1、 2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（甲卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b2. 為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（ ）a. 該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%b. 該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%c. 估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元d. 估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4

2、.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間【答案】c3. 已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b4. 青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)l和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)v的滿足已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ ）（）a 1.5b. 1.2c. 0.8d. 0.6【答案】c5. 已知是雙曲線c的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為c上一點(diǎn)，且，則c的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】a6. 在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)a的三條棱的中點(diǎn)分別為e，f，g該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相

3、應(yīng)的側(cè)視圖是（ ）a. b. c. d. 【答案】d7. 等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）a. 甲是乙的充分條件但不是必要條件b. 甲是乙的必要條件但不是充分條件c. 甲是乙的充要條件d. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】b8. 2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有a，b，c三點(diǎn)，且a，b，c在同一水平面上的投影滿足，由c點(diǎn)測(cè)得b點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由b點(diǎn)測(cè)得a點(diǎn)的仰角為，則a，c兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（ ）

4、a. 346b. 373c. 446d. 473【答案】b9. 若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a10. 將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】11. 已如a，b，c是半徑為1的球o的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】a12. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閞，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)【答案】14. 已知向量若，則_【答案】.15. 已知為橢圓c：的兩個(gè)焦點(diǎn)，p，q為c上

5、關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_(kāi)【答案】16. 已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為_(kāi)【答案】2三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出交字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17. 甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?（2）能否有

6、99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為,乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.18. 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立數(shù)列是等差數(shù)列：數(shù)列是等差數(shù)列；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分解：選作條件證明：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，所以.選作條件證明：因?yàn)?，是等差?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)?，所以是等差?shù)

7、列.選作條件證明：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)椋?，解得或；?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.19. 已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，e，f分別為和的中點(diǎn)，d為棱上的點(diǎn) （1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?（1）證明：因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，所以因?yàn)?，所以，又，所以平面所以兩兩垂直以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所以，由題設(shè)（）因?yàn)椋?，所以?）解：設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為所以

8、，此時(shí)20. 拋物線c的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交c于p，q兩點(diǎn)，且已知點(diǎn)，且與l相切（1）求c，的方程；（2）設(shè)是c上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由解：（1）依題意設(shè)拋物線，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑，所以的方程為；（2）設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，則過(guò)與圓相切的另一條直線方程為，此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)則過(guò)與圓相切的直線為，又，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，

9、與圓相切，同理所以為方程的兩根，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.21. 已知且，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍解：（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）,設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.（二）選考題：共10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計(jì)分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）22. 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為（1）將c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)a的直角坐標(biāo)為，m為c上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)p滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷c與是否有公共點(diǎn)解：（1）由曲線c的極坐標(biāo)方程可得，將代入可得，即，即曲線c的直角坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)，設(shè)，則，即，故p的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)）曲線c的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，兩圓內(nèi)含，故曲線c與