信號與系統(tǒng),2,第1章信號及信號的時域分析,1.1信號及信號的分類1.2常用信號及其性質1.3信號的基本運算,3,本章學習的內容,信號是“信號與系統(tǒng)”這門課程的主要學習內容之一。信號是消息的表現(xiàn)形式，通常體現(xiàn)為隨若干變量而變化的某種物理量。為了有效地傳播和利用消息，常常需要將消息轉換成便于傳輸和處理的信號。在數(shù)學上，信號可以描述為一個或多個獨立變量的函數(shù)。一個實用的信號除用解析式描述外，還可用圖形、測量數(shù)據(jù)或統(tǒng)計數(shù)據(jù)描述。通常，將信號的圖形表示稱為波形或波形圖。本章在時域范圍內討論信號的分類和信號的基本運算，介紹后續(xù)課程將會大量涉及到的常用信號及其性質，并較詳細地介紹信號的卷積運算及其性質，為揭示輸入、輸出信號與系統(tǒng)的物理關系及數(shù)學解析打下牢固的基礎。,4,1.1信號及信號的分類,1連續(xù)信號與離散信號2確定信號與隨機信號3周期信號與非周期信號4能量信號與功率信號5實信號與復信號6因果信號與非因果信號,5,1.1.1連續(xù)信號與離散信號,連續(xù)信號一個信號，如果在連續(xù)時間范圍內(除有限個間斷點外)有定義，就稱該信號在此區(qū)間內為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。,圖1-1連續(xù)時間信號,6,圖1-1(a)是正弦信號，其表達式為：圖1-1(b)是階躍信號，通常記為。其表達式為：,7,信號對于間斷點處的值一般不作定義，這樣做不會影響分析結果。如有必要，可定義信號在間斷點處的信號值等于其左極限與右極限的算術平均值。,這里這樣，圖1-1(b)中的信號也可表示為：,8,2.離散信號,僅在離散時間點上有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。這里“離散”一詞表示自變量只取離散的數(shù)值，相鄰離散時間點的間隔可以是相等的，也可以是不相等的。在這些離散時間點以外，信號無定義。,圖1-2模擬信號通過采樣、量化得到數(shù)字信號,9,離散信號一般有三種表示方法,（1）用解析式表示序列，離散信號可看成連續(xù)信號在采樣點上的樣值。通常取，為序號，T為采樣間隔。如，則記為,10,離散信號一般有三種表示方法,（2）用集合符號表示序列，離散信號是一組有序數(shù)的集合。對于上例，有,11,離散信號一般有三種表示方法,（3）用波形圖表示序列，對于上例的離散信號可用圖1-3表示，這是一種很直觀的表示方法。,圖1-3離散信號的時域波形為方便起見，可以將信號或的自變量省略，簡記為，即用統(tǒng)一表示連續(xù)信號和離散信號。,12,1.1.2確定信號與隨機信號,1.確定信號：是指能夠以確定的時間函數(shù)表示的信號。即給定某一時間值，就能得到一個確定的信號值，如圖1-1所示。2.隨機信號：信號是時間的隨機函數(shù)，事先無法預知其變化規(guī)律。即給定某一時間值，其函數(shù)值并不確定，如圖1-4所示。,圖1-4隨機信號,13,1.1.3周期信號與非周期信號,1.周期信號對于連續(xù)信號，若存在，使得，為整數(shù)，則稱為周期信號。滿足上述關系的最小正數(shù)稱為的周期。對于離散信號，若存在大于零的整數(shù)，使得，為整數(shù)，則稱為周期信號。,圖1-5周期信號,14,1.1.3周期信號與非周期信號,2.非周期信號:不滿足周期信號定義的信號稱為非周期信號。周期分別為、的2個信號相加產生的信號，其周期最小公倍數(shù)為：如果有理數(shù)，均為整數(shù)，則為周期信號，其周期為：,15,1.1.4能量信號與功率信號,歸一化能量與歸一化功率的定義:對于連續(xù)信號，有對于離散信號，有,16,1.1.4能量信號與功率信號,1.能量信號能量信號的歸一化能量為有限值，歸一化功率為零。即滿足，。2.功率信號功率信號的歸一化功率為有限值，歸一化能量為無限大。即滿足，。一般，周期信號為功率信號。,17,1.1.4能量信號與功率信號,例:判斷下列信號中哪些是能量信號，哪些是功率信號，或者都不是。（1）解：因為歸一化功率為：歸一化能量為：所以該信號為功率信號.,18,1.1.4能量信號與功率信號,（2）解：因為歸一化能量為歸一化功率為：所以該信號既不是能量信號又不是功率信號。,19,1.1.4能量信號與功率信號,(3)解：歸一化能量為歸一化功率為：所以該信號為能量信號。,20,1.1.5實信號與復信號,1.實信號在各時刻（或）上的信號幅值為實數(shù)的信號為實信號。例如，單邊指數(shù)信號，正、余弦信號等。實信號是可以物理實現(xiàn)的。2.復信號函數(shù)(或序列)值為復數(shù)的信號稱為復信號，最常用的是復指數(shù)信號。連續(xù)時間的復指數(shù)信號通常表示為：,21,1.1.5實信號與復信號,式中復變量。復指數(shù)信號可分解為實部和虛部兩部分，分別代表余弦和正弦振蕩信號。信號的波形與的波形相似，只是相位相差。兩者均為實信號，而且是頻率相同，幅值隨時間變化的正(余)弦振蕩信號。,增幅振蕩的復指數(shù)信號,22,1.2常用信號及其性質,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質1.階躍信號單位階躍信號用表示，定義為：或,與單位階躍信號相關的幾種波形,23,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,門函數(shù)可以表示為。,門函數(shù),對階躍信號積分，有,24,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,2.沖激信號（1）沖激信號的定義單位沖激信號（也稱沖激函數(shù)）用表示，可理解為脈寬為、幅度為的矩形脈沖在時的極限，即,矩形脈沖隨的變化過程,25,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,單位沖激信號的狄拉克(Dirac)定義,其波形如圖,單位沖激信號,設為正實數(shù)，則的定義式為,其波形如圖,的波形,26,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,（2）沖激信號的性質1）篩選性,2）取樣性,27,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,3）尺度變換,證明：時,時,又因為,綜合兩種情況，得,28,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,類推可以得到的一階導數(shù)為：,以及的n階導數(shù)為：,29,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,4）奇偶性利用上式來分析的奇偶性是比較方便的。令，得,為偶數(shù)時，有,為奇數(shù)時，有,這樣，得到,即是偶函數(shù)，而是奇函數(shù),30,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,5）與互為微分與積分的關系,證明：因為當時，有,當時，有,所以,31,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,例：,（1）,（2）,32,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,（3）復合函數(shù)形式的沖激信號若有個互不相等的實根（如果有重根，沒有意義），則有,例：求,解：,故,33,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,3.單位沖激偶函數(shù)（1）單位沖激偶函數(shù)的定義單位沖激偶函數(shù)可通過對矩形脈沖求一階導數(shù)再取極限而引出其定義,脈寬為、幅度為的矩形脈沖,對矩形脈沖求導的波形,34,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,（2）單位沖激偶函數(shù)的性質1),2),3),證明：因為,所以,推廣，有,35,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,4),證明,推廣，有,36,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,4斜坡信號,單位斜坡信號,與之間的關系為,37,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,5符號函數(shù),定義,符號函數(shù),38,1.2.1常用連續(xù)信號及其性質,6取樣信號,性質,39,1.2.2常用離散信號及其性質,1.單位序列,定義,單位序列及單位序列的移位,性質,上兩式體現(xiàn)了的取樣性質,40,1.2.2常用離散信號及其性質,2單位階躍序列,單位階躍序列及單位階躍序列的移位,41,1.3信號的基本運算,1.3.1信號的相加和相乘信號的運算從數(shù)學意義上來說，就是將信號經過一定的數(shù)學運算轉變?yōu)榱硪恍盘?。兩個信號相加，其和信號在任意時刻的信號值等于兩信號在該時刻的信號值之和。,兩個信號相乘，其積信號在任意時刻的信號值等于兩信號在該時刻的信號值之積,42,1.3.2信號的平移,將信號沿時間軸作平移，得到一個新的信號,(a)的平移,(b)的平移,信號的平移,43,1.3.3信號的尺度變換與反轉,當時，是將以原點為基準，橫軸壓縮到原來的倍；當時，是將橫軸展寬至原來的倍。信號的反轉是將信號或中的自變量(或)換為(或)，即將信號繞縱軸作反轉。把原信號（或）在(或)時刻的值變換為(或)時刻的值。,44,1.3.3信號的尺度變換與反轉,例:已知信號的波形如圖所示，畫出信號的波形。,波形變換過程,45,1.3.4信號的時域分解,1.信號的奇偶分解信號的奇偶分量定義分別為：,任意一個信號都可以表示成奇分量和偶分量之和,則有,信號及信號的奇、偶分量,46,1.3.4信號的時域分解,2.信號的脈沖分解任意一個連續(xù)信號都可以用脈沖信號相疊加來近似表示,每個矩形脈沖可以表示為：,信號分解成窄脈沖,47,1.3.4信號的時域分解,則,，,當時，則,48,1.3.4信號的卷積積分與卷積和,1.卷積積分（1）卷積積分的定義,定義為與的卷積積分，簡稱卷積。記作,（2）卷積積分的圖解方法,例：計算與的卷積積分,49,1.3.4信號的卷積積分與卷積和,計算過程如下：將變量更換為變量，反轉成，將沿軸平移時間就得到。,（a)當即時，如圖1-27(a)所示,（b)當即時，如圖1-27(b)所示,（c)當且即時，如圖1-27(c)所示,（d)當即時，如圖1-27(d)所示,（e)當即時，如圖1-27(e)所示,50,1.3.4信號的卷積積分與卷積和,卷積積分的圖解過程,51,1.3.4信號的卷積積分與卷積和,卷積積分代數(shù)性質1）交換律:設有和兩個信號，則,2）分配律:設有、和三個信號，則,3）結合律:設有、和三個信號，則,52,1.3.4信號的卷積積分與卷積和,1）信號卷積積分后的微分,2）信號卷積積分后的積分,卷積積分的高價導數(shù)和多重積分運算規(guī)則:,式中當i或j取正整數(shù)時表示導數(shù)的階數(shù)，取負整數(shù)時為重積分的次數(shù),53,1.3.4信號的卷積積分與卷積和,3）卷積積分的平移性質如果,則有,4）與沖激信號或階躍信號的卷積積分,54,1.3.4信號的卷積積分與卷積和,例：利用卷積積分的微積分性質重新計算上例。,卷積積分的計算,55,1.3.4信號的卷積積分與卷積和,2.卷積和對應LTI連續(xù)系統(tǒng)中連續(xù)信號的卷積積分，在LTI離散系統(tǒng)中有序列的卷積和?！熬矸e積分”與“卷積和”可以統(tǒng)稱為“卷積”。一般而言，若有兩個序列與，則和式,稱為序列與的卷積和,如果與均為因果序列，則,56,1.3.4信號的卷積積分與卷積和,例：設，求,解：由卷積和定義式得,、均為因果序列，所以,顯然，上式中，故應寫為：,57,（2）卷積和的圖示解法,例：求卷積和,解：,58,（2）卷積和的圖示解法,卷積和的圖示解法,59,(3)對位相乘法,把兩個序列排成兩行，按普通乘法運算進行相乘，但中間結果不進位，最后將位于同一列的中間結果相加就得到卷積和序列。這種方法可稱為“對位相乘法”。,60,（4）序列陣表格法,將兩個序列、按次序分別以行、列排列，然后對應行列值相乘得到一個表格，最后將對應對角線上的數(shù)值累加，即可得到相應的卷積和。,61,（5)卷積和的性質,性質1離散信號的卷積和運算服從交換律、結合律和分配律，即,性質2任一序列與單位序列的卷積和等于序列本身，即,62,（5)卷積和的性質,性質3若，則,63,例:已知序列，試計算卷積和,解：先計算,上式中，故有,再應用卷積和性質3，求得,64,1.4小結,作為信號分析的基礎，本章詳細闡述了各類信號的性質和時域特征，介紹了階躍信號、沖激信號等一些奇異信號的性質和運算法則。其目的就是讓學生掌握一些工程中常用信號及其性質進行數(shù)學上的精確表達方法。本章中階躍信號、沖激信號等一些奇異信號的性質和運算法則等內容，對分析信號波形也是很有幫助的。本章介紹的卷積積分、卷積和及其性質，對后面章節(jié)中學習輸入、輸出信號和系統(tǒng)的關系十分重要，它實際上是輸入、輸出信號和系統(tǒng)的物理關系的數(shù)學描述。這一章的信號時域分析為以后信號的頻域分析打下了基礎。,65,第2章時域連續(xù)信號的頻域分析,引言2.1信號的正交分解2.2周期信號的頻譜分析傅里葉級數(shù)2.3非周期信號的頻譜分析傅里葉變換2.4傅里葉變換的基本性質2.5周期信號的傅里葉變換2.6時域采樣定理2.7小結,66,引言,信號具有時域特性和頻域特性，本章討論信號的頻域特性，其目的之一是掌握信號頻域特性的分析，二是為系統(tǒng)的頻域分析方法作準備。從本章開始由時域轉入變換域分析，頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調制和頻分復用等重要概念。,67,2.1信號的正交分解,由上一章的討論可知，連續(xù)時間信號可以表示為基本信號的線性組合，其基本信號為階躍信號或沖激信號。這種分解不僅是信號分析所需要的，同時，也對求解連續(xù)信號通過線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應帶來方便。信號分解的方法并不是唯一的，本章將介紹信號的另一種分解形式，即將連續(xù)信號分解為一系列的正交函數(shù)，各正交函數(shù)屬于一完備的正交函數(shù)集。,68,2.1.1正交函數(shù)集,圖2-1(a)平面矢量分解,如令為各相應方向的正交單位矢量。可寫為：,信號分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。譬如，在平面上的矢量在直角坐標中可以分解為x方向分量和y方向分量。,69,對于一個三維空間的矢量可以用一個三維正交矢量集的分量組合表示，可寫為：,圖2-1(b)空間矢量分解,正交函數(shù)集,70,正交函數(shù)集,空間矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，要信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號可表示成它們的線性組合。,定義在,區(qū)間內的兩個函數(shù),和,若滿足:,則稱和在區(qū)間內正交。,71,正交函數(shù)集,為一常數(shù)。,對于實變函數(shù)，上式可簡化為：,若個函數(shù)構成一個函數(shù)集，當這些函數(shù)在區(qū)間內滿足：,72,正交函數(shù)集,則稱此函數(shù)集為在區(qū)間上的正交函數(shù)集。在區(qū)間內相互正交的n個函數(shù)構成正交信號空間。,如果在正交函數(shù)集之外，不存在任何函數(shù)滿足：,則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。,73,正交函數(shù)集,即與函數(shù)集的每一個函數(shù)都正交，那么它本身就應屬于此函數(shù)集。顯然不包含的集是不完備的。,例如：三角函數(shù)集和虛指數(shù)函數(shù)集是兩組典型的在區(qū)間上的完備正交函數(shù)集。,74,正交函數(shù)集,因為,75,正交函數(shù)集,對于所有的,和,76,2.1.2信號的正交分解,設有個函數(shù)在區(qū)間上構成一個正交函數(shù)集，將任一函數(shù)用這個正交函數(shù)的線性組合來近似，可以表示為：,顯然，應選取系數(shù)使得實際函數(shù)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間內最小。,77,信號的正交分解,這里“誤差最小”不是指平均誤差最小，因為平均誤差很小甚至等于零時，也可能出現(xiàn)較大的正誤差與較大的負誤差在平均過程中相互抵消，以致不能正確反映兩函數(shù)的近似程度。通常選擇誤差的均方值最小。,誤差的均方值也稱為均方誤差，用符號表示：,78,信號的正交分解,即,展開上式的被積函數(shù)，因為不同的正交函數(shù)相乘的各項其積分均為零，且所有不包含的各項對求導也等于零。上式可化簡為：,79,信號的正交分解,交換微分與積分次序，得,于是可求得,80,信號的正交分解,若為復函數(shù)集,則為,81,2.2周期信號的頻譜分析傅里葉級數(shù),早在18世紀中葉，丹尼爾.伯努利在解決弦振動問題時就提出了這樣的見解：任何復雜的振動都可以分解成一系列諧振動之和。,這一事實用數(shù)學語言來描述即為：在一定的條件下，任何周期為的函數(shù)，都可用一系列以為周期的正弦函數(shù)所組成的級數(shù)來表示，即：,82,2.2.1三角形式的傅里葉級數(shù),十九世紀初，法國數(shù)學家傅里葉曾大膽地斷言：任意函數(shù)都可以展成三角級數(shù)。,周期信號，周期為，基波角頻率為，滿足狄里赫利條件時，可展成：,稱為三角形式的傅里葉級數(shù)。,83,傅里葉級數(shù),由正、余弦正交條件，可得傅里葉系數(shù)：,直流分量：,余弦分量的幅度：,正弦分量的幅度：,84,傅里葉級數(shù),可見，傅里葉系數(shù)和都是(或)的函數(shù)。其中是(或)的偶函數(shù)，即有：=。是(或)的奇函數(shù)，即有：=-。在確定上述積分時，只要積分區(qū)間是一個周期即可，對積分區(qū)間的起止并無特別要求。,根據(jù)三角函數(shù)的運算法則，上式可寫成如下形式：,85,傅里葉級數(shù),其中,86,傅里葉級數(shù),上式表明，任何滿足狄里赫利條件的周期信號可分解為直流和許多余弦(或正弦)分量。,其中第一項是常數(shù)項，它是周期信號中所包含的直流分量；,第二項為基波或一次諧波，它的角頻率與原信號相同，是基波振幅，是基波初相角；,稱為次諧波，是次諧波振幅，是次諧波初相角。,87,傅里葉級數(shù),周期信號傅里葉級數(shù)的物理意義在于：周期信號可以分解為一個直流分量與許多諧波分量之加權和。,是對信號中的每一個諧波分量的大小作出的度量，稱為傅里葉級數(shù)的系數(shù)或頻譜系數(shù)(或稱為加權系數(shù))。針對不同的信號，其不一樣，則頻譜圖不同。,頻譜圖繪出了信號的頻譜特性，如信號由那些諧波分量構成；分量的大小，分布等信息。它與信號的時域波形表示是等價的。,88,傅里葉級數(shù),例2-1試將圖2-2所示的方波信號展開為傅里葉級數(shù)。,解：,89,傅里葉級數(shù),90,傅里葉級數(shù),91,傅里葉級數(shù),最高諧波次數(shù)=3,最高諧波次數(shù)=9,最高諧波次數(shù)=35,92,傅里葉級數(shù),可以看到，合成波形所包含的諧波分量愈多時，除間斷點附近外，它愈接近于原方波信號。在間斷點附近，隨著所含諧波次數(shù)的增高，合成波形的尖峰愈靠近間斷點，但尖峰幅度并未明顯減小?？梢宰C明(見理想低通濾波器的響應)，既使合成波形所含諧波次數(shù)，在間斷點處仍有約9%的偏差，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象。,93,2.2.2指數(shù)形式的傅里葉級數(shù),利用歐拉公式,式,可表示為：,94,傅里葉級數(shù),將上式第三項中的用代換，并考慮是(或)的偶函數(shù)，=，是(或)的奇函數(shù)，=-。則上式可寫成：,95,傅里葉級數(shù),將寫成，則上式可寫成,96,傅里葉級數(shù),令復向量，稱為復傅里葉系數(shù)。則得到傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式,意義：任意周期信號可分解為許多不同頻率的復指數(shù)之加權和，其各分量的復數(shù)幅度或相量(或稱為復加權系數(shù))為。,97,傅里葉級數(shù),下面綜合一下三角函數(shù)型和指數(shù)型傅里葉系數(shù)之間的關系,98,傅里葉級數(shù),99,傅里葉級數(shù),由于,100,傅里葉級數(shù),從而有,上式表明，只要給定周期信號，則復系數(shù)可以在一個周期內積分確定，繼而可寫出復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。,101,傅里葉級數(shù),上兩式是表示周期信號傅里葉級數(shù)的一對重要關系。,102,傅里葉級數(shù),可以看出周期信號的三角函數(shù)型和指數(shù)型傅里葉形式只是同一信號的兩種不同表示方法。前者為實數(shù)形式，后者為復數(shù)形式，都是把周期信號表示為不同頻率的各分量之和。,103,2.2.3信號的性質與傅里葉系數(shù)之間的關系,若給定的信號具有某種特點，那么，其傅里葉系數(shù)的有些值將等于零，從而使傅里葉系數(shù)的計算較為方便。,1.為偶對稱信號,此時波形相對于縱軸是對稱的，稱為偶對稱信號。,=,104,傅里葉系數(shù),由于是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。有,偶對稱信號的傅里葉級數(shù)中不包含正弦項，只可能有直流項和余弦項。,其傅里葉復系數(shù)為,105,傅里葉系數(shù),2.為奇對稱信號,此時波形相對于原點是對稱的，稱為奇對稱信號。,=,106,傅里葉系數(shù),由于是奇函數(shù)，是偶函數(shù)。,偶對稱信號的傅里葉級數(shù)中不包含直流項和余弦項，只可能有正弦項。,其傅里葉復系數(shù)為,107,傅里葉系數(shù),3.為奇諧信號,信號的前半周期波形沿時間軸平移半個周期后，與后半周期波形對稱于橫軸。,=,稱此信號為奇諧信號，或半周鏡像對稱信號，或半波信號。,108,傅里葉系數(shù),只有當為奇數(shù)時，才存在。即半波對稱信號的傅里葉級數(shù)中，只有奇次諧波項，不存在偶次諧波項。,當時:,當時:,109,傅里葉系數(shù),4.為偶諧信號,信號的前半周期波形沿時間軸平移半個周期后，與后半周期波形重合。,=,稱此信號為偶諧信號，或半周重疊對稱信號號。,110,傅里葉系數(shù),偶諧信號的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量。,當時:,當時:,111,2.2.4周期信號的頻譜,1頻譜的概念,如前所述，周期信號可以分解成一系列余弦或虛指數(shù)信號的加權和，為了直觀地表示信號所含各分量的振幅，以頻率(或角頻率)為橫坐標，以各諧波的振幅或虛指數(shù)信號的幅度|為縱坐標，畫出的圖形，稱之為幅度(或振幅)頻譜，簡稱幅度譜。,112,頻譜的概念,(a)單邊幅度譜,(b)雙邊幅度譜,(c)單邊相位譜,(d)雙邊相位譜,113,頻譜的概念,信號分解為各余弦分量，圖中每一條譜線表示該次諧波的振幅，是曲線譜。只有正頻率出現(xiàn)，稱之為單邊幅度譜。,信號分解為各虛指數(shù)信號分量，圖中每一條譜線表示各分量的幅度，是曲線譜。正負頻率均出現(xiàn)，稱之為雙邊幅度譜。,114,2周期矩形信號的頻譜,1）周期矩形信號,例2-2設有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為，求其傅里葉系數(shù)。,115,周期矩形信號的頻譜,，上式可寫為,116,周期矩形信號的頻譜,如令：,稱之為取樣函數(shù)。它是偶函數(shù)，當時，。,則,117,周期矩形信號的頻譜,該周期矩形脈沖的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為,118,周期矩形信號的頻譜,2）頻譜圖,(a)周期矩形脈沖信號的三角形式頻譜圖,(b)周期矩形脈沖信號的指數(shù)形式頻譜圖,119,周期矩形信號的頻譜,(c)周期矩形脈沖信號的三角形式幅頻,(d)周期矩形脈沖信號的指數(shù)形式幅頻,(e)周期矩形脈沖信號的三角形式相頻,(f)周期矩形脈沖信號的指數(shù)形式相頻,120,3）周期矩形脈沖頻譜的特點：,（1）其頻譜是離散的，譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率(即各次諧波頻率)上。,譜線的間隔為()，譜線間隔與脈沖重復周期成反比，愈大，譜線愈密集。,（2）直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈沖幅度和脈沖寬度，反比于周期。,各譜線的幅度包絡線按取樣函數(shù)的規(guī)律變化。,121,周期矩形脈沖頻譜的特點,過零點的坐標有,即,122,周期矩形脈沖頻譜的特點,（3）頻率從0到第一個零值點之間，或任意兩個相鄰的零值點之間的譜線條數(shù)是與信號的脈寬和周期的比值有關。,規(guī)律如下：若，則頻率從0到第一個零值點之間或任意兩個相鄰的零值點之間就有條譜線。,123,周期矩形脈沖頻譜的特點,（4）周期矩形脈沖信號包含無窮多條譜線。也就是說，它可以分解成無窮多個頻率分量。隨著頻率的增高，譜線幅度變化的總趨勢收斂于零。但主要能量集中在第一個零值點之內。,頻帶寬度,把這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的頻帶寬度，記作(或)和(或)。,124,頻帶寬度,和,顯然，頻帶寬度只與脈沖寬度(信號的持續(xù)時間)有關，而且成反比關系。信號的持續(xù)時間愈長，其頻帶寬度愈窄，反之，信號脈沖愈窄，其頻帶寬度愈寬。這種信號的頻寬與時寬成反比的性質是信號分析中最基本的特性，它將貫穿于信號與系統(tǒng)分析的全過程。,125,周期信號頻譜特點,（1）諧波性。譜線只在基波頻率的整數(shù)倍頻率上出現(xiàn)。在處有值，稱為譜線。,（2）離散性。頻譜圖由頻率離散的譜線組成，每根譜線代表一個諧波分量。這樣的頻譜稱為不連續(xù)頻譜或離散頻譜。,（3）收斂性。頻譜中各分量的高度，隨著諧波次數(shù)的增高而逐漸減小。當諧波次數(shù)無限增多時，諧波分量的振幅趨于無窮小。,126,3）頻譜結構與波形參數(shù)之間的關系,為了說明在不同的脈寬和不同的周期的情況下周期矩形脈沖信號頻譜的變化規(guī)律，下面分兩種情況來討論。,（1）當保持不變，而三種情況時的頻譜。,不變，譜線間隔不變；,127,頻譜結構與波形參數(shù)之間的關系,減小，第一個零值點增大，頻帶寬度增大，頻帶寬度內譜線增多，頻譜幅度減小。,128,頻譜結構與波形參數(shù)之間的關系,129,頻譜結構與波形參數(shù)之間的關系,（2）當保持不變，而三種情況時的頻譜。,增大，頻譜幅度隨之減??；,頻譜包絡線過零點不變；,譜線間隔變小，譜線變密，周期愈大，譜線愈密,當時，就變成了與包絡線形狀相同的連續(xù)譜，對此將在下一節(jié)專門討論。,130,頻譜結構與波形參數(shù)之間的關系,131,頻譜結構與波形參數(shù)之間的關系,2.3非周期信號的頻譜分析傅里葉變換,133,2.3.1傅里葉變換的定義,周期信號的周期增大時，譜線的間隔變小，若周期趨于無限大，則譜線的間隔趨于無限小，這樣周期信號的離散頻譜就變成了非周期信號的連續(xù)頻譜。,同時由于周期趨于無限大，譜線的長度趨于零。這樣，就不能用來表示非周期信號的頻譜。,這時，信號中各頻率分量的振幅雖然都是無窮小量，但是，這些無窮小量之間仍然保持一定的比例關系。為了表達非周期信號的頻譜特性，有必要引用一個新的量。,134,傅里葉變換的定義,等式兩邊都乘以，則當趨于無限大時，這個量可以不趨于零。,這個極限量用符號來表示，當周期趨于無限大時，離散頻率變成連續(xù)頻率。,135,傅里葉變換的定義,令,136,傅里葉變換的定義,考慮到時，無窮小，記為；,(由離散量變?yōu)檫B續(xù)量)，有,137,傅里葉變換的定義,又由,而時，同時，求和變成積分，于是有,138,傅里葉變換的定義,稱為的原函數(shù)或傅里葉反變換。,稱為的頻譜密度函數(shù)(簡稱頻譜函數(shù))或傅里葉變換。,這就是非周期信號的傅里葉積分表示式，它與周期信號的傅里葉級數(shù)相當。,139,傅里葉變換的定義,前者是由信號的時間函數(shù)變換為頻率函數(shù)，稱為傅里葉正變換式；后者是由信號的頻率函數(shù)變換為時間函數(shù)，稱為傅里葉反變換式。可簡記為,或,140,傅里葉變換的定義,非周期信號的傅里葉變換也應該滿足一定的條件才能存在。,定義：函數(shù)的傅里葉變換存在的充分條件(并非必要條件)是在無限區(qū)間內絕對可積，即。,證明：,要使存在，必須滿足,141,傅里葉變換的定義,而,又,142,傅里葉變換的定義,如果，則必然存在。,143,2.3.2傅里葉變換的物理意義頻譜和頻譜密度函數(shù),因為,可以看出，具有單位頻帶復振幅的量綱，因此這個新的量稱為原函數(shù)的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。,如同單位體積內的質量為物體的密度一樣。,144,頻譜和頻譜密度函數(shù),頻譜函數(shù)是一個復函數(shù)，可以寫成,稱為幅度頻譜，它是頻率的函數(shù)，它代表信號中各頻率分量的相對大小，而各頻率分量的實際幅度是，它是一無窮小量。,稱為相位頻譜，它也是頻率的函數(shù)，它代表有關頻率分量的相位。,145,頻譜和頻譜密度函數(shù),把函數(shù)f(t)寫成三角函數(shù)的形式,意義：任意非周期信號可分解為無窮多不同余弦(或正弦)分量之加權和，其各分量的加權系數(shù)為無窮小量。,146,頻譜和頻譜密度函數(shù),可見，非周期信號也和周期信號一樣，可以分解為許多不同頻率的正弦分量。所不同的是，由于非周期信號的周期趨于無限大，基波頻率就趨于無限小，因此組成信號的分量的頻率包含了從零到無窮大之間的一切頻率。同時隨著周期的無限增大，組成信號的分量的振幅則無限減小，所以頻譜不能直接用振幅作出，而必須用它的密度函數(shù)來作出。,147,2.3.3常用信號的傅里葉變換,1單邊指數(shù)信號,傅里葉變換為,148,常用信號的傅里葉變換,單邊指數(shù)信號的波形和頻譜,149,常用信號的傅里葉變換,2偶雙邊指數(shù)信號,利用公式，可求得此信號的傅里葉變換為：,150,常用信號的傅里葉變換,圖2-14偶雙邊指數(shù)信號的波形及其頻譜,151,常用信號的傅里葉變換,3奇雙邊指數(shù)信號,利用公式，可求得此信號的傅里葉變換為,152,常用信號的傅里葉變換,153,常用信號的傅里葉變換,4對稱矩形脈沖信號,對稱矩形脈沖信號（又稱門函數(shù)）(symmetryrectangularpulsesignal)的表示式為：,傅里葉變換為：,154,常用信號的傅里葉變換,155,常用信號的傅里葉變換,156,常用信號的傅里葉變換,可以看出，非周期矩形單脈沖的頻譜函數(shù)曲線與周期矩形脈沖離散頻譜的包絡線形狀完全相同，都具有取樣函數(shù)的形狀。,和周期脈沖的頻譜一樣，單脈沖頻譜也具有收斂性，信號的絕大部分能量集中在頻率范圍內。,157,常用信號的傅里葉變換,這種信號占有的頻率范圍(即頻帶寬度(bandwidth)近似為，即,158,常用信號的傅里葉變換,5符號函數(shù),顯然，符號函數(shù)不滿足絕對可積的條件，但它存在傅里葉變換，可以借助于符號函數(shù)與奇雙邊指數(shù)信號相乘，先求出此乘積信號的頻譜，然后取極限，從而得出符號函數(shù)的頻譜。,159,常用信號的傅里葉變換,定義乘積信號,其傅里葉變換為：,160,常用信號的傅里葉變換,符號函數(shù)可看作是當時的極限,161,常用信號的傅里葉變換,因此，它的頻譜函數(shù)也是的頻譜函數(shù)在的極限。,162,常用信號的傅里葉變換,163,常用信號的傅里葉變換,6.單位直流信號,可見該信號也不滿足絕對可積條件，但可利用上述偶雙邊指數(shù)信號取極限，求得其傅里葉變換，即,164,常用信號的傅里葉變換,故,由上式可見，它是一個以為自變量的沖激信號。根據(jù)沖激信號的定義，該沖激信號的強度為,165,常用信號的傅里葉變換,所以有,166,常用信號的傅里葉變換,7.單位沖激信號,根據(jù)傅里葉變換的定義以及沖激信號的取樣性質，可求出單位沖激信號的傅里葉變換為：,167,常用信號的傅里葉變換,直流信號的頻譜是沖激信號，沖激信號的傅里葉變換是直流信號，直流信號與沖激信號是一對傅里葉變換對。,直流信號的時域持續(xù)時間無限，而其頻譜在頻域為沖激信號，頻寬有限；單位沖激信號時域持續(xù)時間有限，而其頻譜的頻寬在頻域無限。,168,常用信號的傅里葉變換,8沖激偶函數(shù),因為=1，所以,將上式兩邊對求導，,169,常用信號的傅里葉變換,所以,同理可得,170,常用信號的傅里葉變換,9階躍信號,單位階躍信號雖然不滿足絕對可積條件，但它仍存在傅里葉變換。,上式兩邊進行傅里葉變換可得,171,常用信號的傅里葉變換,可得的傅里葉變換為：,172,常用信號的傅里葉變換,歸納以上分析，可以得到如下重要結論：,(1)非周期信號的頻譜是連續(xù)譜。,(2)信號在時域中的持續(xù)時間與其頻譜在頻域的帶寬成反比。信號的持續(xù)時間愈長，其頻帶寬度愈窄，反之，信號脈沖愈窄，其頻帶寬度愈寬。,173,2.4傅里葉變換的基本性質,174,2.4.1線性(linearity),傅里葉變換是一種線性運算，若,則,175,線性,線性性質包含兩個含義：,1)齊次性。表明若信號乘以常數(shù)(即信號增大倍)，則頻譜函數(shù)也乘以常數(shù)(即頻譜函數(shù)號也增大倍)。,2)可加性。表明幾個信號之和的頻譜等于各個信號頻譜函數(shù)之和。,176,線性,證明：,1)證明可加性。設,，,有,177,線性,則,+,又,178,線性,所以,+=,滿足可加性。,2)證明齊次性。設,則,179,線性,=a=,滿足齊次性。,也可以同時證明可加性和齊次性。,180,線性,例2-3利用傅里葉變換的線性性質求單位階躍信號的傅里葉變換。,解：,181,2.4.2奇偶性,根據(jù)傅里葉變換的定義，信號的傅里葉變換,表示成模(即幅度頻譜)和相位(即相位頻譜)的函數(shù)，即寫成,182,奇偶性,亦可以表示成實部和虛部的形式，即有,且有,183,奇偶性,(1)若是實函數(shù)，則其頻譜函數(shù)是共軛對稱函數(shù)，即其實部是偶函數(shù)、虛部是奇函數(shù)。,其實部,是偶函數(shù)，其虛部,是奇函數(shù)，從而有,184,奇偶性,當是實偶函數(shù)時，有,表明，實偶函數(shù)的頻譜函數(shù)亦是實偶函數(shù)。,185,奇偶性,當是實奇函數(shù)時，有,表明，實奇函數(shù)的頻譜函數(shù)是虛奇函數(shù)。,186,奇偶性,(2)若是虛函數(shù)，則其頻譜函數(shù)是共軛反對稱函數(shù)，即其實部是奇函數(shù)、虛部是偶函數(shù)。,令，這里，則的傅里葉變換可寫成,187,奇偶性,其實部：,是奇函數(shù)，其虛部：,是偶函數(shù)，且有：,188,奇偶性,189,2.4.3對稱性(symmetry),若,則,對稱性表明，與信號的頻譜函數(shù)形式相同的時間函數(shù)的傅里葉變換為。這里的與原信號有相同的形式。,190,對稱性,證明：,將上式中的自變量t換為t，得,191,對稱性,將上式中的變量換為，積分結果不變，即,再將用代之，上述關系依然成立，即,192,對稱性,最后再將用代替，則得,即,193,對稱性,例如，,有,當是實奇函數(shù)時，它的頻譜函數(shù)是虛奇函數(shù)，此時對稱性可寫成,194,對稱性,或,例如，,有,195,對稱性,利用對稱性，可以將求傅里葉反變換的問題轉化成求傅里葉變換來進行。,例2-4若信號的傅里葉變換為,試求其反變換。,196,對稱性,解：將中的換成，有,根據(jù)對稱性，它的傅里葉變換為,197,對稱性,由于,故,所以,198,對稱性,信號的傅里葉變換其它的對稱特性表現(xiàn)在下列各式：,199,2.4.4時移特性(time-shiftingproperty),若,則,證明：,根據(jù)傅里葉變換定義，有：,200,時移特性,令，則有,201,時移特性,同理，有,時移特性表明，信號在時域中沿時間軸右移，等效于在頻域中乘以相位因子?；蛘哒f，信號在時域中沿時間軸右移后，其幅度頻譜不變，而相位頻譜產生的附加變化。,202,2.4.5頻移特性(或稱調制定理modulationtheorem),若,則,證明：,根據(jù)傅里葉變換定義，有,203,頻移特性,同理可證,204,頻移特性,頻移特性表明，信號在時域中乘以，等效于的頻譜在頻域中沿頻率軸右移。,也就是說，如果的頻譜原來在=0附近(基帶信號)。若將乘以，就可以使其頻譜搬移到附近，在通信中，這樣的過程叫做調制。,205,頻移特性,反之，如果的頻譜原來在附近(高頻信號)，若將乘以，就可以使其頻譜搬移到=0附近。在通信中，這樣的過程叫做解調(demodulation)。,而如果的頻譜原來在附近，若將f(t)乘以后，其頻譜將搬移到附近，這樣的過程就是變頻(frequencyconversion)。,206,頻移特性,由于實際中不可能獲得復指數(shù)信號，因此頻譜搬移的實現(xiàn)原理是將信號乘以載波信號或，下面來分析這種相乘作用引起的頻譜搬移。,根據(jù)歐拉公式，有：,207,頻移特性,可得：,式(1),式(2),式(1)表明，若時間信號乘以等效的頻譜一分為二，沿頻率軸向左、向右各平移。,式(2)亦類似。,208,頻移特性,例2-7求圖所示的矩形脈沖調幅信號的頻譜。,解：該矩形脈沖調幅信號可記為,其中,209,頻移特性,因為的頻譜為：,所以，根據(jù)頻移特性可求出的頻譜,210,頻移特性,可見，矩形調幅信號的頻譜等于將包絡線的頻譜一分為二，沿頻率軸向左和向右各移動載頻,。,211,2.4.6尺度變換特性(scalingproperty),若,則,式中，為大于零的常數(shù)。,212,尺度變換,證明：因為,令，則當時，有,213,尺度變換,而當時，有,綜合上述兩種情況，得到,214,尺度變換,尺度變換特性表明，信號在時域中壓縮()等效于在頻域中擴展；,反之，信號在時域中擴展()則等效于在頻域中壓縮。,這與前面分析周期矩形脈沖信號的頻譜時的情況是一致的。如要壓縮信號的持續(xù)時間，就不得不以展寬頻帶為代價，而如要壓縮信號的頻帶寬度，則又不得不以增加信號的持續(xù)時間為代價。這也是通信中時長與帶寬的矛盾，或者通信速度與信道容量的矛盾。,215,2.4.7時域微分(differentiationintimedomain),若,則,證明：因為,216,時域微分,得,應用分部積分，可得,217,時域微分,如果當時，得,同理可推導出,利用時域微分特性就容易求出一些由定義式不容易求得的函數(shù)的傅里葉變換。,218,時域微分,例2-8求圖所示的三角脈沖信號,的頻譜函數(shù)。,219,時域微分,解：首先求出的一階導數(shù)和二階導數(shù)，得到它們的波形分別如圖所示。,可得,220,時域微分,利用微分特性，對上式兩邊取傅氏變換，由于時，便有,221,時域微分,得,222,2.4.8時域積分(integrationintimedomain),若,則,式中，,223,時域積分,證明：由傅里葉變換的定義式可知,交換上式中的積分次序，可變?yōu)?224,時域積分,上式中方括號內是階躍信號的傅里葉變換。根據(jù)時移特性，的頻譜函數(shù)為,代入前式則得,225,時域積分,如果，則上式變成,時域積分特性表明，可以利用原函數(shù)的傅里葉變換直接求取積分后函數(shù)的傅里葉變換。,226,時域積分,利用積分特性求取信號的頻譜函數(shù)時，往往先將信號微分，即作,并求其傅里葉變換,=,然后再利用積分特性導出原信號的傅里葉變換。,227,時域積分,應當注意，原信號經微分之后去掉其直流分量，再積分就不一定恢復原來信號，存在著一個積分常數(shù)問題。,用求導法計算其頻譜時時域積分特性應修正：,式中,228,時域積分,例2-10求下圖所示截平斜變信號的傅里葉變換。,解：對求一次微分，得,229,時域積分,根據(jù)時域積分性，,得：,又,故有,230,2.4.9頻域微分(differentiationinfrequencydomain),若,則,231,頻域微分,證明：對傅里葉變換式兩邊對求導，得,所以,同理可證,232,頻域微分,例如：由，由頻域微分可得,233,2.4.10頻域積分(integrationinfrequencydomain),若,則,證明：因為,234,頻域積分,根據(jù)卷積的微分與積分性質，上式為,利用將要介紹的頻域卷積定理，可得,=,由于,235,頻域積分,利用對稱性可得,將上式代入式，即得,236,頻域積分,若f(0)=0，則,237,2.4.11時域卷積定理(convolutiontheoreminthetimedomain),若,則,證明：根據(jù)卷積的定義，可得,238,時域卷積,因此,交換積分次序，并利用時移特性，得,239,時域卷積,時域卷積定理表明，兩個時間函數(shù)卷積的頻譜等于各個時間函數(shù)頻譜的乘積，即在時域中兩函數(shù)的卷積對應于頻域中兩函數(shù)頻譜的乘積。,240,2.4.12頻域卷積定理(convolutiontheoreminthefrequencydomain),若,則,證明：,又,241,頻域卷積,有,交換積分次序，得,242,頻域卷積,頻域卷積定理表明，兩時間函數(shù)乘積的頻譜等于各個函數(shù)頻譜的卷積乘以。即在時域中兩函數(shù)的乘積對應于頻域中兩函數(shù)頻譜的卷積。,243,2.4.13帕斯維爾定理(TheParsevaltheorem),若,則,證明：,244,帕斯維爾定理,245,帕斯維爾定理,上式是非周期信號的能量等式。是帕斯維爾定理在非周期信號時的表示形式。所以信號的能量可以在時域中求得，也可在頻域中求得。因此：,稱為信號的能量譜。,246,25周期信號的傅里葉變換,247,周期信號的傅里葉變換,周期信號的頻譜可用傅里葉級數(shù)表示，而非周期信號的頻譜則用傅里葉變換表示?，F(xiàn)在，再來研究周期信號的頻譜可否使用傅里葉變換表示的問題。其目的是力圖把周期信號與非周期信號的分析方法統(tǒng)一起來。使傅里葉變換這一工具得到更廣泛的應用。,248,2.5.1正、余弦信號的傅里葉變換,在上節(jié)中，已經求出了指數(shù)、正弦和余弦信號的傅里葉變換。即,249,正、余弦信號的傅里葉變換,由以上三式看出，指數(shù)、正弦和余弦信號的頻譜只包括位于處的沖激信號，它們的頻譜如圖,250,2.5.2一般周期信號的傅里葉變換,設周期信號的周期為，則角頻率，可以將展開成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)：,將上式兩邊取傅里葉變換,251,一般周期信號的傅里葉變換,將其代入上式，可求出周期信號的傅里葉變換,其中，是的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，它等于,252,一般周期信號的傅里葉變換,上式表明周期信號的傅里葉變換是由一系列的沖激信號所組成。這些沖激位于信號的各次諧波頻率處(，每個沖激的強度等于的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)的倍。,例2-11求圖所示的周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)與傅里葉變換。,253,一般周期信號的傅里葉變換,解：由圖可看出的周期為，它的表示式為：,254,一般周期信號的傅里葉變換,因為是周期信號，所以可以把它展開成傅里葉級數(shù),其中,255,一般周期信號的傅里葉變換,這樣，得到的傅里葉級數(shù)為,可見，在周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)中只包含位于的頻率分量。每個頻率分量的大小是相等的，均等于。,256,一般周期信號的傅里葉變換,可求出的傅里葉變換,可見，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中，同樣也只包含位于頻率處的沖激信號，其沖激強度是相等的，均等于。,257,一般周期信號的傅里葉變換,258,一般周期信號的傅里葉變換,同時可以看出，周期單位沖激序列的時域波形與頻譜有同樣的形狀。表明了周期信號的傅里葉變換與傅里葉級數(shù)(傅里葉系數(shù))之間的關系。,可以看出，周期單位沖激序列的時域波形與頻譜有同樣的形狀。,259,一般周期信號的傅里葉變換,還可以推導出周期信號的傅里葉變換與對應的單脈沖信號(即周期信號在原點附近的個主周期)的傅里葉變換之間的關系，現(xiàn)推導如下：,一般周期信號可以用周期單位沖激序列來表示，即,260,一般周期信號的傅里葉變換,根據(jù)時域卷積定理可得,將其代入上式，即得周期信號的傅里葉變換,261,一般周期信號的傅里葉變換,由此可見，將波形進行以為周期的周期延拓，等效于在頻域對其進行為周期的等距離沖激采樣。,即時域的周期性對應于頻域的采樣性，或者說，時域的周期性對應于頻域的離散性。,比較式(2.6-5)與式(2.6-10)應有,262,一般周期信號的傅里葉變換,上式表明:周期信號的傅里葉系數(shù)等于對應的單脈沖的傅里葉變換在頻率點的值乘以。,263,一般周期信號的傅里葉變換,264,2.6時域采樣定理,265,2.6.1信號的采樣,前面研究的都是連續(xù)時間信號。但在許多實際問題中，常常需要將連續(xù)時間信號變成離散時間信號，這就要對信號進行采樣(或稱采樣、采樣)。,離散信號可以通過對連續(xù)信號采樣得到，從而可以用離散時間系統(tǒng)進行處理。但是，這牽涉到兩個問題