歷年上海高考試題(圓錐曲線) 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 1.(01上海)若雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），焦距為10，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)2.（02上海）曲線 （t為參數(shù)）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 3.（02上海）拋物線(y-1)2=4(x+1) 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 4.（03上海春）直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是 .5.（03上海理）在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的極坐標(biāo)是 .6.（04上海春）過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線,交拋物線于A、B兩點(diǎn),則以F為圓心、AB為直徑的圓方程是 7.（04上海）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=1,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 8.（04上海理）在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(4,)到直線l:(2cos+sin)=4的距離d= .9.(03上海)給出問(wèn)題：F1、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17. 該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi).10.(04上海)教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 .11.（05上海文）若橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2，它的一個(gè)焦點(diǎn)是(2,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是12.（05上海理）若雙曲線的漸近線方程為，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則雙曲線的方程是_。13.（06上海文）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.14.（06上海理）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 15.（06上海理）在極坐標(biāo)系中，O是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A（4，），B（5，），則OAB的面積是 16.（07上海春）在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線上的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo) .17.（07上海文）以雙曲線的中心為頂點(diǎn)，且以該雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程是 18.（06上海春）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ) A. (0,1) B.(1,0) C. (0,2) D. (2,0)19.（05上海）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線（ B ）A有且僅有一條 B有且僅有兩條 C有無(wú)窮多條 D不存在20.（01上海）設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn).已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|PF2|,求的值. 21.（02上海春）已知F1、F2為雙曲線(a0,b0)的焦點(diǎn),過(guò)F2作垂直于x軸的直線交雙曲線點(diǎn)P,且PF1F2=30,求雙曲線的漸近線方向22.（02上海）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2，點(diǎn)C的軌跡與直線交于D、E兩點(diǎn)，求線段DE的長(zhǎng)。23.（03上海春）設(shè)分別為橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).(1) 若橢圓上的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫(xiě)出橢圓的方程；(2) 設(shè)是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；(3) 已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線、的斜率都存在，并記為時(shí)，那么是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值. 試對(duì)雙曲線寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明.24.（03上海文）如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道，車(chē)道總寬22米，要求通行車(chē)輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀. （1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱 寬l是多少？ （2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè) 計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧 道的土方工程量最??？ （半個(gè)橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高.本題結(jié)果精確到0.1米）25.（04上海春）已知傾斜角為45的直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B,B在第一象限,=3.(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo);(4分)(2) 若直線l與雙曲線C：=1(a0)相交于E、F兩點(diǎn),且線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1),求a的值;(6分)(3) 對(duì)于平面上任一點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),稱的最小值為P與線段AB的距離.已知點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng),寫(xiě)出點(diǎn)p(t,0)到線段ab的距離h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.(8分)26.（04上海文）如圖, 直線y=x與拋物線y=x24交于A、B兩點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與直線y=5交于Q點(diǎn). (1) 求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B) 的動(dòng)點(diǎn)時(shí), 求OPQ面積的最大值.27.（05上海春）（1）求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓的方程是. 設(shè)斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為. 證明：當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在一條過(guò)原點(diǎn)的定直線上；（3）利用（2）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡(jiǎn)要寫(xiě)出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心. 解（1） 證明（2）解（3）28.（05上海文）已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過(guò)A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋物線方程; (2)過(guò)M作MNFA, 垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo); (3)以M為圓心,MB為半徑作圓M.當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí),丫討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.29.（05上海理）如圖,點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn).點(diǎn)P在橢圓上,且位于x軸的上方,PAPF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)M橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.30.（06上海春）學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)，設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針?lè)较颍┑能壽E方程為1，變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸、M(0,)為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分,降落點(diǎn)為D(8,0).觀測(cè)點(diǎn)A(4,0)、B(6,0)同時(shí)跟蹤航天器(1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；(2)試問(wèn)：當(dāng)航天器在x軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？ 31.（06上海文）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。（06上海理）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點(diǎn)（1）求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么3”是真命題；（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由xy32.（07上海春）如圖，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為. 過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為.(1) 求橢圓的方程；(2) 設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積.33.（07上海文）我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中， yO.Mx.如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)（1）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程； （2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；（3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)參考答案解（1）設(shè)F2（c,0)(c0),P(c,y0),則 。 在直角三角形PF2F1中，PF1F2=30 解法一：F1F2=3PF2, , 將c2=a2+b2代入，解得b2=2a2. 解法二：PF1=2PF2, 由雙曲線定義可知PF1-PF2=2a,得PF2=2a. 解 設(shè)點(diǎn)C（x,y），則根據(jù)雙曲線的定義，可知點(diǎn)C的軌跡是雙曲線由即A(4,2),B(8,4), 從而AB的中點(diǎn)為M(2,1). 由kAB=,直線AB的垂直平分線方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直線OQ的方程為x+y=0, 設(shè)P(x, x24). 點(diǎn)P到直線OQ的距離d=, ,SOPQ=. P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn), 且P不在直線OQ上, 4x44或440,只能x=,于是y=. 點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,) (2) 直線AP的方程是xy+6=0. 設(shè)點(diǎn)M(m,0),則M到直線AP的距離是. 于是=,又6m6,解得m=2. 橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離d有 d2=(x2)2+y2=x4x2+4+20x2=(x)2+15,由于6m6, 當(dāng)x=時(shí),d取得最小值解(1) 拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=-,于是4+=5, p=2. 拋物線方程為y2=4x. (2)點(diǎn)A是坐標(biāo)是(4,4), 由題意得B(0,4),M(0,2), 又F(1,0), kFA=;MNFA, kMN=-, 則FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y-2=-x,解方程組得x=,y=, N的坐標(biāo)(,).(1) 由題意得, ,圓M.的圓心是點(diǎn)(0,2), 半徑為2,當(dāng)m=4時(shí), 直線AK的方程為x=4,此時(shí),直線AK與圓M相離.當(dāng)m4時(shí), 直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0,圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d2,解得m1當(dāng)m1時(shí), AK與圓M相離; 當(dāng)m=1時(shí), AK與圓M相切; 當(dāng)m1時(shí), AK與圓M相交.解(1)設(shè)曲線方程為y=ax2+, 由題意可知,0=a64+, a=- 4分 曲線方程為y=-x2+. 6分 (2)設(shè)變軌點(diǎn)為C(x,y),根據(jù)題意可知 1 (1) y=-x2+ (2) 得4y2-7y-36=0,y=4或y=-(不合題意,舍去) y=4 9分得x=6 或x=-6(不合題意,舍去).C點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,4), 11分,答: 當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得AC、BC距離分別為2、4時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令 14分1）設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2). 當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線的方程為x=3,此時(shí),直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,)、B(3,). =3； 當(dāng)直線的鈄率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，其中， 由得 又 ， ， 綜上所述，命題“如果直線過(guò)點(diǎn)T(3,0)，那么=3”是真命題；(2)逆命題是：設(shè)直線交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過(guò)點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題. 例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2)，B(,1)，此時(shí)=3,直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；說(shuō)明：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(1,0),而不過(guò)點(diǎn)(3,0).解(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,點(diǎn)P在橢圓上,得, 線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此ABC的面積SABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說(shuō)該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(,),則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,ABC的面積SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,當(dāng)k=時(shí),等號(hào)成立.SABC的最大值是. (1) 解法一 軸， 的坐標(biāo)為. 2分 由題意可知 得 所求橢圓方程為. 6分解法二由橢圓定義可知. 由題意，. 2分 又由可知 ， ，又，