總體方差及比例的推斷統(tǒng)計(jì) 有關(guān)樣本方差的抽樣分布 2分布用于單樣本方差的抽樣分布F分布用于兩個(gè)樣本方差的抽樣分布 2分布的定義 設(shè)隨機(jī)變量X1 X2 Xn相互獨(dú)立 且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 則稱(chēng)隨機(jī)變量服從自由度df為n的 2分布 記作 2分布圖 2分布 2分布的概率密度函數(shù)為 n為自由度 2有以下特點(diǎn) 2分布呈正偏態(tài) 右側(cè)無(wú)限延伸 但永不與基線相交 2分布隨自由度的變化而形成一簇分布形態(tài) 2分布具有可加性 自由度越大 2分布形態(tài)趨于正態(tài)分布 即 2 N n 2n 單樣本方差的抽樣分布 設(shè) X1 X2 Xn 是抽自正態(tài)分布總體X N 2 的一個(gè)容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 則 例題 某燈具廠的燈泡的使用壽命服從正態(tài)分布 總體方差為5626 問(wèn)隨機(jī)抽取的40只燈泡的S值介于70和80小時(shí)之間的概率是多少 Chi square 44 365 33 967 P 25578 69845 F分布的定義 若且X1與X2相互獨(dú)立 則稱(chēng)隨機(jī)變量所服從的分布為F分布 n1 n2 為F分布的自由度 記為 F分布 若從方差相同的兩個(gè)正態(tài)總體中 隨機(jī)抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本 以此為基礎(chǔ) 分別求出兩個(gè)相應(yīng)總體方差的估計(jì)值 這兩個(gè)總體方差估計(jì)值的比值稱(chēng)為F比值 F比值的抽樣分布稱(chēng)為F分布 F分布的形態(tài)隨F比值分子和分母中自由度的變化而形成一簇正偏態(tài)分布 F分布 F分布的密度函數(shù) F分布圖 F分布的數(shù)學(xué)期望與方差 雙樣本方差的抽樣分布 若 X1 X2 Xn1 是獨(dú)立地抽自總體X1 N 1 12 的一個(gè)容量為n1的樣本 Y1 Y2 Yn2 是獨(dú)立地抽自總體X2 N 2 22 的一個(gè)容量為n2的樣本 當(dāng) 1 2 時(shí) 統(tǒng)計(jì)量 樣本比例的抽樣分布 設(shè)總體中具有某種特征的單位占全部單位的比例稱(chēng)為總體比例 記作p 樣本中具有該種特征的單位占全部單位的比例稱(chēng)為樣本比例 記作p 當(dāng)樣本容量為n時(shí) 樣本中具有該種特征的單位數(shù)X服從二項(xiàng)分布 樣本比例p 也服從二項(xiàng)分布 而且對(duì)于p 有E p E X n E X n pD p D X n D X n2 p 1 p n在大樣本情況下 若np 5 n 1 p 5 則p N p p 1 p n 樣本比例之差的抽樣分布 設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的樣本 第一個(gè)樣本比例p1 來(lái)自正態(tài)總體N p1 p1q1 n1 第二個(gè)樣本比例p2 來(lái)自正態(tài)總體N p2 p2q2 n2 則p1 p2 N p1 p2 p1q1 n p2q2 n2 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì) 例題 某廠抽取40只某型燈泡 測(cè)得其平均使用壽命為4800小時(shí) S 300小時(shí) 試以95 的置信水平估計(jì)該型燈泡的方差及標(biāo)準(zhǔn)差 60392 29 148389 28 245 75 385 21 總體比率的區(qū)間估計(jì) 在大樣本情況下 總體比率的置信區(qū)間為 總體比率之差的區(qū)間估計(jì) 在大樣本的情況下總體比率的置信區(qū)間 例題 某校在2500名學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生 發(fā)現(xiàn)他們平均每天體鍛不少于1小時(shí)的學(xué)生有72人 試以95 的置信水平估計(jì)全校學(xué)生每天體鍛不少于1小時(shí)的比例 0 296 0 424 例題 兩個(gè)牙膏廠生產(chǎn)兩種不同的藥物牙膏 對(duì)使用A廠牙膏的350人及使用B廠牙膏的325人分別進(jìn)行調(diào)查 發(fā)現(xiàn)在使用A廠牙膏的350人中105人效果明顯 在使用B廠牙膏的325人中130人效果明顯 試估計(jì)兩個(gè)廠牙膏效果明顯者所占比例之差 置信水平為0 95 0 172 0 028 總體方差的假設(shè)檢驗(yàn) 例題 靠山鄉(xiāng)水稻畝產(chǎn)服從方差為5625的正態(tài)分布 今年在實(shí)割前進(jìn)行的估產(chǎn)中 隨機(jī)抽取了10畝地 畝產(chǎn)分別為 540 632 674 680 694 695 708 736 780 845 問(wèn) 根據(jù)以上資料 能否認(rèn)為靠山鄉(xiāng)水稻畝產(chǎn)的方差沒(méi)有變化 總體方差之比的假設(shè)檢驗(yàn) 例題 對(duì)25名男生和16名女生的智力測(cè)驗(yàn)結(jié)果表明 男生的總體方差的估計(jì)值為64 女生為49 問(wèn) 測(cè)驗(yàn)結(jié)果是否說(shuō)明性別不影響該測(cè)驗(yàn)成績(jī)的分散程度 F 1 306 2 29 總體比例的假設(shè)檢驗(yàn) 總體比例兩個(gè)總體比例之差 例題 某校進(jìn)行一次調(diào)查問(wèn)卷 詢(xún)問(wèn)師生員工對(duì)學(xué)分制改革的態(tài)度 結(jié)果 被抽取的80個(gè)人中 有64個(gè)表示贊成 問(wèn)這個(gè)比例是否顯著高于