1、X 2 1985 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案 考生注意：這份試題共八道大題，滿分120分第九題是附加題，滿分 10分，不計(jì)入總分. 一.(本題滿分15分)本題共有5小題，每小題都給出代號(hào)為A , B, C, D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，把正確結(jié)論的代號(hào) 寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)，選對(duì)的得3分、不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超 過一個(gè)的(不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi))，一律得0分 (1)如果正方體ABCD-A B C D的棱長(zhǎng)為a , (A) a a (A) (B) o 2 3 a a (C) (D) 4 6 5 (2) tgx =1 是x 二一二的 4 (A ) (A)必要條件

2、 (B)充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不充分又不必要的條件 (3)在下面給出的函數(shù)中， 哪一個(gè)函數(shù)既是區(qū)間(0二)上的增函數(shù)又 2 是以n為周期的偶函數(shù)？ (B ) (A) y = x2(x R). (B) y sin x | (x R) (C) y = cos2x(x R) (D) y = esin2x(x R) (4)極坐標(biāo)方程=asin r(a 0)的圖象是 (C ) 的體積是 (D) 3 3 3 3 那么四面體A -ABD (5)用1, 2, 3, 4, 5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比 位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有 (C) (D) (A) 96個(gè) (B) (C) X .

3、(本題滿分20分)本題共5小題，每一個(gè)小題滿分4分只要求 直接寫出結(jié)果) 求方程2sin(X右1解 集 答: k 兀 x| x +： (-1) -1 ,k Z. 6 (2)設(shè) |a1，求 (B) arccosa arccos(-a)的值 + 答: (3)求曲線y2 = -16x 的焦點(diǎn)” 答: (0, 0) (4) 設(shè)(3x-1) 6=a3X6+a5X5+a4X4+a3X3+a2X2+aix+a0 求 a6+a5+a4+a3+a2 +a+a的值. 20000大，并且百 答：64 （或 26） （5）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是0,1，求函數(shù)f（x 2）的定義域. 答：卜1,1 三. （本題滿分14

4、分） （1）解方程 Iog4（3x）+logo.25（3 + x） = log4（1 x） + log .25（2x+1）. 解：由原對(duì)數(shù)方程得 log4 3一x = logo.25,2x+1=log4 2x*1 , J -x丿 l3+x 丿 i3 + x 丿 解這個(gè)方程，得到X1=0,X2=7. 檢驗(yàn)：x=7是增根，x=0是原方程的根+ (2)解不等式2x 5 x 1. 2x +5 色0 或xgO 2x 5 x2 2x1 L 解得刈一5*2. 四. （本題滿分15分） 如圖，設(shè)平面AC和BD相交于BG它們所成的一個(gè)二面角為45, P為平面AC內(nèi)的一點(diǎn)，Q為面BD內(nèi)的一點(diǎn)已知直線MC是直線PQ

5、在 平面BD內(nèi)的射影， 并且M在BC上又設(shè)PQ與平面BD所成的角為p , / CMQ= 4 r; TV =0,由此得到 (3-x)(2x 1), 1 (1 x)(3 x) 解: N +5 蘭0 x 1 （000 900），線段PM的長(zhǎng)為a，求線段PQ的長(zhǎng)+(1) 解：自點(diǎn)P作平面BD的垂 線，垂足為R,由于直線 MQ是直線PQ在平面BD內(nèi) 的射影，所以R在MQ上， 過R作BC的垂線，設(shè)垂足為N, 則PN!BC （三垂線定理）因此/ PNR是所給二面角的平面角, PNR=45 由于直線MQ是直線PQ在平面BD內(nèi)的射影，所以/ PQR節(jié) 在 Rt PNF中, NR二PRctg45 所以 NR=PR

6、 2 2222 PR 2 1 、 a - PR MR - PR 廠二 PR (1 廠) sin2 日 sin2 6 又已知 0 0 v 900,所以 PR=asin二. 2 *1+sin 日 在 Rt PRQ中, PQ=PR丄二 asin丄 sin P sinPj1 +sin2 日 故線段PQ的長(zhǎng)為一 ” sin +sin2 日 五. （本題滿分15分） 設(shè)0為復(fù)平面的原點(diǎn)，Z和乙為復(fù)平面內(nèi)的兩動(dòng)點(diǎn)，并且滿足: Z1和Z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的輻角分別為定值0和-0（ ）, 在Rt MNR中 MR=JR PR- sin v 所以/ 在 Rt PMFA (1) 2 （2） OZZ2的面積為定值S 求厶O

7、ZZ2的重心Z所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的模的最小值+解：設(shè)乙,Z2和Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分 Y 3z =乙 z2 =(* r2)cosv (A -r2)isinn 于是 2 2 2 2 2 13z| =(* r2) cos J (A -r2) sin 二 =(口 - r2)2 cos2 v 4r1r2 cos2 v(R - r2 )2 sin2 r =(A r2)2 4 r1 r2 cos2 二 又知。顯的面積為定值s及si恬mo-2），所以 1 2S r1r2sin 2 八 S,即 r1 r2 2 1 2 1 2 sin2r 2 2 , 2 8S COS V , 、2 由此，| 3z | = (口 - r2)

8、(口 - r2) 4Sctg v sin 26 2S時(shí),|z|最小,且|z|最小值二2 .、Sctgn sin 2 3 六. （本題滿分15分） 已知兩點(diǎn)P（-2 , 2）, Q（0, 2）以及一條直線：L:y=x ,設(shè)長(zhǎng)為,2 的線段AB在直線L上移動(dòng)，如圖求直線PA和QB的交點(diǎn)M的軌跡方 程.（要求把結(jié)果寫成普通方程） 解：由于線段AB在直線y=x上移動(dòng)，且AB的長(zhǎng)2，所以可設(shè)點(diǎn)A 和B分別是（a, a）和（a + 1,a + 1），其中a為參數(shù).別為Z1,Z2和Z,其中 A 彳1 乙=r (co日 +i sin e), , z2 =r2(co日 isin 0). O f 、 由于Z是厶O

9、ZZ2的重心，根據(jù)復(fù) 7 Z2 數(shù)加法的幾何意義，則有 故當(dāng)口 = 于是可得：直線PA的方程是 a -2 y-2 (x 2) (a 2) (1) a +2 直線QB的方程是 a 1 y-2 x (a 1) (2) a +1 1.當(dāng)口 =1,即a =0時(shí),直線 a 2 a 1 PA和QB平行， 無交點(diǎn)+ 2.當(dāng)a = 0時(shí)，直線PA與 QB 相交，設(shè)交點(diǎn)為M(x,y)，由(2)式得 將上述兩式代入(1)式，得 y _2少 _x _6& 2)整理得 x2 - y2 2x - 2y 8 =0 即 3x-y+2 (*) 8 8 當(dāng)a=-2或a=-1時(shí)，直線PA和QB仍然相交，并且交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足

10、(*) 式. 所以(*)式即為所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程+ 注：考生沒指出“ a=0”及“ a=-2或a=-1 ”時(shí)的情形不扣分 七. (本題滿分14分) 設(shè)an1 2 .2 3 i n(n 1)(n =1,2 ) 2 (1) 證明不等式 込衛(wèi) 對(duì)所有的正整數(shù)n都成立+ 2 2 (2) 設(shè)bn (n =1,2 ),用定義證明limbn. n(n +1) 宀 2y-2=(1 )x,a 1 a 1 x - y 2 x- y 2 3y -x -6 x - y 2 M X (1)證一：用數(shù)學(xué)歸納法+略, 證二：由不等式kk(k十二專對(duì)所有正整數(shù)k成立, 把它對(duì)k從1到n (n1)求和，得到 3 5 2n 1

11、- + -+ + - 2 2 2 又因12 n呼以及 對(duì)所有的正整數(shù)n都成立* (2)由(1)及bn的定義知 n 1 2n 對(duì)任意指定的正數(shù)要使bn -丄 J 只要使丄 S 即只要使 2 2n n 1 取N是1的整數(shù)部分，則數(shù)列bn的第N項(xiàng)以后所有的項(xiàng)都滿足 2 ； 2 ； 0 -1 V S 2 根據(jù)極限的定義，證得limbn 2 八. (本題滿分12分) 設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)， A=(x,y)|x二n,y=n a+b,n 是整數(shù), B=(x,y)|x=m,y=3m +15,m 是整數(shù), 2 2 C=(x,y)|x +y 144, 3 5 2n 1 + + - 2 2 2 -(2n 1) 2 (

12、n 1) -2 因此不等n(n 1) 2 :a 2 (n 1) 2 1 2n 是平面XOY內(nèi)的點(diǎn)集合，討論是否存在a和b使得 （1） An BM （表示空集）， （2） （ a,b） C 同時(shí)成立 解：如果實(shí)數(shù)a和b使得（1）成立，于是存在整數(shù) m和n使得 2 （n,n a+b）=（m,3m+15）, 即：n = m, 2 、na + b=3m +15. 由此得出，存在整數(shù)n使得na+b=3n2+15, 或?qū)懗?n a+b-（3n 2+15）=0 這個(gè)等式表明點(diǎn)P（ a,b）在直線L： nx+y-（3n 2+15）=0上，記從原點(diǎn) 2 J2 到直線L的距離為d,于是d =3n15 =6（_2）_12 Jn2+1 2 71 ：2 彳 當(dāng)且僅當(dāng)