2離散型隨機(jī)變量及其分布律 返回目錄 如隨機(jī)變量X所有可能取值只有有限個(gè)或可列個(gè) 則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量 如果滿(mǎn)足 設(shè)離散型隨機(jī)變量的一切可能取值為 d r v X的分布律也可表示為 求d r v X的分布律必須考慮 1 隨機(jī)變量的所有可能取值 2 取這些值的概率是多少 例1盒中裝有十個(gè)螺口 五個(gè)卡口外型與功率都相同的燈泡 現(xiàn)需用一個(gè)螺口燈泡 從盒中任取一個(gè) 如果取到卡口燈泡就不再放回 求在取到螺口燈泡之前已取出的卡口燈泡數(shù)X的分布律 解 X的可能取值為0 1 5 一 0 1分布 稱(chēng)X服從0 1分布 做一次試驗(yàn) 其結(jié)果只有兩種 成功 失敗 令成功的概率為p 用X表示試驗(yàn)成功的次數(shù) X的分布律為 二 貝努里試驗(yàn) 二項(xiàng)分布 1 獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次試驗(yàn) 2 每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果 3 每次試驗(yàn)中成功的概率相同 例 1 連續(xù)擲一枚均勻的硬幣4次 2 擲均勻骰子 獨(dú)立重復(fù)4次 n重貝努里試驗(yàn) 成功A 失敗 成功A 出現(xiàn)正面 成功A 出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn) 以n 4為例說(shuō)明 r v X n重貝努里試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù) 表示4重貝努里試驗(yàn)中A發(fā)生k次 k 0 1 2 3 4 隨機(jī)變量X的分布律為 則稱(chēng)X的服從參數(shù)為n p的二項(xiàng)分布 記作 2 當(dāng)n 1時(shí) 0 1分布 例2一批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0 4 重復(fù)抽取10件 求其中恰有k個(gè)一級(jí)品的概率 解 X 10件產(chǎn)品中一級(jí)品的件數(shù) 注 1 當(dāng)產(chǎn)品總量N很大 從中抽取件數(shù)n相對(duì)N較小 不放回抽樣用有放回抽樣近似 為二項(xiàng)分布的最可能取值 例4十臺(tái)機(jī)器獨(dú)立工作 因修理調(diào)整等原因 每臺(tái)機(jī)器開(kāi)車(chē)的概率為0 2 設(shè)每臺(tái)機(jī)器工作需要1千瓦電力 供電部門(mén)只提供6千瓦電力 問(wèn)十臺(tái)機(jī)器能否正常工作 機(jī)器能正常工作的可能性是0 9991 解 X表示正常工作機(jī)器臺(tái)數(shù) 例5某人進(jìn)行射擊 設(shè)每次射擊的命中率是0 02 獨(dú)立射擊了400次 求至少擊中2次的概率 解 X 400次射擊中擊中的次數(shù) 說(shuō)明1一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率雖然很小 但當(dāng)試驗(yàn)大量重復(fù)地進(jìn)行時(shí) 該事件幾乎一定會(huì)發(fā)生 說(shuō)明2該人進(jìn)行400次射擊 擊中目標(biāo)的次數(shù)如果不到兩次 根據(jù)實(shí)際推斷原理 可以認(rèn)為該人命中率達(dá)不到0 02 三 泊松分布 Poisson 隨機(jī)變量X的可能取值為0 1 2 k 其中 0 稱(chēng)X服從參數(shù)為 的泊松分布 Poisson 記作 1 泊松分布是應(yīng)用最廣的分布之一 它常見(jiàn)于稠密性的問(wèn)題 如一段時(shí)間內(nèi)電話用戶(hù)對(duì)電話臺(tái)的呼喚次數(shù) 候車(chē)的旅客數(shù) 原子彈放射的粒子數(shù)等 例6某城市每年因交通事故死亡的人數(shù)服從泊松分布 據(jù)統(tǒng)計(jì)在一年內(nèi)因交通事故死亡一人的概率是死亡兩人的概率的二分之一 計(jì)算一年中因交通事故至少死亡三人的概率 解 X表示一年中因交通事故死亡的人數(shù) 幾何分布 隨機(jī)變量X的可能取值為1 2 k 稱(chēng)X服從參數(shù)為p的幾何分布 超幾何分布 N個(gè)元素分成兩大類(lèi) 第一類(lèi)個(gè) 第二類(lèi)個(gè) 采用不重復(fù)抽樣 從N個(gè)元素中取出n個(gè) X 取到的第一類(lèi)元素的個(gè)數(shù) X服從超幾何分布 稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n 的超幾何分布 例7一個(gè)箱中有6個(gè)產(chǎn)品 其中有2個(gè)是二等品 從中隨機(jī)地取出3個(gè) 求取出二等品個(gè)數(shù)X的分布 解 X的可能取值為0 1 2 1 求離散型隨機(jī)變量的分布 1 列出X的所有可能取值 2 計(jì)算X取這些值的概率 2 離散型隨機(jī)變量可用分布律或概率分布表表示 視具體問(wèn)題而定 3 檢驗(yàn) 小數(shù)點(diǎn)后保留的位數(shù)必須一致 思考題 1 判斷下列函數(shù)能否作為離散型隨機(jī)變量的分布律 2 X服從參數(shù)為 的Poisson分布 問(wèn)k取何值時(shí) 為最大 思考題答案 1 1 能 2 否 3 否 4 能 練習(xí)題 1 10張獎(jiǎng)券中含有3張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券 每人購(gòu)買(mǎi)一張 則前3個(gè)購(gòu)買(mǎi)者中恰有一人中獎(jiǎng)的概率為 2 離散型隨機(jī)變量的分布律為則 成立 4 某人打靶的命中率為0 8 現(xiàn)獨(dú)立地射擊5次 則5次中有2次命中的概率為 3 若隨機(jī)變量X的分布律為 6 某柜臺(tái)上有4個(gè)售貨員 并預(yù)備了兩個(gè)臺(tái)秤 若每個(gè)售貨員每小時(shí)平均有15分鐘時(shí)間使用臺(tái)秤 求臺(tái)秤不夠用的概率 5 設(shè)隨機(jī)變量則 8 已知一本書(shū)中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從參數(shù)為0 2的泊松分布 求一頁(yè)錯(cuò)誤不多于一個(gè)的概率 9 測(cè)驗(yàn)中有十道是非題 如一名學(xué)生對(duì)每一問(wèn)題任意地選擇 是 或 非 的回答 求他作出正確回答的最大可能數(shù) 并求作出正確回答的最大可能數(shù)的概率 7 某種燈泡的使用壽命超過(guò)5000小時(shí)的為一等品 已知一大批產(chǎn)品中 一等品率為0 2 現(xiàn)抽取了5個(gè)燈泡 求其中至少有一個(gè)一等品的概率 11 某廠需要12只集成電路裝配儀表 需到外地采購(gòu) 已知該型號(hào)集成電路的不合格率為0 1 問(wèn)需要采購(gòu)幾只才能以99 的把握保證其中合格的集成電路不少于12只 12 同時(shí)投擲兩顆骰子 觀察所得點(diǎn)數(shù) 投擲進(jìn)行到兩數(shù)之和是6為止 以X表示所需的投擲的次數(shù) 求X的分布律及投擲的次數(shù)不超過(guò)3次的概率 10 一袋中裝有編號(hào)為1 2 3 4 5的5個(gè)球 從中任取三個(gè)球 用X表示取得的三只球中的最大號(hào)碼 求X的分布律 14 某商店每天的顧客數(shù)是隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 的泊松分布 設(shè)每個(gè)進(jìn)商店的顧客購(gòu)買(mǎi)商品的概率是p 顧客之間購(gòu)買(mǎi)商品與否相互獨(dú)立 試求該商店每天購(gòu)買(mǎi)商品的顧客數(shù)的分布律 13 甲 乙兩棋手約定進(jìn)行10盤(pán)比賽 以贏的盤(pán)數(shù)較多者勝 設(shè)在每盤(pán)中甲贏的概率為0 6 乙贏的概率為0 4 在各盤(pán)比賽相互獨(dú)立的假設(shè)下 甲勝 乙勝和不分勝負(fù)的概率各是多少 練習(xí)題答案 2 2 4 3 4 4 4 5 3 6 13 256 0 05 0 67232 0 982477 5 63 256 10 11 解 設(shè)采