1、第一次數(shù)學危機起源畢達哥拉斯的數(shù)是指， 他們在數(shù)學上的一項重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理。 他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式， 但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來表達， 也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。 這樣一來， 就否定了畢達哥拉斯學派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結為整數(shù)或整數(shù)之比。不可通約性的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學危機。 有人說，這種性質是希帕索斯約在公元前 400 年發(fā)現(xiàn)的， 為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已經知道這種事實， 而希帕索斯因泄密而被處死。 不管怎樣， 這個發(fā)現(xiàn)對古希臘的數(shù)學觀點有極大的沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能

2、完全由整數(shù)及其比來表示，反之數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)， 于是幾何學開始在希臘數(shù)學中占有特殊地位。同時這也反映出， 直覺和經驗不一定靠得住， 而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的”公理出發(fā)，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系， 這不能不說是數(shù)學思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學危機的自然產物。解決無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學危機。首先，對于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學，這是一次致命的打擊。其次，無理數(shù)看來與常識似乎相矛盾。 在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的， 因為與直觀相反，存在不可通約的線段， 即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學派關于比例定義假定了任何兩

3、個同類量是可通約的，所以畢氏學派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上， 這樣，他們的關于相似形的一般理論也失效了?！斑壿嬌系拿堋笔侨绱酥?，以致于有一段時間，他們費了很大的精力將此事保密， 不準外傳。 但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見的現(xiàn)象。 泰奧多勒斯指出， 面積等于 3、5、6、17 的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，并對每一種情況都單獨予以了證明。 隨著時間的推移， 無理數(shù)的存在逐漸成為人所共知的事實。誘發(fā)第一次數(shù)學危機的一個間接因素是之后 “芝諾悖論” 的出現(xiàn)，它更增加了數(shù)學家們的擔憂： 數(shù)學作為一門精確的科學是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？在大約公元前370 年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。 他的處理不可通約量的方法， 出現(xiàn)在歐幾里得原本第 5 卷中，并且和狄德金于 1872 年繪出的無理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致。 今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。意義第一次數(shù)學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學開始在希臘數(shù)學中占有特殊地位。同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希