1、1.1.3 四種命題的相互關系 、互否命題：互否命題：如果第一個命題的條件和結論如果第一個命題的條件和結論 是第二個命題的條件和結論的否定，那么這兩個命是第二個命題的條件和結論的否定，那么這兩個命 題叫做題叫做互否命題互否命題。如果把其中一個命題叫做。如果把其中一個命題叫做原命題原命題， 那么另一個叫做那么另一個叫做原命題的否命題原命題的否命題。 、互為逆否命題：互為逆否命題：如果第一個命題的條件和如果第一個命題的條件和 結論分別是第二個命題的結論的否定和條件的否定，結論分別是第二個命題的結論的否定和條件的否定， 那么這兩個命題叫做那么這兩個命題叫做互為逆否命題互為逆否命題。 、互逆命題：互逆

2、命題：如果第一個命題的條件（或題如果第一個命題的條件（或題 設）是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是設）是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是 第二個命題的條件，那么這兩個命題叫第二個命題的條件，那么這兩個命題叫互逆命題互逆命題。 如果把其中一個命題叫做如果把其中一個命題叫做原命題原命題，那么另一個叫做，那么另一個叫做 原命題的原命題的逆命題逆命題。 三個概念三個概念 若若p 則則q 逆否命題：逆否命題： 原命題：原命題： 逆命題：逆命題： 否命題：否命題： 若若q 則則p 若若 p 則則 q 若若 q 則則 p 觀察與思考觀察與思考 ？ ( )( )f xf x1）若是正弦函數(shù)，則是周

3、期函數(shù)。1）若是正弦函數(shù)，則是周期函數(shù)。 ( )( )f xf x2）若是周期函數(shù)，則是正弦函數(shù)。2）若是周期函數(shù)，則是正弦函數(shù)。 ( )( )f xf x3）若不是正弦函數(shù)，則不是周期函數(shù)。3）若不是正弦函數(shù)，則不是周期函數(shù)。 ( )( )f xf x4）若不是周期函數(shù)，則不是正弦函數(shù)。4）若不是周期函數(shù)，則不是正弦函數(shù)。 你能說出其中任意你能說出其中任意 兩個命題之間的關兩個命題之間的關 系嗎系嗎? 1、四種命題之間的、四種命題之間的 關系關系 原命題原命題 若若p則則q 逆命題逆命題 若若q則則p 否命題否命題 若若 p則 則 q 逆否命題逆否命題 若若 q則 則 p 互逆互逆 互互 否

4、否 互互 否否 互逆互逆 2）原命題：若）原命題：若a=0, 則則ab=0。 逆命題：若逆命題：若ab=0, 則則a=0。 否命題：若否命題：若a 0, 則則ab0。 逆否命題：若逆否命題：若ab0,則則a0。 (真真) (假假) (假假) (真真) (真真) 2.四種命題的真假四種命題的真假 看下面的例子：看下面的例子： 1）原命題：若）原命題：若x=2或或x=3, 則則x2-5x+6=0。 逆命題：若逆命題：若x2-5x+6=0, 則則x=2或或x=3。 否命題：若否命題：若x2且且x3, 則則x2-5x+60 。 逆否命題：若逆否命題：若x2-5x+60，則，則x2且且x3。 (真真)

5、(真真) (真真) 3) 原命題：若原命題：若a b, 則則 ac2bc2。 逆命題：若逆命題：若ac2bc2,則則ab。 否命題：若否命題：若ab,則則ac2bc2。 逆否命題：若逆否命題：若ac2bc2,則則ab。 （假）（假） （真）（真） （真）（真） （假）（假） 原命題原命題逆命題逆命題否命題否命題逆否命逆否命 題題 真真真真真真真真 真真假假假假真真 假假真真真真假假 假假假假假假假假 一般地一般地, ,四種命題的真假性四種命題的真假性, ,有而有而 且僅有下面四種情況且僅有下面四種情況: : 想一想？想一想？ （2） 若其逆命題為真，則其否命題一定為真。但若其逆命題為真，則其否

6、命題一定為真。但 其原命題、逆否命題不一定為真。其原命題、逆否命題不一定為真。 由以上三例及總結我們能發(fā)現(xiàn)什么？由以上三例及總結我們能發(fā)現(xiàn)什么？ 即即(1)原命題與逆否命題同真假。原命題與逆否命題同真假。 原命題的逆命題與否命題同真假。原命題的逆命題與否命題同真假。 （1） 原命題為真，則其逆否命題一定為真。但原命題為真，則其逆否命題一定為真。但 其逆命題、否其逆命題、否命題不一定為真。命題不一定為真。 總結：總結： (兩個命題為互逆命題或互否命題兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性它們的真假性 沒有關系沒有關系). 練一練練一練 1.判斷下列說法是否正確。判斷下列說法是否正確。 1）一

7、個命題的逆命題為真，它的逆否命題不一定為真；）一個命題的逆命題為真，它的逆否命題不一定為真； （對）（對） 2）一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真。）一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真。（對）（對） 2.四種命題真假的個數(shù)可能為（四種命題真假的個數(shù)可能為（ ）個。）個。 答：答：0個、個、2個、個、4個。個。 如：原命題：若如：原命題：若AB=A, 則則AB=。 逆命題：若逆命題：若AB=，則，則AB=A。 否命題：若否命題：若ABA，則，則AB。 逆否命題：若逆否命題：若AB，則，則ABA。 （假）（假） （假）（假） （假）（假） （假）（假） 3）一個命題的原命題為假，它的逆

8、命題一定為假。）一個命題的原命題為假，它的逆命題一定為假。（錯）（錯） 4）一個命題的逆否命題為假，它的否命題為假。）一個命題的逆否命題為假，它的否命題為假。（錯）（錯） 例題講解例題講解 例例1：設原命題是：當：設原命題是：當c0時，若時，若ab, 則則acbc. 寫出它的逆命題、否命題、逆否命題。寫出它的逆命題、否命題、逆否命題。 并分別判斷它們的真假。并分別判斷它們的真假。 解：逆命題：當解：逆命題：當c0時，若時，若acbc, 則則ab. 否命題：當否命題：當c0時，若時，若ab, 則則acbc. 逆否命題：當逆否命題：當c0時，若時，若acbc, 則則ab. （真）（真） （真）（真

9、） （真）（真） 分析：分析：“當當c0時時”是大前提，寫其它命題時應該保留。是大前提，寫其它命題時應該保留。 原命題的條件是原命題的條件是“ab”， 結論是結論是“acbc”。 例例2 若若m0或或n0，則，則m+n0。寫出其逆命題、。寫出其逆命題、 否命題、逆否命題，并分別指出其假。否命題、逆否命題，并分別指出其假。 分析：搞清四種命題的定義及其關系，注意分析：搞清四種命題的定義及其關系，注意“且且” “或或”的的 否定為否定為“或或” “且且”。 解：逆命題：若解：逆命題：若m+n0，則，則m0或或n0。 否命題：若否命題：若m0且且n0, 則則m+n0. 逆否命題：若逆否命題：若m+n

10、0, 則則m0且且n0. （真）（真） （真）（真） （假）（假） 小結：在判斷四種命題的真假時，只需判斷兩種命題的小結：在判斷四種命題的真假時，只需判斷兩種命題的 真假。因為逆命題與否命題真假等價，逆否命題與原命真假。因為逆命題與否命題真假等價，逆否命題與原命 題真假等價。題真假等價。 反證法反證法 證明：一個三角形中不能有證明：一個三角形中不能有 兩個角是直角兩個角是直角 已知：已知：ABC 引例引例 求證：求證：A、B、C中不能中不能 有兩個角是直角有兩個角是直角 反證法的一般步驟：反證法的一般步驟： (1)假設命題的結論不成立假設命題的結論不成立,即假即假 設結論的反面成立；設結論的反

11、面成立； (2)從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理 論證，得出矛盾；論證，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假設不正確，由矛盾判定假設不正確， 從而肯定命題的結論正確。從而肯定命題的結論正確。 反設反設 歸謬歸謬 結論結論 反饋練習反饋練習 證明證明 假設假設_或或_, 由于由于_時時,_, 與與 (x-a)(x-b)0矛盾矛盾, 又又_時時,_, 與與(x-a)(x-b)0矛盾矛盾, 所以假設不成立所以假設不成立, 從而從而_. x=a x=b x=a (x-a)(x-b)=0 x=b(x-a)(x-b)=0 x a且且x b 用反證法證明用反證法證明,若若(x-a)(x-b)0,

12、則則x a且且x b. 用反證法證明：圓的兩條不是直徑用反證法證明：圓的兩條不是直徑 的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。 已知已知：如圖，在：如圖，在 O中，弦中，弦AB、 CD交于點交于點P，且，且AB、CD不是直徑不是直徑. 求證：求證：弦弦AB、CD不被不被P平分平分. P O B A D C 例例 1 1 由于由于P點一定不是圓心點一定不是圓心O，連結，連結OP， 根據(jù)垂徑定理的推論，有根據(jù)垂徑定理的推論，有 OPAB，OPCD， 所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。 證明：證明：假設弦假設弦AB、CD被被P平分，平分， 即過點即過點P有兩條直線與有兩條直線與OP

13、都垂直，這與垂都垂直，這與垂 線性質(zhì)矛盾。線性質(zhì)矛盾。 D P O B A C 假設弦假設弦AB、CD被被P點平分點平分, , 證明證明: : 連結連結 AD、BD、BC、AC, 因為弦因為弦AB、CD被被P點平分，所以四邊形點平分，所以四邊形 ABCD是平行四邊形，而圓內(nèi)接平行四邊是平行四邊形，而圓內(nèi)接平行四邊 形必是矩形，則其對角線形必是矩形，則其對角線AB、CD必是必是 O的直徑，這與已知條件矛盾。的直徑，這與已知條件矛盾。 證法二證法二 所以結論所以結論“弦弦AB、CD不被不被P點平分點平分”成立。成立。 . , 0: ba ba 那那么么 如如果果用用反反證證法法證證明明 例例 2

14、2 ba baba 或或者者 則則或或者者不不大大于于假假設設, baba babbbaabaaba ba 與與 所所以以因因為為, 0, 0 baba 所所以以矛矛盾盾這這些些都都同同已已知知條條件件,0 證明證明: 1. 用反證法證明用反證法證明: 若方程若方程ax2+bx+c=0 (a 0)有兩個不相等的實數(shù)根有兩個不相等的實數(shù)根, 則則 b2-4ac0. 2. 用反證法證明用反證法證明:在在ABC中中,若若C是是 直角直角,則則B一定是銳角一定是銳角. 演練反饋演練反饋 總結提煉總結提煉 1 1.用反證法證明命題的一般步驟是什么用反證法證明命題的一般步驟是什么? 用反證法在歸謬中所導出的矛盾可以用反證法在歸謬中所導出的矛盾可以 是與題設矛盾是與題設矛盾,與假設矛盾與假設矛盾,與已知定義、與已知定義、 公理、定理矛盾，自相矛盾等公理、定理矛盾，自相矛盾等 反設反設 歸謬歸謬 結論結論 2.用反證法證題用反證法證題,矛盾的主要類型有哪些矛盾的主要類型有