為丁,脈沖寬度為

12、匯,幅度為1的周期性矩 形脈沖信號(hào),記為 品.試求其頻譜函數(shù).-T -f/2 0 t/27(w 木尸/防a 3 . 27解 由式3-26可知,圖3-27a所示周期性矩形脈沖信號(hào)/二斗的傅 里葉系數(shù)為F由=,但=-工-融Q代入式3-82,得丁工-f 20 2 河 丁- 方山一整0J 杵3-83式中 T .可見(jiàn),周期矩形脈沖信號(hào)耳Q的傅里葉變換由位于四=UC2,處的沖激函數(shù)所組成,其在 山二立0處的強(qiáng)度為 其 0圖3-27b給出了 丁= 2匯情況下的頻譜圖周期信號(hào)的頻譜一、周期信號(hào)的頻譜一個(gè)周期信號(hào)的,只要滿足狄里赫利條件,那么可分解為一系列諧波分量之和.其各次諧波分量可以是正弦函數(shù)或余弦函數(shù),也

13、可以是指數(shù)函數(shù).不同的周 期信號(hào),具展開(kāi)式組成情況也不盡相同. 在實(shí)際工作中,為了表征不同信號(hào)的諧 波組成情況,時(shí)常畫(huà)出周期信號(hào)各次諧波的分布圖形,這種圖形稱(chēng)為信號(hào)的頻譜, 它是信號(hào)頻域表示的一種方式.描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱(chēng)為振幅頻譜,描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱(chēng)為相位頻譜.根據(jù)周期信號(hào)展成傅里葉級(jí)數(shù)的不同形式又分為單 邊頻譜和雙邊頻譜.1單邊頻譜假設(shè)周期信號(hào),的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為式3-15,即f4二 4 + 工國(guó) 8&g + 寓 罐-1那么對(duì)應(yīng)的振幅頻譜A和相位頻譜已稱(chēng)為單邊頻譜.例3-3求圖3-4所示周期矩形信號(hào)八的單邊頻譜圖.解 由了波形可知,/為偶函數(shù),其傅里葉系數(shù)同

14、 rr；2 j-r c j 2 sin(/4) % 二 cos nddf To片燈詢 1 2 sm(國(guó)區(qū)/ 4)/ = + cosClt = I-Vcos用Q2 s_i4 i 舞笈2 sm盟后 / 4)因此4 = 0,45 4陽(yáng)032當(dāng)包.154白.094 口 0.106單邊振幅頻譜如圖3-5所示0.45:0320.25小聯(lián)0 0卻.6-At -r/20r/2 4r國(guó)- 4)Q2Q3Q4Q5Q6Q7Q圖m - 52雙邊頻譜假設(shè)周期信號(hào)丁的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為式(3-17),即外)=2%聞(3-25那么11與江門(mén)所描述的振幅頻譜以及凡的相位初看如居=2與總門(mén)所描述的相位 頻譜稱(chēng)為雙邊頻譜.例3-4

15、畫(huà)出圖3-4所示矩形周期信號(hào)/的雙邊頻譜圖形.解 由式(3-18)和圖3-4可知rru3收一也由1 2/4)好二 4 F1 = 0 225 F2 = 0.159 % = 0.075% = 0 % =M Q45 % = 0 053 , arctrn的雙邊頻譜圖如圖3-6所示.A arctanJ從上例頻譜圖上可以看出,單邊振幅頻譜是指4 = 2區(qū)|與正融值的關(guān)系,雙 邊振幅頻譜是指舊與正負(fù)行值的關(guān)系.應(yīng)注意冏上但/,所以將雙邊振幅頻譜 因I片圍繞縱軸將負(fù)旌一邊對(duì)折到內(nèi)一邊,并將振幅相加,便得到單邊振幅4頻 譜.當(dāng)凡為實(shí)數(shù),且團(tuán)各諧波分量的相位為零或土方圖形比擬簡(jiǎn)單時(shí),也可將振幅頻譜和相位頻譜合在一

16、幅圖中.比方,例 3-4中丁的頻譜可用網(wǎng)與心 關(guān)系圖形反映,如圖3-7所示.3周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)圖3-7反映了周期矩形信號(hào)/頻譜的一些性質(zhì),實(shí)際上它也是所有周期信號(hào)頻譜的普遍性質(zhì),這就是：(1)離散性.指頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線組成,這種頻譜稱(chēng)為離散頻 譜或線譜.Q = (2)諧波性.指各次諧波分量的頻率都是基波頻率7的整數(shù)倍,而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的,即譜線在頻率軸上的位置是G的整數(shù)倍.(3)收斂性.指譜線幅度隨制一如而衰減到零.因此這種頻譜具有收斂性或 衰減性.二、周期信號(hào)的有效頻譜寬度在周期信號(hào)的頻譜分析中,周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜具有典型的意義,得到 廣泛的應(yīng)用.下面以圖3-8

17、所示的周期矩形脈沖信號(hào)為例,進(jìn)一步研究其頻譜寬 度與脈沖寬度之間的圖3-8關(guān)系.椰)一3一: : : 1 : : :/-T -r/20r/2 T圖斗圖3-8所示信號(hào)/的脈沖寬度為 J脈沖幅度為石,重復(fù)周期為了,重復(fù) 角頻率為 之 .假設(shè)將丁展開(kāi)為式(3-17)傅里葉級(jí)數(shù),那么由式(3-18)可得耳=1口豆/沁=-)(S-2&)-ri丁 Q,在這里用為實(shí)數(shù).因此一般把振幅頻譜和相位頻譜合畫(huà)在一幅圖中,如圖 3-9所示.Er/T72 5Q 二 - ；i疝3G0 Q3Q由此圖可以看出:Q(1)周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是離散的,兩譜線間隔為2jt(2)直流分量、基涉及各次諧波分量的大小正比于脈幅石和脈寬

18、丁,反比于周期T,其變化受包絡(luò)線 天 的牽制.(?k = L2 )時(shí),譜線的包絡(luò)線過(guò)零點(diǎn).因此2例用為零分量頻率.(4)周期矩形脈沖信號(hào)包含無(wú)限多條譜線,它可分解為無(wú)限多個(gè)頻率分量,但其主要能量集中在第一個(gè)零分量頻率之內(nèi).因此通常把田二史T這段頻率范圍稱(chēng)為矩形信號(hào)的有效頻譜寬度或信號(hào)的占有頻帶,記作(3-27)顯然,有效頻譜寬度B只與脈沖寬度了有關(guān),而且成反比關(guān)系.有效頻譜寬度是研究信號(hào)與系統(tǒng)頻率特性的重要內(nèi)容, 要使信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)不失真,就要 求系統(tǒng)本身所具有的頻率特性必須與信號(hào)的頻寬相適應(yīng).對(duì)于一般周期信號(hào),同樣也可得到離散頻譜,也存在零分量頻率和信號(hào)的占 有頻帶.三、周期信號(hào)頻譜與周期

19、丁的關(guān)系下面仍以圖3-8所示的周期矩形信號(hào)為例進(jìn)行分析.由于生個(gè)B T 八 2 .所以在脈沖寬度霍保持不變的情況下,假設(shè)增大周期丁,那么可以看出：Q-(1)離散譜線的間隔T將變小,即譜線變密.(2)各譜線的幅度將變小,包絡(luò)線變化緩慢,即振幅收斂速度變慢.(3)由于丁不變,故零分量頻率位置不變,信號(hào)有效頻譜寬度亦不變.圖3-10給出了脈沖寬度了相同而周期丁不同的周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜.由圖可見(jiàn),這時(shí)頻譜包絡(luò)線的零點(diǎn)所在位置不變, 而當(dāng)周期丁增大時(shí),頻譜線變密,即在信號(hào)占有頻帶內(nèi)諧波分量增多,同時(shí)振幅減小.當(dāng)周期無(wú)限增大時(shí),變 為非周期信號(hào),相鄰譜線間隔趨近于零.相應(yīng)振幅趨于無(wú)窮小量,從而周期信號(hào)

20、 的離散頻譜過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜,這將在下一節(jié)中討論.T=2r-27 -7 0 T IT此木1EJ2-2/r .-Tut)L里T = 4t-2zr/r f :：?, . : : 4-3Q 2Q q 0 Q 2Q 3Q2/r_*-7Et/T. 1-QO Q困 3 - 1.e如果保持周期矩形信號(hào)的周期丁不變,而改變脈沖寬度k ,那么可知此時(shí)譜線2后XJ1 -間隔不變.假設(shè)減小/,那么信號(hào)頻譜中的第一個(gè)零分量頻率工 增大,即信號(hào)的頻譜寬度增大,同時(shí)出現(xiàn)零分量頻率的次數(shù)減小,相鄰兩個(gè)零分量頻率間所含的諧波分量增大.并且各次諧波的振幅減小,即振幅收斂速度變慢.假設(shè) k增大, 那么反之.四、周期信號(hào)

21、的功率譜周期信號(hào),Q)的平均功率可定義為在1 口電阻上消耗的平均功率,即尸=亍鼠“族舊知周期信號(hào)的平均功率可以用式(3-28)在時(shí)域進(jìn)行計(jì)算,也可以在頻域進(jìn)行計(jì)算.假設(shè),的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為M-HB那么將此式代入式(3-28),并利用說(shuō)的有關(guān)性質(zhì),可得1 .7/2(&八修 初上一0該式稱(chēng)為帕塞瓦爾(Parseval)定理.它說(shuō)明周期信號(hào)的平均功率完全可以在頻域用居加以確定.實(shí)際上它反映周期信號(hào)在時(shí)域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和.落與修0的關(guān)系稱(chēng)為周期信號(hào)的功率頻譜,簡(jiǎn)稱(chēng)為功率譜.顯然,周期信號(hào)的功率譜也是離散譜.例3-5試求圖3-8所示周期矩形脈沖信號(hào)/在

22、有效頻譜寬度內(nèi),諧波分量之二1T=3 r =所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比.設(shè) 彳, 20._ 3匯晨 典您/5用=A & =解由于* T & 25 如45作出頻譜和功率譜圖,如圖3-11所示.第一個(gè)零分量頻率為叱二生二40疑所以在信號(hào)頻譜寬度內(nèi),包含一個(gè)直流分量和四個(gè)諧波分量.j 32 下 164 0 167r 32 zr .；* 32朽 164 0 167r 32 zr .圖 3-11P = -,%)國(guó)=02沖周期信號(hào)的平均功率為一 一在有效頻譜寬度內(nèi)信號(hào)的平均功率為為=園1+2*+因+隹+因()=*皋5號(hào)+ 3人爭(zhēng)+工爭(zhēng))=0J806BT己 0.W06=u.y故P 0.2從上

23、式可以看出,在所給出的周期矩形脈沖情況下,包含在有效頻譜寬度內(nèi)的信號(hào)平均功率約占整個(gè)信號(hào)平均功率的90%非周期信號(hào)的頻譜一、非周期信號(hào)的頻譜函數(shù)/= 尸再附(3-30)對(duì)于周期信號(hào),它可表示為 j式中1 -,P=-/eT 出 t3-31H八等將式(3-31)改寫(xiě)為(3-32)1a八當(dāng)信號(hào)丁的周期丁趨于無(wú)限大時(shí),由上節(jié)討論可知譜線間隔趨于無(wú)窮小,譜線密集成為連續(xù)頻譜,離散變量變?yōu)檫B續(xù)變量,即 TiGTgqT0 此時(shí)記風(fēng)網(wǎng) =口尺-源山(3-33)工 TBJ-W#GM)稱(chēng)為頻譜密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜函數(shù),其意義為單位頻率上的諧波幅度為小的復(fù)函數(shù),可寫(xiě)作其中尸G聞|代表非周期信號(hào)中各頻率分量幅值的相對(duì)大

24、小,輻角 楓 那么代 表相應(yīng)各頻率分量的相位.所以式(3-30)在丁 Tm時(shí)為了=正?明/越w田二F5i廿破熱卬(3-34)1-8 2常2元J*該式說(shuō)明,一個(gè)非周期信號(hào)可以看做是無(wú)限多個(gè)幅度無(wú)限小的復(fù)指數(shù)諧波之和,而其中每一個(gè)分量的復(fù)數(shù)振幅為2窗0二、傅里葉變換式(3-33)和式(3-34)是一對(duì)很重要的變換式,現(xiàn)重寫(xiě)如下:2后.前者是由信號(hào)的時(shí)間函數(shù)變換成頻率函數(shù),稱(chēng)為傅里葉正變換式,有時(shí)記為或/TH.m后者是由信號(hào)的頻率函數(shù)變換為時(shí)間函數(shù),稱(chēng)為傅里葉反變換式.有時(shí)記為產(chǎn)西聞7.)或?yàn)橄騎/Q)如果上述變換中的自變量不用角頻率 田而用頻率/,那么由于5二2 ,可寫(xiě)為(S-36)F二一產(chǎn)叫*-

25、0Dk%)=J7sMW頻譜密度函數(shù)9仃前是一復(fù)變函數(shù),可以寫(xiě)為Rj砌=戶u砌白刈=虱的斗四式中|司5功|和的切分別為百J時(shí)的模和相位,翅西和前分別為U時(shí)的實(shí) 部和虛部.傅里葉反變換式也可寫(xiě)成%=?J：必產(chǎn)題二!匚鳳/咻麗止血風(fēng)物81就碗口曲4j?j2K/的師+ a噂=工+總電可見(jiàn)一個(gè)非周期信號(hào),今也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量,也可 以分解為t的復(fù)變函數(shù).假設(shè)/是實(shí)函數(shù),那么FJ 和田附分別是的偶函數(shù) 和奇函數(shù),并且1,9y(i)=產(chǎn)(jHJ cos血 H日(聞口.(3_3B)三、傅里葉變換的存在條件前面根據(jù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)導(dǎo)出了傅里葉變換.而從理論上講,傅里葉 變換也應(yīng)滿足一定條

26、件才能存在.傅里葉變換存在的必要和充分條件的證實(shí)需要 較多的數(shù)學(xué)根底理論,在此僅對(duì)其充分條件加以討論.如果信號(hào),滿足絕對(duì)可積條件,即1f 粒 ra (3-39) 那么其傅里葉變換囚(J存在,并滿足反變換式.所有能量信號(hào)都能滿足上述絕對(duì)可積條件.這一條件是傅里葉變換存在充分條件而不是必要條件.一些不滿足絕5仇Qt對(duì)可積條件的函數(shù)也可有傅里葉變換,例如抽樣函數(shù)展,階躍函數(shù),符號(hào)函數(shù)和周期函數(shù)等.下面說(shuō)明為什么式(3-39)成立時(shí),/和嚴(yán)(J一定存在.由于喻二匚,屋融力要使頸網(wǎng)存在必須滿足84.)式(3-40)中的被積函數(shù)是變量的函數(shù),它可正可負(fù).但如果取絕對(duì)值再 進(jìn)行積分,那么必有O-口行平=匚必

27、產(chǎn)|%又,叫=1 ,故產(chǎn)或口阿曲(3-4D由式(3-41)可知,如果L倒叢0/1 ft) = a Q (3-42)0? 0代入式(3-33)得風(fēng)口出=巴工=出-0-43川a + jn網(wǎng) C7叫二J日1 由=arctan 幅度頻譜為,相位頻譜為巒0可見(jiàn)幅度頻譜和相位頻譜函數(shù)分別是頻率由的偶函數(shù)和奇函數(shù).單邊指數(shù)信號(hào)工波形,幅 度譜因011和相位譜日1g如圖3-12所示.S 3 . 132偶雙邊指數(shù)信號(hào)偶雙邊指數(shù)信號(hào)力的的表達(dá)式為力二疹/co03_d4其頻譜函數(shù)為瑪3=%-由+曰,曰一而出 = 年口 3-45|瑪.司=I 2a故幅度頻譜證+一 ,相位頻譜日式助=0o 飲波形和幅度頻譜如旬如圖3-1

28、3所示.i 用其頻譜函數(shù)(3-4?)CL+由j 2 flj 0附/2 (D 0尸3.同=-廣馨L其波形和幅度頻譜如圖3-14所示.對(duì)于奇雙邊指數(shù)信號(hào)3奇雙邊指數(shù)信號(hào)/ 0103國(guó) 3-154符號(hào)函數(shù)信號(hào)符號(hào)函數(shù)或正負(fù)號(hào)函數(shù)以日典記,其表示式為(3-48)力(i) = sgn()=,顯然,這種信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件,但它卻存在傅里葉變換.對(duì)奇雙邊指數(shù) 信號(hào)當(dāng)口-口時(shí),有-口口 八,故符號(hào)函數(shù)的頻譜函數(shù)廠 一 、. t .2 中、2(3-49)為財(cái)=hm (-7 -)=-口 a +m j田并2嗎 其波形和幅度頻譜如圖3-15所示.5單位直流信號(hào)對(duì)于單位直流信號(hào),其表達(dá)式為 = - W 03(3-6

29、0)可見(jiàn)該信號(hào)也不滿足絕對(duì)可積條件,但可利用上述 人取極限,可求得其傅里 葉變換.即品二叫力團(tuán)=蝌-陽(yáng)=1zzTUarTU2a且匚言用顯然,這說(shuō)明居為一個(gè)沖激強(qiáng)度為2年,出現(xiàn)在出三0的沖激函數(shù),即居0時(shí)=2可及必 3-51其波形和頻譜如圖3-16所示.6單位階躍信號(hào)對(duì)于單位階躍信號(hào) ,&= ,可利用工求其傅里葉變換,即另=P =叫力:啊/*%)hTU選田二版 凡,由=litn -lun故5以+中l(wèi)ima-r =文般0禾I用力以,有(3-52)其波形和頻譜如圖3-17所示7單位沖激信號(hào)?單位沖激信號(hào)的時(shí)域表示式為我)=0f m 000 = 0$()必=I-ODg.卬)=9 0) = 1(3-53

30、)其傅里葉變換式為可見(jiàn),單位沖激信號(hào)的頻譜函數(shù)是常數(shù) 1,它均勻分布于整個(gè)頻率范圍.其 波形和頻譜如圖3-18所示.八木工.8矩形脈沖信號(hào)5矩形脈沖信號(hào)5的表達(dá)式為“E rf2啦樸 &一洞二Er 二 二E武式3-54L心嘲2其頻譜函數(shù)并有-r/2(r/2小癢FC 磯其波形和頻譜如圖3-19所示.可以看出,矩形脈沖信號(hào)在時(shí)域中處于有限S 山 丁范圍內(nèi),而其頻譜卻以0 2規(guī)律變化,分布于無(wú)限寬的頻率范圍內(nèi),但其主要能量處于工范圍.所以,通常認(rèn)為這種信號(hào)的占有頻帶為 =2.七或閂.表3-2列出 了常用信號(hào)的傅里葉變機(jī)表3-2常用信號(hào)的傅里葉變換時(shí)間函數(shù)“傅立葉變換尸而單邊指數(shù)信號(hào)加 Lu的儀、01/

31、(& + /厘)偶雙邊指數(shù)信號(hào),=尸川 比02a RcP +a?)奇雙邊指數(shù)信號(hào)s3 / 0-符號(hào)函數(shù)sgni =+ 1 01 i 02直流信號(hào)/ () = 5 - oa i 00 t 0意既小H田單位沖激信號(hào)f咐二,r蛻卜o 士工6GQ i ： 0足=1*1e k| r/2、小.矩形脈沖信號(hào)1一國(guó)風(fēng)5/2二角脈沖信號(hào)1 k|/r LI f 再=Q 1 1%1 1f 8;忒過(guò)世/2奇函數(shù)假設(shè)周期信號(hào)/波形相對(duì)于縱坐標(biāo)是反對(duì)稱(chēng)的,即滿足C3-21)此時(shí)了團(tuán)稱(chēng)為奇函數(shù),其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦項(xiàng),即% 二 04二2加工由,5=0,12)3奇諧函數(shù)假設(shè)周期信號(hào),波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后與原波

32、形相對(duì)于時(shí)間軸像對(duì) 稱(chēng),即滿足投)= -f(f )(3-22)那么了稱(chēng)為奇諧函數(shù)或半波對(duì)稱(chēng)函數(shù).這類(lèi)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正 弦和余弦項(xiàng)的奇次諧波分量.4偶諧函數(shù)假設(shè)周期信號(hào)/波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后與原波形完全重疊,即滿足那么/為偶諧函數(shù)或半周期重疊函數(shù),其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦和余弦 波的偶次諧波分量.熟悉并掌握了周期信號(hào)的奇、偶和奇諧、偶諧等性質(zhì)后,對(duì)于一些波形所包 含的諧波分量?？梢宰鞒鲅杆倥袛?并使傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的計(jì)算得到一定簡(jiǎn)化.表3-1給出了周期信號(hào)波形的各種對(duì)稱(chēng)情況、性質(zhì),以及對(duì)應(yīng)的傅里葉系數(shù) an和bn的計(jì)算公式.表3-1周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)

33、,性質(zhì)%外5工045 H 0)偶函數(shù)只后直 流分量 和余弦 項(xiàng)fjrf/2丁成40奇函數(shù)加= 71只后正 弦項(xiàng)004/小1亍丁b*岷國(guó).冠奇諧函數(shù)H. T只后奇 次諧波 分量04 pLM工抬用巾的烝n為奇數(shù)4m-J. /口 A訕伽Q金n為奇數(shù)偶諧函數(shù)*=#夕只有偶 次諧波 分量3T-r/i1：1,由4仙n為偶數(shù)4 -pni-丁俗Mm由n為偶數(shù)四、傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)9/ =匯/ gG假設(shè) y,那么丁的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式具有以下性質(zhì)證實(shí)略:9 /I工工網(wǎng)況皿了?-幻=g回歹2屯出Q/W = 20口小網(wǎng)n-eQ/ 850 =工件1 +.T84 f(f)sin Q 二 ZT.一用完備正交函數(shù)集表示信號(hào)一、 正交矢量在平面空間中,兩個(gè)矢量正交是指兩個(gè)矢量相互垂直. 如圖3-1(a)所示的4 和人2是正交的,它們之間的銳夾角為 90.顯然,平面空間兩個(gè)矢量正交的條 件是A = 0(3-1)這樣,可將一個(gè)平面中任意矢量 A,在直角坐標(biāo)系中分解為兩個(gè)正交矢量的 集合12A2(3-2)同理,對(duì)一個(gè)三維空間中的矢量 A必須用三維的正交矢量集(4/如來(lái) 表示,如圖3-1(b)所示.有8 3-1其中Ai, I 人三相互正交.在三維空間中AhAhA.是一個(gè)完備的正交矢量