1、第2章靜電場2.1電場強度與庫侖定理定義i電場強度：設在電場中某點處一個帶正電量的試驗電荷 q受到的電場力為月，則該點出的電場強度為：E = lim F / q含義：一。（1）電場強度后表示在電場中某點出一個單位正電荷 受到的作用力。（2）定義式中極限9-0是為了在引入試驗電荷時不 致影響場源電荷的狀態(tài)（亦即不影響電場本身的分布）；（3）左的方向與帶正電荷的試驗電荷的受力方向一 致：'（4）要得到電場強度后的解，首先須求出月 由此引 出如下的庫侖定律。庫侖定律：（實驗定律）.：.真空中相距R的兩個點電荷間具有相互作用力 （靜電力），其中生受到%的作用力為；= - -aR =- - 4萬

2、L4兀£渣 R.：.其中心二不是由g中旨向取的 單位矢量，% =8.854x10-1%/7 稱為真空中的介電常數(shù)。：,根據(jù)左的定義若在庫侖定律的表達式中，將視為 場源電荷q, 如視為試驗電荷，則，所在處的場強 %：E = -J萬尺=J反4tt£qR AttSqR用矢徑的q梯彘示4飛用矢徑表示（在球坐標系下:寸二司4 ）鑼4（式中，：場點的位置矢，/：源點的位置矢，R = f-r ）庫侖定律告訴我們:1 .點電荷場強大小按距離平方反比變化：石93 ： R22 .場強與點電荷的電量成正比，所以靜電場的場強具有線性可迭加性，表現(xiàn)在如下幾方面:A.由N個點電荷（6應2,/）組成的一

3、個靜電場，其場中某點處的場強為（矢量和）：是到場點的距離，是沿矢徑Rh的單位矢b.以體密度夕（m匕嗎廿）分布于體積中 T的體電荷，其場點二）處的場強為：E= f Q（x'，V，二。丁'萬入 4底041 f p(x yz').= ,2、LaRdv4段0 JR2R一 4gLM（其中夕（K，/）'為體電荷元）移3:注意；1.式中以場點坐標為變量進行運算;2 .式中積分是以源點坐標為變量進行運算。3 ./1 ) _ 1 -Vr a Ru? J R2 Rr i、 iiLt? J R2-K R鑼4j,聯(lián)）C.以面密度叱乂（，/）分布于表面 s'上的電荷，在場點%j,

4、z）處的場強為：E =4ao1D.以線密度qQ"'/）= 1叫2/R'（c/m）分布于一條線 mJ（其中0s（,y .二卜s為面電荷兀）例：一個半徑為a的孤立導體球，總電量為Q.求球內 外的電場強度。解題中注意以下幾點：必須明確“導體的電荷分布于導體表面，孤立導體 球的電荷均勻分布于球的表面”，由此可求出電荷面密 度；面元的選取及面積分積分順序選取的技巧；一 般，ds'=cicos 6d（p （cid0）= a2 cos OdOcJcp球外場點的電場與位于球心的點電荷Q的電場相 同，球內場強恒為零（靜電屏蔽）。2.2靜電場的基本方程真空中靜電場的基本方程：積分

5、形式：，左.曲（高斯定理）耳濟=0 （靜電場守恒性）（注：閉合面s和閉合回路c均為任意）應用散度定理fs%石可得到高斯定理的微分形式：.左=旦其中：=（ T為閉合面S包圍的體積）應用斯托克斯定理f "勿二J'VxN.蘇 可得到靜電場 守恒性的微分形式：VxE = 0這樣，得到靜電場的基本方程的微分形式：Nx 五=2VxE = 0場的基本方程的物理意義：L場強后沿閉合面S的通量恒等于閉合面所包圍 的總電量與真空中的介電常數(shù)之比；2 .環(huán)路定理（即1至第二式）表明靜電場是一個 保守場，當在場中沿閉合路徑移動一個電荷q時，電 場力。巨作的功為；jcqE-d7 =qcE-d7 =03

6、 .高斯定理的微分形式表明，電場的散度僅由電 荷的分布（體密度）夕決定。在已知場強的情況下， 可由此式求出該點處場源P的分布：4 .環(huán)路定理的微分形式表明靜電場是無旋場， 它使我們可用一個標量函數(shù)中來表示矢量場及E - - grad-V標量函數(shù)中稱為靜電場的電位函數(shù)。在直角坐 標系下，上式變?yōu)椋杭阂焕┮?3D 一E a.a,"dx ' dv - dz則E沿任意方向7的投影為：（沿月方向的方向導數(shù)）./<1> ( -4 一、|Ei =- Ei = -aial yal ):.d = -Eldl = -Edl則A點與B點的電位差（電壓）為：乙=史修=二:一五府零電位點

7、的選?。阂话闳o窮遠處電位為零。當P點為無窮遠點，且選為零電位點時，則有=/一小風=L產蛆 Cr。）irA即：中產后.勿例：求導體表面的面電荷密度。證明要點：1 .運用高斯定理的積分形式;2 .作一個閉合面S；3 .注意導體內部場強為零，及導體外表面處的場強 與表面垂直，所以3DE = En = - V（I） an = nncn2.3 泊松方程與拉氏方程X奪式=彳弋入中得：v . （V0）=£。 %上式左邊梯度的散度，其運算結果為一標量，用拉普拉 斯算子0表示，即：7= 一2 （電位。的泊松方程）在直角坐標系下：12° =曼+駕+燮請“七2一在圓柱坐標系下：,r dr dr

8、 ） r c（/）&-在球坐標系下：上述三個表達式中，直角坐標系中的vV 須記 憶。對于夕=。的點（即面電荷、線電荷、體電荷及點 電荷之外的點），泊松方程簡化為如下齊次二階偏微分 方程（拉普拉斯方程）： 2 =（）運用洎松方程和（或）拉氏方程可以求解靜電場的 邊值問題。所謂“邊值問題*是指在一定的邊界條件下 求解泊松方程（或拉氏方程）。具體解法在第五.章介 紹。在某些特殊情況下，可以利用直接積分的方法求 解。這些特殊的情況包括：L求解量（電位。）呈完全對稱分布；2.無窮大邊界面（如點電荷電場）除上述情況之外，均須用其它方法求解。例：同軸圓柱中的電場。E = -/z- - ar In 2

9、a例：導體球（半徑為Q的電位為V。求球外電位。=0cir2.4格林函數(shù)?！包c電荷”的準確描述：對于分布于體積Ar內的電荷，當"一（）時， 電荷密度T8,但保持At體積內的總電量不變, 這樣的分布電荷叫做“點電荷”?？梢越柚?函數(shù)晉4來表示一個位于點 的點電荷：r = IQ +2 j處人2帶電量為qq而-r ）= M）小，一 1y be- z ）。根據(jù)函數(shù)3的抽樣性定理，可以證明上述點電荷的電量為：f Z£ -r ）clT = q（當上包含點/時，即/點2.6唯一性定理靜電場的邊值問題可以分為如下三類：L狄利克邊界條件：整個邊界上的位函數(shù)均已知；2 .諾伊曼（牛曼）邊界條件

10、：整個邊界上的位函數(shù) 的法向導數(shù)均己知；3 .混合邊界條件：在一部分邊界上位函數(shù)已知，而 在另一部分邊界上位函數(shù)的法向導數(shù)已知。解的唯一性定理就是針對上述各種邊界條件提出 的：不論在何種邊界條件下，泊松方程或拉氏方程的解 都是唯一的。作業(yè)：同學們仿照教材上的證明過程，證明混合邊界條件下 解的唯一性定理。由唯一性定理得到靜電場問題有定解的充分必要條件：充分條件：當給定區(qū)域內的源分布后只要再給定了邊界面的全部或每部 分表面上的電位函數(shù)或電位函數(shù)的法向導數(shù)這兩者之一，則區(qū)域 內的電位就被唯一地確定了（定解）。必要條件：對于一個具有確定電位分布的區(qū)域，區(qū)域表面上的邊界條件 必定是被唯一地給定的，（即：

11、不可能同時任意給定表面上的電 位函數(shù)及其法向導數(shù)）解的唯一性定理告訴我們：在使用不同的方法得到形式上不同的解時，它們必定是等價 的。下面我們來討論一個具體而仃用的靜電場例子。2.7電偶極子：電偶極子：一對等值異號的電荷相距一個小的距離/。以下 研究電偶極子的遠區(qū)（，>>/ ）電場分布：*采用球坐標如下圖示，遠區(qū)場點（瞑夕協(xié)的電位為:晉a/ qlcosO:代入上式，得：g七4刀先產定義偶極子的電距（“電偶極距''）"（單位：c.m）： p = qj（方向由q指向+q）,pcos 0p cir »訊斫以 (h = -4 兀2 M.24g/24 友”3

12、=-看佃所以巨=7 6球坐標系中一 2/2cqs。 一夕sin，= Cl -I- aQ 悌度展開式47r名產4兀%尸電偶極子電場的特點：1 遠區(qū)電場按r3反比變化：2 .遠區(qū)電場具有軸對稱性（對稱軸為/）。由此可得到電場中等位線（面）和電場線（電力線）的求法：等位線：在電位表達式中令電位為常數(shù)即可得到；電力線：注意到“電場線上每點處線元的方向和該點處 電場的方向相合”這一關系，即利用如下關系求解可得到電力線方程： dl =kE （k為比例常數(shù)）方的表達式可由其它方法得到（諸如 左=7。等），而dl的表達式須根據(jù)所選用的坐標系寫 出。畛2.8介質中的高斯定理在電場中放入電介質（介質）時，由于介質

13、中的分 子在外加甩場作用下發(fā)生極化現(xiàn)象，介質中出現(xiàn)了電偶 極距（即束縛電荷），偶極距產生的附加電場疊加于原 來電場之上，使電場發(fā)生改變。介質極化的微觀機理：1 .電子極化：2 .離子極化；3 .固有電距的取向極化。定義：介質中某點處的極化強度戶（單位：c/）- （1）P= Um- = N（pAt ->0 A Z介質在電場中被極化，產生了電偶極距，可理解為 束縛電荷的作用。由此可推導出介質中的高斯定 觸。后+研杰=£q （推導略）（2） 其中，后；外加電場（自由電荷的電場）與介質產 生的電場（束縛電荷的電場）的總和，稱為宏觀電 電；P ：介質的極化強度，單位為：閉合面s內自由電荷

14、電量。鑼4晉4引入一個輔助矢量力:D = ")立 + P(3)稱為電位移矢量(或電通量密度)，則(2)式可化為:，方, “X =工q(4)對應的微分形式為：V - D = /?(5)注意：(4)和(5)式中的小。分別為自由電荷電 量和自由電荷體密度，而不包括束縛電荷電量。對于我們經(jīng)常用到的線性、各向同性介質，其極化 強度戶與宏觀電場)有如下關系：P =無產。豆(6)(乙為無量綱常數(shù)，稱為介質的極化率)所以 D=£oE+P= (1 + z)>>0£=£聲石=癥(7)上式表明了方與后的本構關系，明是一個由介質材 料本身的電極化性能決定的常數(shù)，稱為

15、介質的相對 介電常數(shù)。:由上述可總結出在普遍情況下（即有介質存 在時），靜電場的基本方程：高斯定理：/曲, .力=。環(huán)路定理：物.d=0，VxE = 0E = -V0）。介質本構關系：力=%巨_介質中束縛體電荷密度：0> =-戶介質表面束縛面電荷密度；pPS = Pciu例2.9：計算加有電壓11的平行板電容器的束縛電荷。注意，（1）在本題解題中使用了 中冊*q關系，得到極 板上的自由電荷密度夕SI Psz ,（2）由于兩極板之間加有恒定電壓，因此在不考慮邊 緣效應的情況下，可直接由 石=74求出介質區(qū)域和 空氣區(qū)域中的E ;填充的介質，只影響到該填充區(qū)域 中的D的分布。2.9 邊界條件

16、在外加電場的作用下，介質的表面或者兩種不同介 質（）的分界面上會出現(xiàn)束縛電荷，使得電場分 布發(fā)生變化，并最終使電場在分界面上變?yōu)椴贿B續(xù)的。 所以，在介質分界面處電場分布只能用高斯定律和環(huán)路 定理的積分形式表示，由此即可得到分界面兩側場量之 間的關系邊界條件（場量銜接條件），這時才能結 合拉氏方程（或泊松方程）求解定解問題。一般地，將分界面上的場量分解為平行于分界面的 “切向分量”和垂直于分界面的“法向分量”，并選取分界 面的法線方向為由介質2 （%）指向介質1 （(A)法向分量：在分界面上選取如圖示的柱形閉合面，并應用高斯定律:_ 九一 odS = D.S - D.S =1 nL n s(2-

17、9-1)得：D#S-DQS = Ps或 可D-豆必=0或 .(A-A)=a式中，氏為分界面上自由電荷面密度。因為：2 = 6國 =一6/。1 Idn ,所以(2.9-1)式變?yōu)橛秒娢缓瘮?shù)表示的法向分量邊界 條件：D2fl = e2E2fl = 一當分界面上無自由電荷時，上述兩式變?yōu)檫B續(xù)的:一 1/ dn + /加=Ps (2,9-2)h ="2 (萬力1/二萬力2)(2.9-3)£©3 dn = £3弧 /51(2.9-4)（B）切向分量：在分界面選取如圖示閉合回路，并應用環(huán)路定理,得：伍濟="&瓦/=0得:J =七2,或：d.xE用電

18、位函數(shù)表示的切向電場連續(xù)條件為：。=么 （2.9-6）注意：在求解靜電場的定解問題時，所得答案（電 場函數(shù)或電位函數(shù)）除了須滿足拉氏方程（或泊松方 程），還必須滿足待求解區(qū)域中所仃表面和邊界面上的 邊界條件。晉42.10 多導體系統(tǒng)的電容：求“電容”的幾 種情況：（1）兩導體間的電容定義為；C=qtU式中，q為導體上的電量，U導體間電壓。C是與兩個 導體的形狀、位置及周圍介質有關的常數(shù)。（2） 一個孤立導體的電容定義為：C = q/（t）式中，q為導體電量，0是在設定無限遠處電位為零 時該導體的電位。（3）多導體系統(tǒng)中的電容：假設大地為該系統(tǒng)中的一個導體，并令其電位為 零。設該系統(tǒng)中除大地以外

19、其它導體上的電量和電位分 別為41，-2，一夕39外,。2,。N 則有:A = PlWl + 必242 + +N底=必十P22ch十一十PzAIn z Ar =十 Pn£z 十十 PnnQn上式中，利用了電位與電量呈線性關系，系數(shù) 稱為電位系數(shù)，它是與所有導體的位置和形狀有關的常 數(shù)。h =/?訪+儀a+. +先減由上式可解得：、=4的+月媯+生兇，尿=414 + 鳳2弘 + .+ Bn/n式中,稱為電容系數(shù)，而打«工力稱為感 應系數(shù)，且有4=£"（互易性）。將上式改變一個寫法，例如：% = （A1 +耳2 + +4nM 一 月2 0 一 人）一以3 M

20、 叁）一一及N（W Tn） =GM+q（琉 一。2）+Ci3（4 A）十十 CinM 一公）這樣，可畫出多導體系統(tǒng)中各部分電容：；，?。嚎梢?，在多導體系統(tǒng)中（含大地），要計算兩導體 間的電容，就必須考慮其它導體的存在（影響）。由上述各種情況下電容的定義，再結合以前學到的 關于電位、電量的計算方法，便可以計算導體的電容 了。例：計算半徑為n的孤立導體球的電容：q 1C = = 4 7l£Q02.11靜電場的能量與靜電力2.11.1 靜電場的能量在建立電荷系統(tǒng)的過程中，外界能源對電荷作功，使 得靜電場具有能量。從能量守恒的角度闡明為什么靜 電場具有能量。設在電荷系統(tǒng)的建立過程中（例如在充

21、電的過程 中），各點的電荷密度按比例因子a（。=。1）變化， 即某一時刻、某點的電荷密度為 即（0為系統(tǒng)完全建立 后，最終的甩荷密度分布）。由于電位與電荷的線性關系， 該點處的電位為。為系統(tǒng)完全建立后，最終的電位 分布）。則對于某一體積元d* 當電位為a。時，再增加 微分電荷心生則電源需做的功為物（"以”得1這時電 場能量增加了 暝二（ad（RaR根據(jù)同樣的原理，充電過 程完成后、整個空間熠加的電場能量為：W = a（/>pdrda=J adapd t =此即為該靜電第系統(tǒng)的能量。如果靜電場的電荷分布于表面上，且電荷面密度為心，則,-=（2.11-2）2 、從上面的推導中，可以看出，上述兩式中的夕和心均 指自由電荷，而不包含束縛電荷。當靜電場系統(tǒng)是一系列具有固定電位的離散分布的帶電導體組成的時，則電場能量為：匕心匯（夕血）（21-3）利用高斯定律的微分形式V.D = p ,代入 （2.11-1）式，并利用矢量恒等式即）=火力十萬得：畛晉4W =；上,D - ds + ；(左- D d T注意到將