1、 第一篇 力 學(xué)第1章 質(zhì)點運動學(xué)一基本要求1. 掌握位置矢量、位移、速度、加速度等描寫質(zhì)點運動和運動變化的物理量。2. 理解運動方程的意義，并借助坐標(biāo)系，由已知運動方程計算速度，加速度。3. 掌握用自然坐標(biāo)系描寫質(zhì)點作曲線運動的速度和加速度。4. 理解描述運動的相對性和伽利略速度變換。二基本內(nèi)容1.運動的描述 位矢: 位移: 速度: 加速度: 用自然坐標(biāo)表示的速度和加速度 2.相對運動 三 典型例題1-1 已知質(zhì)點運動方程為式中為常量，試求質(zhì)點作什么運動，并求其速度和加速度。解:由運動方程消去，可得軌跡方程為這是以R為半徑，圓心位于(0,R)點的圓的方程，即質(zhì)點作圓周運動。由速度定義，則 所

2、以速度大小 可見，的值為一常量，表明質(zhì)點作勻速率圓周運動，角速度為。再由加速度定義，則 所以加速度大小 這是我們預(yù)料的結(jié)果?。槭裁矗浚┱f明 這是已知運動方程求速度、加速度的典型問題，通稱為運動學(xué)第一類問題，具體的說是通過求導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行計算。1-2 一質(zhì)點由靜止開始作直線運動，初始的加速度，以后加速度以均勻增加（式中為一常數(shù)），求經(jīng)秒后，質(zhì)點的速度和位移。解: 因為直線運動中 分離變量后積分 又因為 則 0yx(圖1-1)dyds說明 這是已知加速度求運動方程的典型問題，稱為運動學(xué)第二類問題，具體是通過積分的方法來計算的。1-3 由光滑鋼絲彎曲成豎直平面里一條曲線,質(zhì)點穿在此鋼絲上,可沿著它

3、滑動(圖1-1).已知其切向加速度為是曲線切向與水平方向的夾角.試求質(zhì)點在各處的速率.解:取如圖直角坐標(biāo)系,令ds為質(zhì)點移動的弧長,它在y方向的投影為這里只用到切向加速度 故而上式可寫成 或 兩邊積分 可得 說明 掌握切向加速度、法向加速度和總加速度之間的關(guān)系及定義是解此題的基礎(chǔ),關(guān)系式將直角坐標(biāo)系與自然坐標(biāo)系中的y和s聯(lián)系起來是解此題的關(guān)鍵。通過積分可解此題。由此題可看出：切向加速度反映質(zhì)點速度大小變化的快慢；法向加速度雖然在此題中沒顯示出來，但它反映質(zhì)點速度方向變化的快慢。1-4 一球以v0的速率水平拋射，試求t時刻質(zhì)點加速度的切向分量和法向分量及曲率半徑。（圖1-2)0xy解： 球作平拋

4、運動，故球的運動方程為即 因此 球在時刻t，速度的大小方向 （見圖1-2）切向加速度 小球作加速度的拋體運動，因此 所以 由可得曲率半徑為 說明 知道了質(zhì)點的運動方程，即可通過微分來求質(zhì)點的速度加速度。本題一方面在直角坐標(biāo)系中，由運動方程求速度；另一方面根據(jù)自然坐標(biāo)系下速度切向加速度的關(guān)系，及切向加速度和法向加速度垂直的性質(zhì)與合加速度的關(guān)系求解。1-5一人能在靜水中以的速度劃船前進(jìn)，今欲橫渡一寬為、水流速度為的大河。（1）他若要從出發(fā)點橫渡該河而到達(dá)正對岸的一點，那么應(yīng)如何uV船v´確定劃行方向？到達(dá)正對岸需多少時間？（2）如果希望用最短的時間過河，應(yīng)如何確定劃行方向？船到達(dá)對岸的位

5、置在什么地方？解：設(shè)船對岸速度為,船對水速度為,水對岸速度為.(1) 由可知，則船到達(dá)正對岸v´vu(圖1-4)所需時間為 （圖1-3）(2).在船對水劃速v¢一定的條件下，只有過河過程當(dāng)船對水位移最小,即為此時，船過河時間最短, 劃行方向垂直. 船到達(dá)距正對岸為l的下游處，且有四、 自我檢測題一選擇題（每題3分,共24分）（單選）1.一小球沿斜面向上運動，其運動方程為（SI），則小球運動到最高點的時刻是 （A） （B） （C） (D) 2. 一運動質(zhì)點在某瞬時位于矢徑的端點處，其速度大小為（A） （B） （C） （D） 3.質(zhì)點作曲線運動,表示位置矢量,S表示路程, 表示

6、速度, 表示速率,表示加速度大小, 表示切向加速度大小,下列表達(dá)式中,(1) , (2),(3) , (4).(A) 只有(1) (4)是對的. (B) 只有(2) (4)是對的.(C) 只有(2)是對的. (D) 只有(3)是對的. 4.一質(zhì)點在平面上運動,已知質(zhì)點位置矢量的表達(dá)式為 (其中b為常量),則該質(zhì)點作: (A)勻速直線運動. (B) 變速直線運動. (C)拋物線運動. (D) 一般曲線運動. 5.在相對地面靜止的坐標(biāo)系內(nèi), AB兩船都以2ms-1的速率勻速行駛,A船沿x正向,B船沿y正向.今在A船上設(shè)置與靜止坐標(biāo)系方向相同的坐標(biāo)系(xy方向單位矢量用表示),那么在A船上的坐標(biāo)系中

7、,B船的速度(以ms-1為單位)為 (A) . (B) . (C) . (D) . 6.質(zhì)點沿曲線運動,t1時刻速度為;t2時刻速度為.那么速度增量的大小和速度大小的增量分別為 (A) =20ms-1 . (B) . =0 .(C) 均為20ms-1 . (D) 均為0 . 7. 對于沿曲線運動物體,以下幾種說法中哪一種是正確的:(A) 切向加速度必不為零. (B) 法向加速度必不為零(拐點處除外).(C) 法向加速度必為零.(D) 若物體作勻速率運動,其總加速度必為零. 8.質(zhì)點以速度作直線運動,沿質(zhì)點運動直線作OX軸,并已知時,質(zhì)點位于處,則該質(zhì)點的運動方程為(A) (B) (C) (D)

8、 二填空題(每題4分,共36分) 1.一人向東走了10m,再向北走了10m, 又再向西北走了10m,總位移(矢量式)=_.(x軸指向東, y軸指向北)2.一質(zhì)點從坐標(biāo)原點出發(fā)沿X軸運動,其速度隨時間t變化關(guān)系為.在最初2秒內(nèi)質(zhì)點的平均速度大小為_,平均速率為_.3.一質(zhì)點從靜止出發(fā),沿半徑R=3m的圓周運動.切向加速度,當(dāng)總加速度與半徑成450角時,所經(jīng)過的時間t=_,在上述時間內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的路程S=_.4.一質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動,在t=0時經(jīng)過P點,此后它的速率按(AB為正常量)變化.則質(zhì)點沿圓周運動一周再經(jīng)過P點時的切向加速度=_,法向加速度=_.5.兩輛車A和B,在筆直的公路上同向行駛

9、,它們從同一起始線上同時出發(fā),并且由出發(fā)點開始計時, 行駛的距離x(m)與行駛時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式:A為, B為,(1) 它們剛離開出發(fā)點時,行駛在前面的一輛車是_;(2) 出發(fā)后,兩輛車行駛距離相同的時刻是_;(3) 出發(fā)后,B車相對于A車速度為零的時刻是_.6.當(dāng)一列火車以10m/s的速率向東行駛時,若相對于地面豎直下落的雨滴在列車的窗子上形成的雨跡偏離豎直方向300,則雨滴相對于地面的速率是_;相對于列車的速率是_.7.以一定初速度斜向上拋出一個物體,若忽略空氣阻力,當(dāng)該物體的速度與水平面的夾角為時,它的切向加速度的大小=_,法向加速度的大小=_.8.一質(zhì)點在平面上作曲線運動,其速率

10、V與路程S的關(guān)系為V=1+S2(SI),則其切向加速度以路程S來表示的表達(dá)式為.9.在表達(dá)式 中位置矢量是_;位移矢量是_.三. 計算題(共40分) 1.質(zhì)點在xoy平面內(nèi)運動,其速度隨時間變化關(guān)系為:.t=0時,x=0, y=9m. 求: (1)質(zhì)點的運動方程加速度(2) t=0.5s時, 質(zhì)點的切向加速度大小 法向加速度大小(3)何時與恰好垂直? 東北A2. 一列車沿著圓軌道行駛,方向逐漸由西向東向北,其運動規(guī)律為,當(dāng)時, 列車在A點,軌道半徑為300m,則當(dāng)列車行駛250m時的速度,加速度, 角速度, 角加速度為多少?第2章 牛頓運動定律一基本要求1. 掌握牛頓定律及其應(yīng)用條件。2. 能

11、用微積分方法求解一維變力作用下的簡單的質(zhì)點動力學(xué)問題。3. 了解慣性力的概念和非慣性系中應(yīng)用牛頓定律的方法。二基本內(nèi)容1 牛頓運動三定律第一定律數(shù)學(xué)表達(dá)式 第二定律數(shù)學(xué)表達(dá)式 當(dāng)m為常量時,有 在直角坐標(biāo)系下,有 在自然坐標(biāo)系下,有 第三定律數(shù)學(xué)表達(dá)式 牛頓第一定律和第二定律只有在慣性系中成立.2 力學(xué)中常見力萬有引力: 為引力常量.重力: ; g=9.8m/s2為重力加速度.彈簧的彈性力: , k為勁度系數(shù),x為彈簧形變量.靜摩擦力: 為最大靜摩擦因數(shù).滑動摩擦力: 為滑動摩擦因數(shù).3. 應(yīng)用牛頓定律解題的一般步驟（1）選擇研究對象，進(jìn)行受力分析,畫受力圖；（2）考察運動情況，建立坐標(biāo)系，據(jù)

12、牛頓定律列方程；（3）正確求解，并對結(jié)果作必要的討論。 4.慣性力平動加速參考系中慣性力: 為非慣性系的加速度.勻速轉(zhuǎn)動參考系中慣性（離心）力: 非慣性系中牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達(dá)式: . 為研究對象在非慣性系中的加速度. 三 典型例題2-1. 質(zhì)量為的物體，在光滑水平面上，緊靠著一固定于該平面上的半徑為的圓環(huán)內(nèi)壁作圓周運動，如(圖2-1)所示，物體與環(huán)壁的摩擦因數(shù)為，已知物體的初速率為求在任一時刻物體的速率。oNfvGFn(圖2-2)r(圖2-1)解: 物體受力除豎直方向上重力和水平面的支持力外，在水平面內(nèi)還受到兩個力：環(huán)壁的支持力和環(huán)壁的摩擦力，如(圖2-2)所示. 選取自然坐標(biāo)系，列出物體運

13、動方程的分量式： （1） (2) （3）得: 分離變量再積分: 得:說明 物體是在變力作用下運動，需用積分方法計算。2-2 以初速度從地面豎直向上拋出一質(zhì)量為m的小球,小球除受重力外,還受一個大小為的黏滯阻力(為常數(shù),為小球運動的速度大小),當(dāng)小球回到地面時,它的速度大小為多少?解: 小球豎直向上拋出后,將受到向下的重力mg和向下的阻力作用.取地面為坐標(biāo)原點,豎直向上為y軸正方向,由牛頓第二定律有 變量替換,有 即 由題意,小球位于地面y=0時,速度大小為,設(shè)小球向上的最大高度為h,也就是當(dāng)y=h,v=0,積分上式,有 小球自地面可到達(dá)的最大高度為 (1)小球下落時,將受到向下的重力mg和向上

14、的阻力,根據(jù)牛頓第二定律,有 作變量替換后有 即 由題意,當(dāng)y=h時,;設(shè)小球回到地面時,它的速度大小為,即y=0,積分上式 得 (2)將(1)式代入(2)式,有 解此式可得小球回到地面時的速度大小為 m1gm2gm3gABT1T2T2m1m2m3 AB說明 這是一個變力牛頓定律應(yīng)用問題,應(yīng)用牛頓定律求解本題時,積分變量替換,即非常重要.積分變量替換后,分離變量,然后通過積分就可求解此題,這種方法在許多問題中都有應(yīng)用.黏滯阻力的方向始終與物體的運動方向相反,解此題時應(yīng)將小球的上拋運動和下落運動分開考慮.2-3 兩輕滑輪AB組成的滑輪組,掛三個重物,質(zhì)量分別為m1=200g, m2=100g,

15、m3=150g. (圖2-3)求:1.每個物體的加速度. 2.兩條繩子中的張力.解:解滑輪組的題設(shè)循環(huán)坐標(biāo)最簡單,即坐標(biāo)正方向沿著滑輪轉(zhuǎn)向(如圖2-3)以地面參照系列方程: m1: (1)m2: (2)m3: (3) (4)其中為相對滑輪B加速度大小.解出 m1的加速度為向上0.89m/s2;m2的加速度為=0.89m/s2,向上;m3的加速度為=2.65m/s2,向下.張力 m1gm2gm3gABT1T2T2解法二:以動滑輪B為參照系,m2m3分別受慣性力,方向與動滑輪B 加速度方向相反(如圖2-4),所立式子為: (圖2-4)解出結(jié)果與上面相同. 說明 牛頓第二定律只適用于慣性系,在非慣性

16、系中引入慣性力后形式上可用牛頓第二定律解題.四、 自我檢測題一 選擇題（每題4分,共20分）（單選）物1物21. 兩個質(zhì)量相等的物塊由一輕彈簧相連接,再用一細(xì)繩懸掛于天花板上, 處于靜止?fàn)顟B(tài), 如圖所示 ,將繩子剪斷的瞬間,物1和物2的加速度分別為(A) (B) (C) (D) 2. 如圖所示,兩物體的質(zhì)量分別為m1=2kg, m2=8kg,m1m2F水平力F=51N, 兩物之間及物體與地面之間的摩擦系數(shù)均為,當(dāng)兩物之間無相對滑動時,作用于m1物體上的摩擦力f1為 (g=10m/s2)(A) 0.2N. (B) 10N.(C) 50N. (D) 0 3.在升降機天花板上拴有輕繩,其下端系一重物

17、,當(dāng)升降機以加速度上升時,繩中的張力正好等于繩子所能承受的最大張力的一半,問升降機以多大加速度上升時, 繩子剛好被拉斷?(A) . (B) .(C) . (D) . 4. 質(zhì)量分別為mA和mB的兩滑塊A和B通過一輕彈簧水平連接后置于水平桌面上, 滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為,系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運動,如圖所示.如突然撤消拉力,則剛撤消后瞬間,兩者的加速度和分別為mAmBFx(A) ,. (B) ,.(C) ,. (D) ,. 5.輕繩的一端掛一物體,跨過另一端掛一載人的梯子而平衡,如圖,設(shè)滑輪質(zhì)量不計, 滑輪軸與軸承間摩擦不計,今欲使滑輪軸承對軸的壓力為零,則(A) 人相對梯子應(yīng)不動. (

18、B) 人相對梯子應(yīng)向下勻速運動.(C) 人相對梯子應(yīng)向上勻速運動. (D) 人相對梯子應(yīng)向下勻加速運動.(E) 人相對梯子應(yīng)向上勻加速運動. 二填空題(每題8分,共40分)mABR1.一質(zhì)量為1kg的物體,置于水平地面上,物體與地面之間的靜摩擦系數(shù),滑動摩擦系數(shù),現(xiàn)對物體施一水平拉力F=t+0.96(SI),則2s末物體的速度大小=_.2.半徑為R的1/4圓弧軌道固定于地面,質(zhì)量為m的物體從圓弧最高點A無初速度滑下,不計一切摩擦.那么物體在A點時(剛下滑)的切向加速度大小為_,在B點時的切向加速度大小為_,法向加速度大小為_.3.質(zhì)量為0.25kg的質(zhì)點,受力(SI)的作用,式中t為時間.t=

19、0時該質(zhì)點以的速度通過坐標(biāo)原點,則該質(zhì)點在任意時刻的位置矢量是_.4.一質(zhì)量為m的質(zhì)點,沿x正方向運動,通過x處時質(zhì)點的速度為,則此時作用于質(zhì)點上的力F=_,質(zhì)點從x0到x1所經(jīng)歷的時間=_.R05.質(zhì)量為m的小圓環(huán),套在位于豎直平面內(nèi)半徑為R的光滑大圓環(huán)上,如圖,若大圓環(huán)繞通過其中心的豎直軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動,而小圓環(huán)相對大圓環(huán)靜止.則大圓環(huán)作用于小圓環(huán)的力大小為N=_,小圓環(huán)相對靜止的位置角=_.三.計算題(共40分) ABxo1. AB兩重物用輕彈簧連接放在水平地面上,它們的質(zhì)量均為m,系統(tǒng)靜止時,A物位于靜坐標(biāo)系的o點,如圖示.現(xiàn)令A(yù)物上下振動而B物不動.A物的運動方程為求: (1) t

20、時刻地面所受豎直方向的壓力Nd=?畫受力圖.(2) 若m=10kg,當(dāng)?shù)孛嫠軌毫?16N時,A物的位置X=?(g=9.8ms-2)2. 質(zhì)量為m的子彈以速度v0水平射入沙土中,設(shè)子彈所受阻力與速度反向,大小與速度成正比,比例系數(shù)為K,忽略子彈的重力, 求:(1) 子彈以速度v0水平射入沙土中后,速度隨時間變化的函數(shù)式;(2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度.第3章 守恒定律一基本要求1. 掌握動量定理和動量守恒定律，并能分析、解決簡單的力學(xué)問題。2. 掌握功的概念，能計算直線運動情況下變力的功。理解保守力作功的特點及勢能的概念，會計算重力、彈性力和引力勢能。3. 掌握質(zhì)點的動能定理，能正確地用于質(zhì)

21、點平面運動的力學(xué)問題。4. 掌握運用守恒定律分析問題的思想和方法，能分析簡單系統(tǒng)在平面內(nèi)運動的力學(xué)問題。5. 理解質(zhì)心的概念和質(zhì)心運動定律。二基本內(nèi)容1. 機械能守恒(1) 功 直角坐標(biāo)系中 (2) 動能定理質(zhì)點 質(zhì)點系(3) 保守力、勢能保守力：作功只與始末位置有關(guān)，與經(jīng)歷的路徑無關(guān)的力.即:保守力沿閉合路徑一周作功為零. 勢能: 一維時 其中 為系統(tǒng)在點的勢能.重力勢能: 地面為勢能零點.彈簧的彈性勢能: 彈簧自然長度處為勢能零點.萬有引力勢能: m1與m2相距無限遠(yuǎn)處為勢能零點. 保守力功: (4) 質(zhì)點系功能原理，機械能守恒定律 其中為質(zhì)點系機械能.機械能守恒定律當(dāng)作用于質(zhì)點系的外力和

22、非保守內(nèi)力不作功時，即時，質(zhì)點系的總機械能是守恒的。 或一維勢能曲線: (1)力F指向勢能減少的方向,大小正比于曲線的斜率(2)物體只能在勢能低于總機械能的范圍內(nèi)運動. (3)勢能曲線極小值對應(yīng)于穩(wěn)定平衡點, 極大值對應(yīng)于不穩(wěn)定平衡點.2. 動量守恒(1) 動量定理 沖量: 質(zhì)點動量定理: 質(zhì)點系動量定理: (2) 動量守恒定律當(dāng)系統(tǒng)所受合外力為零時，即時，系統(tǒng)的總動量守恒. 即恒矢量(3)質(zhì)心、質(zhì)心運動定理質(zhì)心位置: 質(zhì)點系 連續(xù)體 質(zhì)心運動定理: 3. 角動量守恒(1)角動量: 質(zhì)點對某定點的角動量: 質(zhì)點系對某點的角動量: (2)力矩: 質(zhì)點受的對某定點的力矩: 質(zhì)點系受的對某定點的力矩

23、: (3) 角動量定理: 合外力矩的沖量矩等于角動量的增量. (4) 角動量守恒: 當(dāng)合外力矩為零時, 質(zhì)點系的角動量守恒.即若常矢量三 典型例題 守恒定律處理運動問題比牛頓定律更普遍, 更方便,可不管力的細(xì)節(jié)變化和運動軌跡無關(guān). 守恒定律解題必須注意適用條件,要做到明過程，選系統(tǒng)，審條件，用規(guī)律.守恒定律列式中所有的速度都對慣性系(地面)而言.3-1. 質(zhì)量為10Kg的物體在合力F作用下沿X軸運動，設(shè)t=0時物體位于原點,速度為零。試問物體(1)當(dāng)F34x (N)作用下運動了3m時的速度是多少？該力作功W多少？ (2) 將力改成F=3+4t (N)，并運行了3秒鐘，結(jié)果又如何？ 解: (1)

24、據(jù)題意合力F沿X軸方向,據(jù)功的定義式據(jù)動能定理 (2) 據(jù)動量定理 時dyh1h2y0(圖3-1)說明 當(dāng)F為t的函數(shù)時,要求功W注意變量替換.此題(2)中求一段時間內(nèi)的功,且已求得,則將換成.3-2. 一長方形地下蓄水池，面積為100m2，池水深1m，池中水面在地面下2m處，今需將池水全部抽到地面，抽水機應(yīng)作功多少？解: 這是計算直線運動情況下的變力作功以地面為原點，取圖示軸，水池中離地面為處,厚度為的這一層水，抽到地面上需作功：其中，式中為水的密度。抽完水需作功： 3-3. 勁度系數(shù)為的輕彈簧豎直固定在地面上，在彈簧上放一質(zhì)量為的平板，處于靜平衡狀態(tài)。如圖3-2所示，有一質(zhì)量也為的油泥從平

25、板上高處自由下落，與平板作完全非彈性碰撞，求碰撞后彈簧又被壓縮的最大距離為多少？解: 將整個過程分為三個過程討論.hmmx0mmx(圖3-2)油泥自由下落過程：油泥和地球組系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功機械能守恒.設(shè)下落到平板時油泥速率為，有 (1) 油泥與平板相碰撞過程：油泥和平板系統(tǒng)動量守恒，則有所以，油泥和平板相碰后共同具有速率(2)油泥和平板壓縮彈簧過程：油泥、平板、彈簧和地球系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機械能守恒，即若以彈簧自然長度處為彈性勢能零點，以平板與彈簧處于靜平衡位置為重力勢能零點，（如圖3-2所示）則有所以(3)式中為彈簧再次壓縮的最大距離，式中，將值，式（2）代入式（3）得說明 我們

26、將上述的解題過程可歸納為：“明過程，選系統(tǒng)，審條件，用規(guī)律”。3-4 質(zhì)量為的物體，放在質(zhì)量為、傾角為的三角形木塊頂端，任其自由下滑如圖3-3所示。已知三角形頂端離地面高，若不計一切摩擦，由靜止下滑到底端時，木塊的速度大小。解: 分析m1和m2的運動速度m1下滑過程中，m2相對地面的速度為沿水平向右，m1相對m2木塊的速度為，沿斜面方向，m1相對地面的速度為，方向如圖3-3所示。在m1下滑過程中，m1和m2組成的系統(tǒng)，在水平方向的合外力為零，則系統(tǒng)水平方向動量守恒.m1m2h(圖3-3)即 （1）同時，m1、m2和地球組成的系統(tǒng)，在m1下滑過程中，只有保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)機械能守恒. （2）由圖

27、知 （3） （4）將式（3）、式（4）代入式（1）和式（2），得 （5）以及 （6）將式（6）代入式（5）得說明 (1)在m1下滑過程中，m1和m2組成的系統(tǒng)，合外力不為零(兩物重力大于地面支持力)系統(tǒng)總動量不守恒.但在水平方向的合外力為零，則系統(tǒng)水平方向動量守恒.(2)物體速度必須相對同一慣性系(地面). (3)m1、m2和地球系統(tǒng)，在m1下滑過程中，m1和m2間的支持力和壓力(一對非保守內(nèi)力)均作功,但合功為零.故只有保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)機械能守恒. 0yy圖(3-4)3-5一鏈條總長,質(zhì)量m,放在桌面靠邊處,下垂一段長,鏈條桌面摩擦系數(shù),由靜止開始下滑.求: (1)鏈條離開桌邊過程中摩擦力

28、對鏈條做的功; (2)鏈條剛好全部離開桌邊的速度.解:設(shè)鏈條垂下y時,再下垂dy過程中:桌面摩擦力做的元功:則從下垂開始到全部離開,即(2)解法一 牛頓定律求解取整條鏈條為研究對象,當(dāng)鏈條垂下y時,沿鏈條方向, 鏈條受重力,摩擦力.據(jù)牛頓定律有 即 變量替換得 當(dāng)時鏈條速度,當(dāng)時鏈條速度即為所求,積分上式有 得 解法二 據(jù)動能定理求解:設(shè)鏈條垂下y時,再下垂dy過程中: 重力做元功: 據(jù)動能定理得 說明 這是一個變力作功問題.注意正確求出變力的功.第(2)問可用動能定理求解,同時,也可直接用牛頓定律求解,但當(dāng)問題涉及到隨位置變化的功時,用動能定理解方便. 3-6 從地面上以一定角度發(fā)射地球衛(wèi)星

29、,發(fā)射速度應(yīng)為多大才能使衛(wèi)星在距地心半徑為的圓軌道上運轉(zhuǎn)?解: 衛(wèi)星在地面上時(初狀態(tài))的機械能為 衛(wèi)星到半徑為的圓軌道上(末狀態(tài))時的機械能為 在圓軌道上運動時,有 即 據(jù)機械能守恒可得 解得 當(dāng)時,即為第二宇宙速度.3-7 在光滑水平桌面上,放一質(zhì)量m的滑塊,滑塊與輕彈簧相連,彈簧的另一端固定于o點,倔強系數(shù)為k,原長.今用力猛擊滑塊,使之獲得水平初速度,當(dāng)滑塊運動到B點時,彈簧長為.求:滑塊在B點的速度大小和與彈簧軸線間的夾角 OmA900B光滑水平桌面圖(3-5)解: m和彈簧組成系統(tǒng)只有彈性內(nèi)力作功,機械能守恒.即: 解得在B點速率又系統(tǒng)運動過程受0點的拉力(為外力)它對0點的力矩恒

30、為零, 角動量守恒,有: 說明 滑塊在末狀態(tài)時,速度與彈簧不垂直,注意正確寫出末狀態(tài)的角動量大小.四、 自我檢測題一 選擇題（每題3分,共30分）（單選）ABC質(zhì)量為m的質(zhì)點,以不變速率沿圖中正三角形ABC的水平光滑軌道運動.質(zhì)點越過A角時,軌道作用于質(zhì)點的沖量的大小為1.(A) . (B) .(C) . (D) . 2.對功的概念有以下幾種說法: (1)保守力作正功時,系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢能增加. (2)質(zhì)點運動經(jīng)一閉合路徑,保守力對質(zhì)點作功為零. (3)作用力和反作用力大小相等方向相反,所以兩者所作功的代數(shù)和必為零.在上述說法中:(A) (1) (2)是正確的. (B) (2) (3)是正確的.

31、(C) 只有(2)是正確的. (D) 只有(3)是正確的. 3.人造地球衛(wèi)星,繞地球作橢圓軌道運動, 地球在橢圓的一個焦點上,則衛(wèi)星的 (A)動量不守恒, 動能守恒. (B)動量守恒, 動能不守恒.(C)對地球的角動量守恒, 動能不守恒. (D)對地球的角動量不守恒, 動能守恒. 4.一物在水平面內(nèi)沿X軸作勻速直線運動,其動能為Ek,受阻力Fx=-KX2(K為正常數(shù))作用后又前進(jìn)了X距離而靜止,則X=(A) (Ek/K)1/2. (B) (Ek/K)1/3.(C) (2Ek/K)1/3. (C) (3Ek/K)1/3. 5.質(zhì)量為m的質(zhì)點外力作用下,其運動方程為式中AB都是正的常數(shù).則力在t1

32、=0到這段時間內(nèi)所作的功為(A) . (B) (C) (D) 6.一特殊的彈簧,彈性力,k為倔強系數(shù),x為形變量.現(xiàn)將彈簧水平放置于光滑的水平面上, 一端固定, 一端與質(zhì)量為m的滑塊相連而處于自然狀態(tài).今沿彈簧長度方向給滑塊一個沖量,使其獲得一速度,壓縮彈簧,則彈簧被壓縮的最大長度為(A). (B) .(C) . (D) . 7.AB兩木塊質(zhì)量分別為mA和mB,且mB=2mA,兩者用一輕彈簧連接后靜止于光滑水平桌面上,如圖所示.若用外力將兩木塊壓近使彈簧被壓縮,然后將外力撤去,則此后兩木塊運動動能之比EkA/EkB為mAmB(A) . (B) 2(C). (D) . 8.一個質(zhì)點同時在幾個力作

33、用下的位移為(SI)其中一個力為恒力(SI),則此力在該位移過程中所作的功為(A) -66J. (B) 66J.(C) -130J (D)130J yxABo9.如圖所示,一質(zhì)點在幾個力的作用下,沿半徑為R的圓周運動,其中一個力為,式中F0為正常量,當(dāng)質(zhì)點從A點沿逆時針方向走過3/4圓周到達(dá)B點時, 所作的功為W=R(A) -F0R. (B) F0R (C) -F0R (D) F0R2 /2 (E) -F0R2 /2 10.質(zhì)量為m=0.5kg的質(zhì)點,在XOY坐標(biāo)平面內(nèi)運動,其運動方程為,從t=2s到t=4s這段時間內(nèi),外力對質(zhì)點作的功為(A) 1.5J. (B) 3J. (C) 4.5J.

34、(D) -1.5J. 二填空題(每題6分,共36分)1.質(zhì)量為m的物體,最初靜止在A處,在合外力(k為正常數(shù))作用下沿x軸運動.當(dāng)它從A處運動到A/4處的過程中力F作功為_.在A/4處質(zhì)點的速率v=_.2.一物體質(zhì)量為10kg,受到方向不變的力F=30+40t作用,在開始的2s內(nèi),此力沖量的大小等于_;若物體初速度大小為10m/s,方向與力 的方向相同,則在2s末物體速度的大小等于_.ACBR03.一個力F作用在質(zhì)量為1.0kg的質(zhì)點上,使之沿X軸運動.已知在此力的作用下質(zhì)點的運動方程為X=3t-4t2+t3(SI).在0到4s的時間間隔內(nèi),(1) 力F的沖量大小I=_.(2) 力F對質(zhì)點所作

35、的功W=_.4.一彈簧原長,倔強系數(shù)k=50N/m,其一端固定在半徑為R=0.1m的半圓環(huán)的端點A,另一端與一套在半圓環(huán)上的小環(huán)相連.在把小環(huán)由半圓環(huán)中點B移到另一端C的過程中,彈簧的拉力對小環(huán)所作的功為_J.5.質(zhì)量為m的物體,初速為零,從原點起沿X軸正向運動.所受外力方向沿X軸正向,大小為F=kx. 物體從原點運動到坐標(biāo)x0的點的過程中所受外力沖量的大小為_.0abyx6.如圖所示,X軸沿水平方向,Y軸豎直向下,在t=0時刻將質(zhì)量為m的質(zhì)點由a處靜止釋放,讓它自由下落,則任意時刻t,質(zhì)點所受的對原點O的力矩=_;在任意時刻t, 質(zhì)點對原點O的角動量=_.三. 計算題 (12+8+14=34

36、分)1.某衛(wèi)星碎片質(zhì)量m,從距地面為h處靜止開始下落,忽略空氣阻力(設(shè)地球半徑R,地面重力加速度g).求:(1)碎片下落到地面過程中萬有引力的功W. (2)碎片落地速度v.yxABF2.一人從10m深的井中提水.起始時桶中裝有10kg的水, 桶的質(zhì)量為1kg,由于漏水,每升高1m,要漏去0.2kg的水.求水桶勻速地從井中提到井口,人所作的功.(g=9.8ms-2)3.半徑為R的光滑圓環(huán)固定于豎直平面內(nèi),如圖所示.質(zhì)量為m的小圓環(huán)套在大圓環(huán)上,作用于小環(huán)的力(F0為正常數(shù)),方向始終沿大環(huán)的切線方向(如圖示). 小環(huán)自A點從靜止開始運動,當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點B時,求大環(huán)對小環(huán)的作用力N=?并確定它的方向

37、.第4章 剛體力學(xué)一基本要求1. 了解力矩和轉(zhuǎn)動慣量的概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律。2. 理解角動量原理和角動量守恒定律，并用它們分析解決簡單的力學(xué)問題。3. 掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理和機械能守恒定律。二基本內(nèi)容本章重點是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動情況下的轉(zhuǎn)動定律功能原理和角動量守恒定律。1. 描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的角位置，角位移、角速度和角加速度等物理量. 勻加速轉(zhuǎn)動: 角量與線量的關(guān)系: 2. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 力矩 ，力對軸的力矩大小 轉(zhuǎn)動慣量 平行軸定理: 3. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 力矩的功 轉(zhuǎn)動動能 對于質(zhì)點、剛體組成的系統(tǒng)，動能定理仍然適用，系統(tǒng)的動能包括系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點的平動

38、動能和剛體的轉(zhuǎn)動動能。當(dāng)其外力和非保守內(nèi)力作的總功為零，系統(tǒng)只有保守內(nèi)力作功，則整個系統(tǒng)機械能守恒。其中剛體重力勢能 4. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量 角動量定理 角動量守恒 M=0 常量三 典型例題解剛體力學(xué)的題和質(zhì)點力學(xué)基本相同,注意點是:一分析力要找出力的作用點求出力矩;二在定軸轉(zhuǎn)動下,力矩角加速度角速度等只有兩個方向,所以都用代數(shù)量處理;三要學(xué)會綜合運用質(zhì)點力學(xué)剛體力學(xué)的規(guī)律來解題.4-1. 大圓盤半徑為R,面密度為,離中心O為d處,對稱挖半徑為r的四個圓孔,求此剛體對過O垂直盤面的軸的轉(zhuǎn)動慣量.0d解: 轉(zhuǎn)動慣量有可加性.此題挖孔后圓盤的轉(zhuǎn)動慣量等于未挖孔圓盤的轉(zhuǎn)動慣量減去四個圓孔的轉(zhuǎn)動

39、慣量.未挖孔圓盤的轉(zhuǎn)動慣量: 圖(4-1)每個圓孔本身的轉(zhuǎn)動慣量:,對O軸的轉(zhuǎn)動慣量:挖孔后圓盤的轉(zhuǎn)動慣量:4-2. 圖(4-2)系統(tǒng)，彈簧勁度系數(shù)，質(zhì)量m1的物體置于光滑水平面上，定滑輪半徑為，轉(zhuǎn)動慣量為，開始時系統(tǒng)靜止，彈簧無伸長，求物體m2由靜止下降距離h時的速度大小。解: 方法一 用牛頓定律和剛體轉(zhuǎn)動定律求解m1m2圖(4-2)畫出三個物體受力圖，如圖(4-3)由牛頓定律得m1和m2的運動方程（1）（2）圖(4-3)T2m2m2gT1T2m1T1m1gNff由剛體轉(zhuǎn)動定律得 (3)及 (4) (5)聯(lián)立以上各式求得加速度 又因為 所以 積分得 方法二 用機械能守恒定律求解 取m1、m2

40、、彈簧、滑輪、繩子和地球為系統(tǒng)，對于這一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力（重力、彈簧力）作功，其它外力不作功，非保守內(nèi)力作功之和為零，因此系統(tǒng)的機械能守恒。取彈簧原長處為彈性勢能的零點，m2下降h時，物體m1、m2的速度為，滑輪的轉(zhuǎn)動角速度為，則 解得 4-3. 如圖4-4.細(xì)棒長、質(zhì)量m, O為垂直棒的水平軸, 棒水平時由靜止釋放.omgCm,圖(4-4) 求:(1)棒在水平位置釋放時的角加速度;(2)棒轉(zhuǎn)到豎直位置時的角速度;(3)棒轉(zhuǎn)到豎直位置時軸對棒的力.解: (1) 據(jù)平行軸定理,對O軸的轉(zhuǎn)動慣量: NmgCo圖(4-5) 棒在水平位置據(jù)轉(zhuǎn)動定律: (2) 棒轉(zhuǎn)到豎直位置過程,機械能守恒 (3)棒

41、轉(zhuǎn)到豎直位置質(zhì)心受向心力 此位置 切向力 軸對棒的力即4-4. 唱機的轉(zhuǎn)盤繞通過圓盤中心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動，唱片放上后，將受到轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用而隨著轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動。設(shè)唱片可以視為質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤，唱片與轉(zhuǎn)盤之間的摩擦因數(shù)為，如圖(4-6)所示,求:(1)唱片剛放上去時受到的摩擦力矩;(2)唱片從剛放上去到具有角速度時所需的時間.0rdr圖(4-6)解:(1) 唱片之所以轉(zhuǎn)動是因為受到轉(zhuǎn)盤施加的摩擦力矩的作用，它是唱片轉(zhuǎn)動的動力矩。在唱片上選取一半徑為，寬度為的圓環(huán)，其質(zhì)量為則圓環(huán)所受到的摩擦力矩為 整個唱片所受到的摩擦力矩為 (2) 由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 所以 4-5. 一質(zhì)量為M，長為的均勻細(xì)

42、棒，可以在水平面內(nèi)繞通過其中心的豎直軸O轉(zhuǎn)動，開始時棒靜止，今有一質(zhì)量為m的小球，以水平速度與棒的一端垂直相碰，設(shè)碰撞是完全彈性碰撞。求碰撞后小球彈回的速率和棒的角速度。解: 設(shè)碰撞后小球以速率彈回，棒以角速度轉(zhuǎn)動，由球和棒所組成的系統(tǒng)，外力對轉(zhuǎn)軸O的力矩為零, 系統(tǒng)角動量守恒。o圖(4-7)由于是完全彈性碰撞動能守恒,即 解以上二式可得 說明 小球與棒碰撞過程,合外力矩為零,但合外力不為零,因為碰撞時軸對棒有作用力, 小球與棒系統(tǒng)對O角動量守恒, 動量并不守恒.四 自我檢測題一 選擇題（每題3分,共30分）（單選）oA1. 均勻細(xì)棒OA可繞通過其一端O而與棒的垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動,如圖所

43、示.今使棒從水平位置由靜止開始自由下擺,在棒擺動到豎直位置的過程中,下述說法哪一種是正確的?(A) 角速度從小到大, 角加速度從大到小.(B) 角速度從小到大, 角加速度從小到大.(C) 角速度從大到小, 角加速度從大到小.(D) 角速度從大到小, 角加速度從小到大. 2. 半徑為R的兩勻質(zhì)圓環(huán)AB,質(zhì)量分別為mA和mB,且mA>mB,比較它們的轉(zhuǎn)動慣量IA和IB的大小,有(A) IA>IB. (B) IA<IB.(C) IA=IB. (D) 條件不足,無法比較. 3. 一圓盤正繞垂直于盤面的水平光滑固定軸Omm.oM轉(zhuǎn)動,如圖所示,有兩個質(zhì)量相同,速度大小相同,方向相反并在

44、一條直線上的子彈, 兩子彈同時射入圓盤并且留在盤內(nèi),則子彈射入后的瞬間,圓盤的角速度(A) 增大. (B) 不變. (C) 減小. (D) 不能確定. 4. 兩根等長的勻質(zhì)細(xì)桿,都可繞一端的水.om1.om2平o軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,它們的質(zhì)量分別為m1和m2,且m1=2m2,現(xiàn)使它們同時從水平位置無初速擺下.在任意時刻,它們的角加速度之比(A) 1/1. (B) 1/2. (C).2/1 (D).1/4. 5. 一勻質(zhì)圓環(huán)和一勻質(zhì)圓盤,它們的半徑相同,質(zhì)量相同,都繞通過各自的圓心垂直圓平面的固定軸勻速轉(zhuǎn)動,角速度為.若某時刻起它們同時受到相同的阻力矩作用,則: (A) 圓環(huán)先靜止. (B) 圓盤先靜止. (C) 同時靜止. (D)無法確定. 6. 花樣滑冰運動員繞自身的豎直軸轉(zhuǎn)動,開始時兩臂伸開,轉(zhuǎn)動慣量為I0,角速度.然后她將兩臂收回,使轉(zhuǎn)動慣量減少為I0/3.這時她轉(zhuǎn)動的角速度變?yōu)?