1、高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)導(dǎo)數(shù)公式：(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1x2(csc x)csc x ctgx( arctgx )1(a x )a x ln a1 x21( arcctgx )1(log a x)1x2x ln a基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：tgxdxln cos xCctgxdxln sin xCdxsec2 xdxtgx Ccos2xdxcsc2xdxctgx C2secxdxcsc xdxdx22axdxx2a2dx22axa2x2ln secxtgxCln csc xctgxC1 a

2、rctg x Caa1 ln xaC2a xa1 ln a x C 2a a xxarcsinCsinxsecx tgxdxsecxCcscx ctgxdxcscxCa xdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a 2 )Cx 2a22sin n xdx2cosn xdxn1 I nI n200nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a2 )C22x2a2dxxx2a2a2ln xx2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a2u1u2，x， dx2dusinx2，cosx2u tg21 u1u21 u一些初等函數(shù)：雙曲正弦 : sh

3、xexe x2雙曲余弦 : chxexe x2shxexe雙曲正切 : thxexechxarshx ln( x x2）1兩個(gè)重要極限：limsin x1xx 0lim (1 1 ) xe 2.718281828459045.x xxxarchxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1x三角函數(shù)公式：·誘導(dǎo)公式：函數(shù)sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos t

4、g ctg 270°-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg ·和差角公式：·和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2coscosctgctg1ctg()22ctgctgcoscos2 sinsin22·倍角公式：sin 22 sincoscos22cos21

5、12 sin2cos2sin2sin33sin4 sin3ctg2ctg 21cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg13tg 2tg 21tg 2·半角公式：sin1 coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1 cos22·正弦定理：abc2R·余弦定理： c2a2b22ab cosCsin Asin Bsin C·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin xarccos xarctgx2arcctgx2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz ）公式：(uv)( n )

6、nCnku ( n k ) v(k )k 0u( n) vnu ( n 1) vn(n1) u (n 2) vn(n1) ( n k1) u( n k)v (k )uv(n )2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b)f (a)f ()(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()當(dāng) F( x)x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 ytg平均曲率：.:從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；：弧長(zhǎng)。Ks MMsM 點(diǎn)的曲率： Klimdy.sds2s0(1 y)3直線： K0;半徑為 a的圓： K1 .

7、a定積分的近似計(jì)算：bba ( y0矩形法： f ( x)y1yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1 an2bba ( y0拋物線法： f ( x)yn )2( y2y4yn2 ) 4( y1y3yn 1 )a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： WF s水壓力： Fp A引力： Fk m1m2,k為引力系數(shù)r 21b函數(shù)的平均值： yf (x)dxba a1b均方根：f 2 (t )dtb a a空間解析幾何和向量代數(shù)：空間 2點(diǎn)的距離： dM1M2(x2x1) 2( y2y1 )2( z2 z1 )2向量在軸上的投影： Pr j u ABAB cos ,是

8、AB與 u軸的夾角。Pr j u (a1a2 )Pr ja1Pr ja2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一個(gè)數(shù)量 ,兩向量之間的夾角： cosaxbx ay byazbz2ay22222axazbxbybzijkc a baxayaz , cab sin.例：線速度： vw r .bxbybzaxayaz向量的混合積： ab c(ab )cbxbybza bc cos ,為銳角時(shí)，cxc ycz代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點(diǎn)法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A, B, C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方

9、程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離： dAx0By0A2B2空間直線的方程： x x0y y0z z0t,其中 smnp二次曲面：Cz0 DC 2xx0mt m, n, p; 參數(shù)方程： yy0ntzz0pt1、橢球面： x2y2z21a2b2c2、拋物面： x2y 2（同號(hào)）22qz,p, q2 p3、雙曲面：?jiǎn)稳~雙曲面： x2y2z22221abc雙葉雙曲面： x2y2z2（馬鞍面）a2b2c21多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計(jì)算：z dzf x ( x, y)x f y

10、(x, y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 ：zf u(t ), v(t)dzzuzvdtutvtzf u(x, y), v( x, y)zzuzxuxv當(dāng)u，時(shí)，u( x, y)vv( x, y)duu dxu dydvv dxv dyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dyFx ，d 2 y0dxFydx 2隱函數(shù)F ( x, y, z)， zFx ，z0xFzyvxFx(Fxdy()Fy)x FyydxFyFzF (x, y,u, v)0(F ,G)FFFuFv隱函數(shù)方程組：uvG(x, y,u, v)0JGGGuGv(u,v)uvu1(F,G)v1(F ,G)xJ( x, v)

11、xJ(u, x)u1(F,G)v1(F,G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應(yīng)用：x(t )空間曲線y(t )在點(diǎn) M (x0 , y0 , z0 )處的切線方程： x x0yy0zz0z(t)(t 0 )(t0 )(t0 )在點(diǎn) M 處的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t 0 )( z z0 )0若空間曲線方程為： F ( x, y, z) 0,則切向量 TFyFzFxFx, Fz,G ( x, y, z) 0G yG z G zG x Gx曲面 F ( x, y, z) 0上一點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 )，則：1、過此點(diǎn)的法向量：

12、n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、過此點(diǎn)的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )3、過此點(diǎn)的法線方程：x x0y y0zz0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )FyG yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)zf ( x, y)在一點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)為： ffcosfsinp( x, y)llxy其中 為

13、 軸到方向的轉(zhuǎn)角。xl函數(shù)zf ( x, y)在一點(diǎn)的梯度：gradf ( x, y)ffp( x, y)ijxy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是 ：f，其中e cosisin j，為方向上的grad f (x, y) ell單位向量。f 是 gradf (x, y)在l上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)f x ( x0, y 0 )f y ( x0 , y0 )，令：f xx ( x 0, y0 ) A , f xy ( x 0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C0ACB2時(shí)， A0 , ( x0, y0 )為極大值00 , ( x0, y0 )為極小值B 2A則： AC0時(shí)

14、，無(wú)極值A(chǔ)CB2時(shí)不確定0 ,重積分及其應(yīng)用：f ( x, y)dxdyf (r cos,r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面積 A1zzdxdyDxyM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM( x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于 x軸 I xy2( x, y)d,對(duì)于 y軸 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）對(duì) z軸上質(zhì)點(diǎn) M (0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：( x, y) xdFyf( x, y) yd3，F(xiàn)zfa( x, y) xd

15、Fx f3，3D ( x2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：xr cos柱面坐標(biāo)： yr sin ,f ( x, y, z)dxdydzF (r , z) rdrddz,zz其中： F (r ,球面坐標(biāo)：, z) f (r cos , r sin , z)x r sin cosyr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos2r (, )f (x, y, z)dxdydzF ( r , )r 2 sindrddddF (r , )r 2 sindr0001x dv,y1ydv,z1z dv，其中 Mx

16、dv重心： xMMM轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： I x( y 2z2 )dv，I y( x2z2 )dv，I z( x2y2 ) dv曲線積分：第一類曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）：設(shè) f (x, y)在 L上連續(xù)， L的參數(shù)方程為：x(t)(t), 則：y,(t)f (x, y)dsf (t ),(t )2 (t )2 (t)dt()xt特殊情況：Ly(t )第二類曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）：設(shè) L 的參數(shù)方程為x( t )y，則：( t )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) dy P (t ),( t )(t ) Q (t ),( t )( t ) dtL兩類曲線積分之間的關(guān)系： PdxQ

17、dy( P cosQ cos) ds，其中和分別為L(zhǎng)LL 上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。格林公式：(QP ) dxdyPdxQdy 格林公式：(QP ) dxdyPdxQdyDxyLDxyL當(dāng) Py , Qx ，即：QP2時(shí)，得到D 的面積：A1xdyydxxydxdyD2 L平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件：·、是一個(gè)單連通區(qū)域；1G2、 P ( x , y )， Q ( x , y )在 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且Q P 。注意奇點(diǎn)，如(0,0)，應(yīng)xy減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積：·在Q P 時(shí)， PdxQdy 才是二元函數(shù)u ( x , y

18、 )的全微分，其中：xy( x , y )u ( x , y )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) dy ，通常設(shè)x 0y 00。( x 0 , y 0 )曲面積分：對(duì)面積的曲面積分：f ( x, y, z) dsf x, y , z( x, y )1 zx2 ( x, y) zy2 ( x, y) dxdyD xy對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：P ( x, y, z) dydzQ ( x, y , z) dzdx，其中：R( x, y, z) dxdyR( x, y, z) dxdyR x, y , z( x, y) dxdy，取曲面的上側(cè)時(shí)取正號(hào)；D xyP( x, y, z) dyd

19、z，取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào)；P x ( y, z), y , zdydzD yzQ( x, y, z) dzdx，取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào)。Q x, y( z, x ), zdzdxD zx兩類曲面積分之間的關(guān)系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos) ds高斯公式：PQR() dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos )dsxyz高斯公式的物理意義 通量與散度：散度： divPQR ,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若 div0,則為消失 .xyz通量：AndsAn ds(P cosQ cosR cos，)ds因此，高斯公式又可寫成： di

20、v AdvAn ds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：( RQ )dydz ( PR )dzdx(QP )dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量場(chǎng)沿有向閉曲線的環(huán)流量：PdxQdyRdzA t dsA常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列：1qq2qn11q n1q等差數(shù)列：123n( n1)n2調(diào)和級(jí)數(shù)：1111 是發(fā)散的23n級(jí)數(shù)審斂法：、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判別法）：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂1設(shè)：limnu n，

21、則時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散1n時(shí)，不確定12、比值審斂法：時(shí)，級(jí)數(shù)收斂U n1設(shè)：lim1，則1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散nU n時(shí)，不確定1、定義法：3sn u1u 2u n ; limsn 存在，則收斂；否則發(fā)散。n交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1u2u3 u4或u1 u2 u3的審斂法 萊布尼茲定理：(,un 0)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足unun 1，那么級(jí)數(shù)收斂且其和 su1 ,其余項(xiàng) rn的絕對(duì)值 rn un 1。lim un 0n絕對(duì)收斂與條件收斂：(1)u1u 2u n，其中 un 為任意實(shí)數(shù)；(2) u1u 2u3u n如果收斂，則肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)；( 2)(1)如果發(fā)散，而收斂，則稱為條件收斂級(jí)數(shù)。( 2)(1)(1

22、)調(diào)和級(jí)數(shù)：1 發(fā)散，而( 1) n 收斂；nn級(jí)數(shù)：12 收斂；np級(jí)數(shù)：1 時(shí)發(fā)散n pp時(shí)收斂1冪級(jí)數(shù)：x時(shí)，收斂于11 xx 2x3xn11xx時(shí)，發(fā)散1對(duì)于級(jí)數(shù)( 3) a0a1 xa2 x 2an xn，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全xR時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使xR時(shí)發(fā)散 ，其中稱為收斂半徑。RxR時(shí)不定時(shí)，10R求收斂半徑的方法：設(shè)liman 1，其中 an， an 1是(3)的系數(shù)，則0時(shí)， Rnan時(shí)， R0函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：f ( x )f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) ( xx0 ) 2f ( n ) ( x0 ) ( x

23、x0 ) n2!n!余項(xiàng)： Rnf ( n 1) ( ) ( xx0 ) n 1 , f ( x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是： lim Rn0(n1)!nx0 0時(shí)即為麥克勞林公式：f ( x ) f ( 0)f ( 0)2f ( n ) ( 0)nf ( 0) xxx2!n!一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：(1 x) m1 mxm( m 1) x 2m( m 1) ( m n 1) x n( 1 x 1)2!n!sin x xx3x 5(1) n 1x2 n 1(x)3!5!( 2 n 1)!歐拉公式：eixeixcos x2或ecos x i sin xeeixsin x2三角級(jí)數(shù)：ixixf

24、(t )A0An sin( n ta0( ancos nxb n sin nx )n )n 12n 1其中， a0aA 0， a nAn sinn， b nA n cosn，t x。正交性： 1,sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 xsin nx , cos nx任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在 ,上的積分。0傅立葉級(jí)數(shù)：f ( x )a0，周期22n 1( a n cos nx b n sin nx )a n1f ( x ) cos nxdx( n0,1,2)其中1b nf ( x )sin nxdx( n1,2 ,3 )11211121（相加）125 282 23 24 236111211121（相減）2 24 26 22 23 24 22412正弦級(jí)數(shù)：a n，2f ( x) sinn xdxn1,2 ,3f ( x)bn sin nx是奇函數(shù)0bn0余弦級(jí)數(shù)：bn，2f ( x ) c