1、 讓更多的孩子得到更好的教育 解直角三角形及其應(yīng)用 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解解直角三角形的含義，會綜合運(yùn)用平面幾何中有關(guān)直角三角形的知識和銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形；2會運(yùn)用有關(guān)解直角三角形的知識解決實(shí)際生活中存在的解直角三角形問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.設(shè)在RtABC中，C=90°，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有：三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).銳角之間的關(guān)系：A+B=90°.邊角之間的關(guān)系：，.，h為斜邊上

2、的高.要點(diǎn)詮釋：(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.要點(diǎn)二、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟RtABC兩邊兩直角邊(a，b)由求A，B=90°A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求A，B=90°A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如A，b)B=90°A，銳角、對邊(如A，a)B=90°A，斜邊、銳角(如c，A)B=90°A，要點(diǎn)詮釋：1在遇到解直角三角形的

3、實(shí)際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.2若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.解這類問題的一般過程是：(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系

4、，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.拓展：在用直角三角形知識解決實(shí)際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=的形式.(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖中，目標(biāo)方向

5、PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要點(diǎn)詮釋：1解直角三角形實(shí)際是用三角知識，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意

6、圖.2非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.3解直角三角形的應(yīng)用題時，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典型例題】類型一、解直角三角形1在RtABC中，C90°，a、b、c分別是A、B、C的對邊，根據(jù)下列條件，解這個直角三角形 (1)B=60°，a4； (2)a1，【答案】 (1)A90°B90°60°30°由知，由知，(2)由得B60°， A90°-60°30° ， 2如圖所示，在

7、RtABC中，C90°，B30°，b20，解這個直角三角形【答案】由C90°知，A+B90°，而B30°， A90°-30°60°又 ， c40 由勾股定理知 ，舉一反三：（1）已知a=2，b=2 ，求A、B和c；（2）已知sinA=, c=6 ，求a和b；【答案】（1）c=4；A=60°、B=30°； （2）a=4；b=類型二、解直角三角形在解決幾何圖形計(jì)算問題中的應(yīng)用3如圖所示，BC是半圓O的直徑，D是的中點(diǎn)，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)E，(1)求證：ABEDBC；(2)已知BC

8、，CD，求sinAEB的值；(3)在(2)的條件下，求弦AB的長 【答案】(1) ， 12，又BC是O的直徑， BACBDC90° ABEDBC(2)由ABEDBC， AEBDCB在RtBDC中，BC，CD， BD， sinAEBsinDCB(3)在RtBDC中，BD，又123，ADEBDA， AEDBAD ， 又 ， CD2(BDBE)·BD，即， 在RtABE中，ABBEsinAEB舉一反三：如圖，在ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=（1）求AB邊上的高CD；（2）求ABC的面積S；（3）求tanB 【答案】（1）CD=4cm；（2）S=32 cm2；

9、（3）tanB=.類型三、解直角三角形在解決實(shí)際生活、生產(chǎn)問題中的應(yīng)用4某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為（i1:是指鉛直高度DE與水平寬度CE的比)，CD的長為10 m，天橋另一斜面AB的坡角ABC45° (1)寫出過街天橋斜面AB的坡度； (2)求DE的長； (3)若決定對該過街天橋進(jìn)行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45°坡角改為30°，方便過路群眾，改建后斜面為AF，試計(jì)算此改建需占路面的寬度FB的長(結(jié)果精確到.0.01 m)【答案】 (1)作AGBC于G，DEBC于E，在RtAGB中，ABG45°，AGBG AB的坡

10、度(2)在RtDEC中， ， C30°又 CD10 m (3)由(1)知AGBG5 m，在RtAFG中，AFG30°，即，解得答：改建后需占路面的寬度FB的長約為3.66 m5騰飛中學(xué)在教學(xué)樓前新建了一座“騰飛”雕塑為了測量雕塑的高度，小明在二樓找到一點(diǎn)C，利用三角板測得雕塑頂端A點(diǎn)的仰角為30°，底部B點(diǎn)的俯角為45°，小華在五樓找到一點(diǎn)D，利用三角板測得A點(diǎn)的俯角為60°(如圖所示)若已知CD為10米，請求出雕塑AB的高度(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)1.73)【答案】過點(diǎn)C作CEAB于E D90°60°30°

11、，ACD90°30°60°， CAD180°30°60°90° CD10， ACCD5 在RtACE中，AEAC·sinACE5×sin 30°，CEAC·cos ACE5×cos 30°，在RtBCE中， BCE45°， 6.8(米) 雕塑AB的高度約為6.8米【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.在ABC中，C90°，則tan B( ) A B C D2在RtABC中，C90°，B35°，AB7，則BC的長為( )A7sin 35&#

12、176; B C7cos 35° D7tan 35°3河堤、橫斷面如圖所示，堤高BC5米，迎水坡AB的坡比是1:(坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比)，則AC的長是( ) A米 B10米 C15米 D米4如圖所示，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別為OB、OC的中點(diǎn)，則cosOMN的值為( ) A B C D1 第3題 第4題 第5題5如圖所示，某游樂場一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為，那么滑梯長為 ( )A B C D6如圖所示，在ABC中，C90°，AC16 cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，若，則BD的長是( )

13、A4 cm B6 cm C8 cm D10 cm7如圖所示，一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達(dá)B地，再由B地向北偏西的方向行駛40海里到達(dá)C地，則A、C兩地相距( ) A30海里 B40海里 C50海里 D60海里 第6題 第7題 第8題8如圖所示，為了測量河的寬度，王芳同學(xué)在河岸邊相距200 m的M和N兩點(diǎn)分別測定對岸一棵樹P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，則河的寬度是( )Am Bm Cm D100m二、填空題9如圖所示，在RtABC中，C90°，AM是BC邊上的中線，sinCAM，則tanB的值為_10如圖所示

14、，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的點(diǎn)，ADBE，AE與CD交于點(diǎn)F，AGCD于點(diǎn)G，則的值為_ 第9題 第10題 第11題11如圖所示，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則海輪行駛的路程AB為_海里(結(jié)果保留根號)12如圖所示，直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，BCAD，AD2，AB4，點(diǎn)E在AB上，將CBE沿CE翻折，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，則BCE的正切值是_13如圖所示線段AB、DC分別表示甲、乙兩座建筑物的高ABBC，DCBC，兩建筑物間距離BC30米，若甲建筑物高AB28米

15、，在A點(diǎn)測得D點(diǎn)的仰角45°，則乙建筑物高DC_ _米 第12題 第13題 第14題14.在一次夏令營活動中，小明同學(xué)從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了200m到達(dá)B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達(dá)目的地C(如圖所示)，那么，由此可知，B、C兩地相距_m 三、解答題15如圖所示，某校綜合實(shí)踐活動小組的同學(xué)欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一座樓亭前的臺階上A點(diǎn)處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點(diǎn)C處，測得樹頂端D的仰角為60°已知A點(diǎn)的高度AB為2米，臺階AC的坡度為1:

16、(即AB:BC1:)，且B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度(測傾器的高度忽略不計(jì))16. 如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他們先在A處測得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為45°，再沿著BA的方向后退20m至C處，測得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為30°求該古塔BD的高度(1.732，結(jié)果保留一位小數(shù))17如圖所示是某品牌太陽能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管AB與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面O的圓心，支架CD與水平面AE垂直，AB150厘米，BAC30°，另一根輔助支架DE76厘米，CED60°(1

17、)求垂直支架CD的長度(結(jié)果保留根號)(2)求水箱半徑OD的長度(結(jié)果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73)【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B；【解析】如圖，sin A，設(shè)BC4x則AB5x根據(jù)勾股定理可得AC， 2.【答案】C；【解析】在RtABC中， BCABcosB7cos 35°3.【答案】A；【解析】由知，(米) 4.【答案】B；【解析】由題意知MNBC，OMNOBC45°， 5.【答案】A；【解析】由定義， .6.【答案】D；【解析】 MN是AB的中垂線, BDAD又，設(shè)DC3k，則BD5k， AD5k，AC8k 8k16，k2，BD5×

18、210 7.【答案】B；【解析】 連接AC， ABBC40海里，ABC40°+20°60°， ABC為等邊三角形， ACAB40海里8.【答案】A【解析】依題意PMMN，MPNN30°，tan30°，二、填空題9【答案】；【解析】在RtACM中，sinCAM，設(shè)CM3k，則AM5k，AC4k又 AM是BC邊上的中線， BM3k， tanB10【答案】；【解析】由已知條件可證ACECBD從而得出CAEBCD AFGCAE+ACDBCD+ACD60°，在RtAFG中，11【答案】； 【解析】在RtAPC中，PCACAP·sinAPC 在RtBPC中，BPC90°-30°60°，BCPC·