1 引言在機械系統(tǒng)中，單擺運動是一種典型而具有代表性的運動之一，長期以來人們對單擺運動的運動方程以及周期公式都進(jìn)行了大量的研究，對于有阻力的單擺運動的認(rèn)識也一步步加深然而，對于單擺運動的跟蹤與控制，往往接觸的很少為了使兩個不同系統(tǒng)的單擺實現(xiàn)同步跟蹤，尋求控制力的控制規(guī)律以及最優(yōu)解，本文在合理的假設(shè)下，針對該問題，建立了單擺追蹤的模型并利用線性系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性原理及狀態(tài)反饋控制對模型進(jìn)行了求解，得出單擺控制力的最優(yōu)解力，然后利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行了單擺運動的仿真模擬2 預(yù)備知識線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性21 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間的基本概念1)狀態(tài):表征系統(tǒng)運動的信息和行為2)狀態(tài)變量：完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小一組變量3)狀態(tài)向量: 設(shè)系統(tǒng)有個狀態(tài)變量，用表示，而且把這些狀態(tài)變量看做向量的分量，則向量稱為狀態(tài)向量，記為4)狀態(tài)空間：以個狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸所組成的n維空間5)狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組（連續(xù)時間系統(tǒng)）或一階差分方程組（離散時間系統(tǒng)）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它表征了輸入對內(nèi)部狀態(tài)的變換過程，其一般形式為：,其中，是時間變量，是輸入變量6）輸出方程：描述系統(tǒng)輸出量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程，它表征了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化和輸入所引起的系統(tǒng)輸出變換，是一個變化過程輸出方程的一般形式為：7）狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，也稱動態(tài)方程，它表征一個系統(tǒng)完整的動態(tài)過程，其一般形式為：通常，對于線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)方程為,其中，表示維狀態(tài)向量，表示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的系數(shù)矩陣，稱為系統(tǒng)矩陣，表示輸入對狀態(tài)作用的矩陣，稱為輸入（或控制）矩陣，表示輸出對狀態(tài)關(guān)系的矩陣，稱為輸出矩陣， 表示輸入直接對輸出作用的矩陣，稱為直接轉(zhuǎn)移矩陣，也稱前饋系數(shù)矩陣 由系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其參數(shù)決定，體現(xiàn)了系統(tǒng)內(nèi)部的特性，而則主要體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入的施加情況，通常情況下 22線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性定義21 設(shè)，若存在一分段連續(xù)控制向量，能在內(nèi)，將系統(tǒng)從任意的初態(tài)轉(zhuǎn)移至任意終態(tài)，則系統(tǒng)完全能控定理21 系統(tǒng)完全能控的充要條件：,其中，稱為能控矩陣23線性狀態(tài)反饋控制律線性狀態(tài)反饋控制律為式中，是參考輸入，稱為狀態(tài)反饋增益矩陣系統(tǒng)動態(tài)方程變?yōu)椋?當(dāng)時 ,式中，為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程為24 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性以及漸進(jìn)穩(wěn)定性理論1）穩(wěn)定性基本概念-平衡狀態(tài) 自治系統(tǒng)：輸入為的系統(tǒng) 初態(tài) 的解為 平衡狀態(tài)：2）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定及漸進(jìn)穩(wěn)定 穩(wěn)定：如果對每個實數(shù)都對應(yīng)存在另一個實數(shù)滿足 其中有：， 且則稱 是李氏意義下的穩(wěn)定漸近穩(wěn)定：(1) 是李氏意義下的穩(wěn)定；(2) ； (3) 大范圍內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定性：對 都有 定理221：對 維連續(xù)線性系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定即漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件為系統(tǒng)矩陣所有特征值均有負(fù)實部即成立3 單擺運動問題的提出對于單擺系統(tǒng)，擺球的初始狀態(tài)、質(zhì)量、擺長都影響著單擺的周期，對兩個受空氣阻力的單擺系統(tǒng)中的一個加以控制，使兩個單擺系統(tǒng)的擺角漸近相等此問題的關(guān)鍵在于使兩個系統(tǒng)的擺角之間的誤差趨向于零，運用線性系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定原理，建立模型，并利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行了單擺運動的仿真模擬研究此問題的具體要求：1） 兩個單擺系統(tǒng)的擺球的初始狀態(tài)、質(zhì)量、擺長各不相同；2） 對其中一個加以控制力；3） 利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB對得到的控制律進(jìn)行仿真，得出其圖像4 問題分析與模型建立 41單擺跟蹤問題分析現(xiàn)有兩個單擺系統(tǒng)，如圖4-1所示，擺球質(zhì)量分別為、，擺長分別為、，擺球的初始狀態(tài)與豎直方向的夾角為、，根據(jù)單擺的性質(zhì)可知，兩個單擺系統(tǒng)的擺角不相等，在單擺4-1中施加一個控制力，使兩個單擺達(dá)到漸進(jìn)跟蹤,即與之差趨向于0對單擺系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，可知對于擺球有運動方程 （1）又有 可知 整理可知 （2） 圖4-1 單擺跟蹤系統(tǒng) 對于擺球，有運動方程 ， （3）同樣也有 ，可知 ，整理推得 （4）42 單擺跟蹤問題模型的建立令， ，再代入（2）式得狀態(tài)方程 ， （5）令， 再代入（4）式得狀態(tài)方程 ， （6）再令， ， （7）設(shè) ，則可知， （8）令 ， 并代入（7）（8）式整理得 （9）狀態(tài)方程如下， （10）若使得當(dāng)時間時，即兩個單擺系統(tǒng)的擺角差逐漸趨向于0，則達(dá)到了不同單擺系統(tǒng)的漸進(jìn)跟蹤5 單擺跟蹤問題控制器設(shè)計51 單擺跟蹤問題能控性的檢測 方程（10）可以轉(zhuǎn)化為 （11）其中，則能控矩陣，由定理1可知該系統(tǒng)完全能控52 單擺跟蹤問題控制器的設(shè)計針對單擺跟蹤系統(tǒng)，不涉及最優(yōu)解，則控制器的設(shè)計實質(zhì)上就是該系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析現(xiàn)令，代入（11）式整理可得 ， （12）其中，對微分方程（12）求解，有 （13）現(xiàn)驗證通過調(diào)節(jié)的取值，可使有具有負(fù)實部的特征值 因為 所以有 ，利用求根公式求得 （15）不妨設(shè)，代入（15）可以求的，即當(dāng)時，有具有負(fù)實部的特征值根據(jù)定理2可知，此系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定6 單擺跟蹤問題的仿真與動態(tài)模擬圖61 單擺跟蹤系統(tǒng)仿真結(jié)果圖基于系統(tǒng)（5）和（6），假設(shè)狀態(tài)反饋控制律初值，參數(shù)，上圖說明跟蹤誤差可漸進(jìn)調(diào)節(jié)到0237 結(jié)束語單擺跟蹤系統(tǒng)作為動力學(xué)系統(tǒng)，往往表現(xiàn)出強非線性、不定量性、模型不精確或模型未知等復(fù)雜特征，其控制也因此而變得有些困難本文中單擺跟蹤系統(tǒng)的控制模型是在一些比較合理的變量轉(zhuǎn)化下建立的線性模型，這避免不了與實際情況有一些差異但總的來說是比較合理的，模型的建立和仿真模擬與實際也比較接近了當(dāng)然針對單擺跟蹤的模型，我們也可以建立擺長相等的不同單擺系統(tǒng)的跟蹤模型，與本文所建立的模型進(jìn)行比較分析為進(jìn)一步提高系統(tǒng)的精確度，我們需要考慮多方面的因素建立非線性控制模型，當(dāng)然求解和仿真也是比較復(fù)雜這需要我們今后積極努力探尋新的、可行的建模方法和仿真參考文獻(xiàn)1 鄭大鐘編著，線性系統(tǒng)理論（第二版），清華