基礎(chǔ)知識一 求動點的軌跡方程的一般步驟 1 建系 2 設(shè)點 3 列式 4 代換 5 證明 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 設(shè)軌跡上的任一點p x y 列出動點p所滿足的關(guān)系式 依條件式的特點 選用距離公式 斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x y的方程式 并化簡 證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程 二 常見的軌跡1 在平面內(nèi) 到兩定點的距離相等的點的軌跡是 2 平面內(nèi)到角兩邊距離相等的點的軌跡是 3 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是 連結(jié)兩定點的線段的垂直平分線 這個角 的平分線 定點為圓心 以定長為半徑的圓 以 4 平面內(nèi)到定點的距離與到定直線距離之比等于常數(shù)的點的軌跡是 當(dāng)常數(shù)大于1時 是雙曲線 當(dāng)常數(shù)等于1時 是 當(dāng)常數(shù)大于0而小于1時 是 定點和定直線分別是圓錐曲線的和5 平面內(nèi)到定直線的距離等于某一定值的點的軌跡是 圓錐曲線 拋物線 橢圓 焦點 相應(yīng)的準(zhǔn)線 與這條直線平行的兩條直線 三 求軌跡的常用方法1 直接法 如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系 這些條件簡單明確 易于表達(dá)成含x y的等式 就得到軌跡方程 這種方法稱之為直接法 用直接法求動點軌跡的方程一般有建系 設(shè)點 列式 代換 化簡 證明五個步驟 但最后的證明可以省略 2 定義法 運用解析幾何中一些常用定義 例如圓錐曲線的定義 可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程 或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式 從而求出軌跡方程 3 代入法 動點所滿足的條件不易表達(dá)或求出 但形成軌跡的動點p x y 卻隨另一動點q x y 的運動而有規(guī)律的運動 且動點q的軌跡為給定或容易求得 則可先將x y 表示為x y的式子 再代入q的軌跡方程 然后整理得p的軌跡方程 代入法也稱相關(guān)點法 4 參數(shù)法 求軌跡方程有時很難直接找出動點的橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo)之間的關(guān)系 則可借助中間變量 參數(shù) 使x y之間建立起聯(lián)系 然后再從所求式子中消去參數(shù) 得出動點的軌跡方程 5 幾何法 利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì) 發(fā)現(xiàn)動點運動規(guī)律和動點滿足的條件 然后得出動點的軌跡方程 6 交軌法 求兩動曲線交點軌跡時 可由方程直接消去參數(shù) 例如求兩動直線的交點時常用此法 也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系 然后消去參數(shù)得到軌跡方程 易錯知識一 概念不清產(chǎn)生的混淆1 方程表示的軌跡為 答案 直線 2 設(shè)點f 2 0 動點p到y(tǒng)軸的距離為d 則滿足條件 pf d 2的點p的軌跡方程是 解題思路 解法一 由題意 pf 2 d 當(dāng)p在y軸右側(cè)時 可轉(zhuǎn)化為 pf x 2 即p到定點f的距離等于到定直線l x 2的距離 則p在拋物線y2 8x上 當(dāng)p在y軸左側(cè)時 pf 2 x 即p到f 2 0 的距離等于p到直線x 2的距離 從而有y 0 x 0 p點的軌跡方程是y2 8x和y 0 x 0 解法二 由 pf 2 d及p x y 即 x 2 2 y2 2 x 2 y2 4 x 4x 當(dāng)x 0時 y2 8x 當(dāng)x 0時 y2 0即y 0 故所求軌跡方程為y2 8x和y 0 x 0 失分警示 本題根據(jù)題意可直接得到定點的距離與到定直線的距離相等 而確定p點的軌跡為拋物線 從而忽略了p點到y(tǒng)軸的距離應(yīng)為 x 而不是x 極易漏掉y 0 x 0 這一部分而出錯 答案 y2 8x或y 0 x 0 二 思維定勢產(chǎn)生的混淆3 平面上一動點到定點 1 2 與定直線x y 1 0的距離比為一常數(shù)的軌跡方程為 答案 x 1或y 2 回歸教材1 到兩坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡方程是 a y xb y xc y x d x y 解析 設(shè)動點p x y 則p到x y軸的距離分別為 y 和 x y x 化簡得y x 故選b 答案 b 2 2009 河南駐馬店二模 已知兩點m 2 0 n 2 0 點p為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點 滿足 0 則動點p x y 的軌跡方程為 a y2 8xb y2 8xc y2 4xd y2 4x解析 考查軌跡方程的求法以及向量的模 數(shù)量積的運算 將動點p x y 的坐標(biāo)分別代入到已知方程中 答案 b 總結(jié)評述 本題所采用的求軌跡的方法可稱為直接代入法 步驟是 設(shè)點 代入 化簡 3 與定直線3x 4y 1 0的距離恒為2的動點p的軌跡方程是 a 3x 4y 11 0b 3x 4y 9 0c 3x 4y 0d 3x 4y 9 0或3x 4y 11 0解析 在軌跡上任意取一點p x y 3x 4y 11 0或3x 4y 9 0 故選d 答案 d 4 教材改編題 設(shè)a a 0 b a 0 若動點m滿足kma kmb 1 是動點m的軌跡方程是 解析 設(shè)m x y kma kmb存在 x a kma kmb 1 x2 y2 a2 動點m的軌跡方程為x2 y2 a2 x a 答案 x2 y2 a2 x a 5 已知動圓p與定圓c x 2 2 y2 1相外切 與定直線l x 1相切 那么動圓的圓心p的軌跡方程是 解析 設(shè)p x y 動圓p在直線x 1的左側(cè) 其半徑等于1 x 則 pc 1 x 1 2 x y2 8x 答案 y2 8x 例1 2009 北京東城 已知q是雙曲線x2 y2 1上任一點 f1 f2為雙曲線c的左 右兩個焦點 從f1引 f1qf2的平分線的垂線 垂足為n 試求點n的軌跡方程 探究 通過圖形的幾何性質(zhì)判斷動點的軌跡是何種圖形 再求其軌跡方程 這種方法叫做定義法 運用定義法 求其軌跡 一要熟練掌握常用軌跡的定義 如線段的垂直平分線 圓 橢圓 雙曲線 拋物線等 二是熟練掌握平面幾何的一些性質(zhì)定理 分析 充分利用角平分線的幾何性質(zhì) 結(jié)合雙曲線的第一定義探索點n的幾何性質(zhì) 解答 延長f1n交qf2于m qn平分 f1qf2 qn f1m n為f1m的中點 且 qf1 qm 由雙曲線定義知 qf1 qf2 2 qm qf2 2 即 mf2 2 o為f1f2的中點 on 1 點n的軌跡為以o為圓心 1為半徑的圓 點n的軌跡方程為x2 y2 1 2006 湖北 7 設(shè)過點p x y 的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于a b兩點 點q與點p關(guān)于y軸對稱 o為坐標(biāo)原點 若則p點的軌跡方程是 a 3x2 1 x 0 y 0 b 3x2 1 x 0 y 0 c x2 3y2 1 x 0 y 0 d x2 3y2 1 x 0 y 0 命題意圖 本題綜合考查了向量 圓錐曲線方程 軌跡方程 點的對稱 題目雖小 但含 金 量較重 答案 d 解析 設(shè)a a 0 a 0 b 0 b b 0 點q與點p關(guān)于y軸對稱 q x y 即 x y b 2 a x y 在 abc中 已知a 4 0 b 4 0 且sina sinb sinc 則c的軌跡方程為 答案 b解析 由sina sinb sinc 得a b c 4 ab 8 例2 如圖從雙曲線x2 y2 1上一點q引直線x y 2的垂線 垂足為n 求線段qn的中點p的軌跡方程 分析 因動點p隨動點q的運動而運動 而動點q在已知雙曲線上 故可用代入法求解 從尋求q點的坐標(biāo)與p點的坐標(biāo)之間的關(guān)系入手 解答 設(shè)動點p的坐標(biāo)為 x y 點q的坐標(biāo)為 x1 y1 則n點的坐標(biāo)為 2x x1 2y y1 n在直線x y 2上 2x x1 2y y1 2 又 pq垂直于直線x y 2 即x y y1 x1 0 聯(lián)立解得 代入 得動點p的軌跡方程是2x2 2y2 2x 2y 1 0 自拋物線y2 2x上任意一點p向其準(zhǔn)線l引垂線 垂足為q 連結(jié)頂點o與p的直線和連結(jié)焦點f與q的直線交于r點 求r點的軌跡方程 解析 設(shè)p x1 y1 r x y 則 op的方程為 fq的方程為 由 得x1 代入y2 2x可得y2 2x2 x 總結(jié)評述 代入法又稱相關(guān)點法 其特點是 動點m x y 的坐標(biāo)取決于已知曲線c上的點 x y 的坐標(biāo) 可先用x y來表示x y 再代入曲線c的方程 即得點m的軌跡方程 在某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題中 可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程 再以此點作為主動點 所求的軌跡上的點為相關(guān)點 求得軌跡方程 例3 2004 遼寧 設(shè)橢圓方程為x2 1 過點m 0 1 的直線l交橢圓于a b o是坐標(biāo)原點 點p滿足點n的坐標(biāo)為當(dāng)l繞點m旋轉(zhuǎn)時 求 1 動點p的軌跡方程 2 的最大值與最小值 解析 1 直線l過點m 0 1 設(shè)其斜率為k 則l的方程為y kx 1 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 由題設(shè)可得 x1 y1 x2 y2 是方程組 消去k得 4x2 y2 y 0 當(dāng)k不存在時 a b中點為坐標(biāo)原點 0 0 也滿足 故動點p的軌跡方程為4x2 y2 y 0 過拋物線y2 2x的頂點作互相垂直的兩弦oa ob 1 求ab中點的軌跡方程 2 證明 ab與x軸的交點為定點 解析 1 設(shè)直線oa y kx 則設(shè)ab的中點坐標(biāo)為 x y 此即為所求的軌跡方程 2 由 1 知 直線ab的方程為令y 0 得它與x軸的交點為 2 0 其坐標(biāo)與k無關(guān) 故為定點 1 要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件 也就是曲